第五章相交线与平行线全章复习讲义2022-2023学年人教版七年级数学下册+

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      人教版七年级下相交线与平行线全章复习讲义 第一部分：知识点精准记忆知识点一、相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。1.对顶角的概念：①两个角有公共顶点；②两个角的边互为反向延长线2.邻补角的概念  ①两个角有公共顶点; ② 有一条公共边;③另一边互为反向延长线3.对顶角的性质：对顶角相等4.邻补角的性质：邻补角互补5.垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，如下图，AB⊥CD，垂足为点O。    6.垂线的基本性质：① 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③ 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。7. 垂线的画法过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器。有这两种工具时，应掌握“一靠二过三画”这一要领。知识点二: 三线八角如下图，直线AB、CD被直线EF所截，形成的独立的角有八个，简称为“三线八角”。1.同位角“F”：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同，如∠1和∠8分别在AB、CD的上方且在EF的右侧），这样的一对角叫做同位角。2.内错角“Z””/N”：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错，如∠4和∠5都在AB、CD之间，EF的两侧），这样的一对角叫做内错角。3.同旁内角“U”：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁（如∠3和∠5都在AB、CD之间，EF的两侧），这样的一对角叫做同旁内角。注：1.这三类角都是成对出现的；    2.这三类角必须是两条直线被第三条直线所截形成的；    3.每对角没有公共的顶点知识点三 平行线1．平行线的概念：①在同一平面内， ②不相交的两条直线叫做平行线。平行线用符号“∥”表示，如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。2．平行线画法：过直线外一点画已知直线的平行线，可按“一落,二靠,三移,四画”四步操作，如图3. 平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两直线也互相平行。简称平行于同一条直线的两条直线也互相平行。用符号语言表示为：∵a∥b, c∥b ∴a∥c4.平行线的判定判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　     简称：同位角相等，两直线平行判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　     简称：内错角相等，两直线平行判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　     简称：同旁内角互补，两直线平行5.平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。知识点四 :命题定理及证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.注意：（1）命题必须是一个完整的句子。     （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可      ( 3)每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。 2.真命题与假命题正确的命题就是真命题, 错误的命题就是假命题  证明从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。    证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）     4. 公理与定理     数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题       真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；       (2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。知识点五 图形平移1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。2.平移的性质：(1)、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.(2)、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点(3)、连接各组对应点的线段平行且相等。3.作平移图形的一般步骤：(1)、确定平移的方向和距离。(2)、确定图形的关键点。(3)、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。(4)、依次连接关键点，作出平移后的新图形。第二部分：考点例析考点一: 对顶角定义例1如图所示，和是对顶角的是（    ）考点二: 邻补角定义例2.下列图形中，与是邻补角的是（     ）考点三: 对顶角邻补角的性质【例3-1】下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等，其中正确的说法有（    ）A．0 B．1 C．2 D．3  【例3-2】 如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=（    ）度．A．66 B．50 C．64 D．76 【例3-3】 如图，点O是直线AB、CD的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的平分线．（1）求证：∠EOF＝∠AOC；（2）若∠AOC＝34°，求∠COM的度数．     考点四: 垂直的定义例4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．考点五 :垂直的性质【例5-1】如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6 cm,PB=5 cm,PC=7 cm,则点P到直线l的距离是　　　　cm. 【例5-2】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．过点B画直线AC的垂线，垂足为G；(1)  比较BC与BG的大小：BC       BG，理由是        ．(2)  已知AB=5，求△ABC中AB边上的高h的长．【例5-3】点A为直线外一点，点B在直线上，若AB=5厘米，则点A到直线的距离（    ）A．大于5厘米 B．等于5厘米 C．小于5厘米 D．最多为5厘米考点六:三线八角【例6-1】  如图，∠1和∠2是同位角的图形有(   )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6-2】 在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（    ）【例6-3】如图，下列判断中，正确的是（    ）A．∠2和∠4是同位角 B．∠1和∠B是内错角C．∠3和∠5是同旁内角 D．∠5和∠B是同旁内角考点七:平行公理及推论【例7-1】下列说法正确的是(   )   A.