几何图形变换综合题专题训练（二）图形的平移

中考典型问题复习

 几何图形变换专题训练（二）图形的平移

    图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考

题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图

形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形

变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功

能，成为近年来各地中考试题的热点问题．

解题策略：

平移变换问题：分几何图形平移变换和函数图像平移变换。平移是将一个图形沿 某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过

程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再

根据具体图形变换的特点确定其变化。

1.平移的条件：

确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

2、平移的要点：

（1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。

（2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）

（3）平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）

3、平移的性质

经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；

平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。

（3）多次连续平移相当于一次平移。

（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向和距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。

典例剖析

考向一 几何图形平移变换

例1.（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 　（1，3）　．

例2．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）

A．2 B．3 C． D．

对点练习：

1.如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．

（1）求证：；（2）求证：．

2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．

考向二 函数图像平移变换

例3（2021秋•枣阳市期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（　　）

A．y＝（x﹣3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2+5

例4（2021秋•天山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标。

对点练习

1.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），

（1）求抛物线的表达式．

（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，并写出平移后的抛物线表达式．

2. （2021秋•开化县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 　      　．

几何图形变换综合题专题训练（二）图形的平移（解析版）

典例剖析

考向一 几何图形平移变换

例1.（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 　（1，3）　．

思路引领：根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．

解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），

∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）．

总结提升：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．

例2．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）

A．2 B．3 C． D．

思路引领：由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得．

【详解】解：如图，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，

∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，

∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，

∴A′EAB，

∴△DA′E∽△DAB，

则，

即，

解得A′D=2或A′D=-（舍），

故选A．

总结提升：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

对点练习：

1.如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．

（2）求证：；（2）求证：．

  思路引领：（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；

（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．

 证明：（1）在等腰直角三角形中，，

∴．

∵，

∴，

∴．

（2）连接．

由平移的性质得．

∴，

∴，

∴．

∵是等腰直角三角形，

∴．

由（1）得，

∴，

∴，∴．

总结提升：本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．

2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．

思路引领：（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

 解：（1）AC⊥BD．证明如下：

∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC．

又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°．

∴∠DBC=∠BDC=30°．∴∠BDE=90°．∵BD⊥DE，

∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE．∴BD⊥AC．

（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴．

（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

总结提升：本小题考查平移的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握平移的性质和全等三角形的性质及勾股定理求解．

考向二 函数图像平移变换

例3（2021秋•枣阳市期末）将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（　　）

A．y＝（x﹣3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2+5

思路引领：求出y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标，可得平移后抛物线的顶点坐标，即可得到平移后抛物线解析式．

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，

∴二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点为（1，2），

∴向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的抛物线顶点是（3，5），

∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣3）2+5，

故选：A．

总结提升：本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握求抛物线顶点的方法及二次函数顶点式，本题也可根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答．

例4（2021秋•天山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标。

思路引领：（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）根据平移规律求得PP′＝3，结合已知条件OP＝OP'和OA⊥PP′，可得点P的纵坐标，由此可解答；

解：（1）由题意，得．

解得．

则该抛物线解析式为：；

（2）∵抛物线是向下平移了3个单位，

∴PP'＝3．

∵OP＝OP'，OA⊥PP′，如图，

∴点P的纵坐标为，

∴当y时，．

∴x1＝0，x2＝2；

∴P的坐标为（0，）或（2，）；

总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式，角度的存在性，图形的平移等，解题的关键利用分类讨论思想分情况讨论，并画出图形。

对点练习

已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），

（1）求抛物线的表达式．

（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，并写出平移后的抛物线表达式．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3），

∴，

解得，，

即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝3上，

∴抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1向上平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，则抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点在直线y＝3上，

即抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1向上平移2个单位长度后抛物线的顶点落在直线y＝3上，平移后的抛物线的表达式是y＝﹣（x﹣2）2+3．

3. （2021秋•开化县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为点A，交y轴于点B．BC∥x轴，与抛物线交于点C，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点C处，则平移后的抛物线表达式为 　      　．

答案：y＝﹣（x﹣2）2+3．

解析：∵y＝﹣x2+2x+3，

∴B（0，3），

把y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得3＝﹣x2+2x+3，

解得x＝0或x＝2，

∴C（2，3），

∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3，

故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．