经过一点有一条直线与已知直线平行      B.经过一点有无数条直线与已知直线平行  C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行  D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【例7-2】过一点画已知直线的平行线,则(   )  A.有且只有一条          B.有两条;        C.不存在       D.不存在或只有一条 【例7-3】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?考点八:平行线的判定【例8-1】已知如图，，，，．将下列推理过程补充完整：（1）因为（已知），所以AD______（__________________________）（2）因为（已知），所以AB______（__________________________）（3） 因为（已知），所以____________，（___________________） 【例8-2】 如图，下列能判定AB∥CD的条件有（    ）个．(1)∠B+∠BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【例8-3】如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由．考点九:平行线的性质（【例9-1】2022秋•浉河区校级月考）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（　　）A．26° B．63° C．37° D．60°【例9-2】（2022春•宝清县期中）如图，直线AB∥CD，∠2＝50，则∠1的度数是（　　）A．120° B．110° C．140° D．130°【例9-3】（2022•双阳区一模）一副直角三角板如图放置，点D在直线EF上，若AB∥EF，则∠EDC的度数为（　　）A．30° B．45° C．60° D．105°【例9-4】（2021秋•八步区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB′C′F的位置，若∠EFC'＝105°，则∠DFC′的度数为（　　）A．10° B．20° C．30° D．40°考点十:平行线判定性质综合【例10】如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．(1)  求证：；(2)  试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)  若求的度数．考点十一: 命题【例11-1】已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”(1)  写出命题的题设和结论；(2)  画出符合命题的几何图形；(3)  用几何语言叙述这个命题；(4)  说明这个命题是真命题的理由．【例11-2】把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　             　，那么 　                 　”．【例11-3】对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是一个假命题的反例是(　　)A．∠1＝45°，∠2＝45°　B．∠1＝70°，∠2＝20°C．∠1＝30°，∠2＝40°　D．∠1＝50°，∠2＝50°考点十二:证明例12.（2022春•新罗区期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．第三部分:经典考题1.如图，∠1和∠2是同位角的图形有(   )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（    ）3.如图，下列说法错误的是（    ）A．∠A与∠AEF是同旁内角 B．∠BED与∠CFG是同位角C．∠AFE与∠BEF是内错角 D．∠A与∠CFE是同位角  4. 两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（    ）A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 5.如图，直线l1，l2被l3所截得的同旁内角为，要使l1∥l2，只要使（    ）．A．  B．  C．，  D．6.如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB∥CD的条件为（　　）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③  7.在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　）A．若a∥b，b∥c 则 a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a⊥c8.如图，已知∠A=∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（   ）．A．∠ABD=∠CEF B．∠CED=∠ADBC．∠CDB=∠CEF D．∠ABD+∠CED=180°8.某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是(　　)A．第一次左拐30°，第二次右拐30°      B．第一次右拐50°，第二次左拐130°C．第一次右拐50°，第二次右拐130°     D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°9.如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是(　　)A．∠DAC=∠BCA    B．∠DCB+∠ABC=180°C．∠ABD=∠BDC    D．∠BAC=∠ACD10.能作为证明依据的是(　　)A．已知条件             B．定义及基本事实C．定理及推论           D．以上三项都对11. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．    12.如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．13.如图,∠1+∠2=180°,∠3=104°,则∠4的度数是           .14.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF的度数是           . 15.已知,如图,CD⊥AB于点D,DE∥BC,EF⊥AB于点F,求证:∠FED=∠BCD.16.根据下列要求画图.    (1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;    (2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;    (3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交­于点F.    17.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.(1)求证：EA平分∠BEF；(2)若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD. 18.如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)  求证：∠AOE=∠ODG；(2)  若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．