第六章实数复习讲义

            第六章实数复习讲义

一、知识点总结

1、平方根

    如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：

（1）. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

（2）. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.

（3）当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根.

2、算术平方根

如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数. 特别规定：0的算术平方根仍然为0.

（1）.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：.

（2）.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根. 因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：.

3、立方根

如果x的立方等于a，那么就称x是a的立方根，或者三次方根.记做：，读作，3次根号a. 注意：这里的3表示的是开根的次数. 一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略.

平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根.

4、无理数

 无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件. 在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等. 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：

有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.

5、实数

（1）.有理数与无理数统称为实数. 在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.

（2）.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离.

（3）.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小.（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小.

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算. 运算法则和运算顺序与有理数的一致.

6、实数的估算

（1）．估算法：

①若，则；

②若，则；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．

常见实数的估算值：，，．

（2）．高斯记号：

任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．

例如：的整数部分为2，那么小数部分为；的整数部分为1，那么小数部分为；的整数部分为，那么小数部分为．

二、核心考点举例

考点1 算术平方根

例1求下列各数的算术平方根

（1）0.0025           （2）121

【解析】根据算术平方根的定义计算即可.

解： （1）∵0.052=0.0025

             ∴0.0025的算术平方根是0.05，即

     （2） ∵112=121

             ∴121的算术平方根是11，即

考点2 平方根

例2的平方根是_______;   0的平方根是________.

【解析】根据平方根的定义即可求解．

解：∵

    ∴的平方根是

      ∵

      ∴0的平方根是0.

考点3 平方根算术平方根的区别

例3.求下列各式的值.

       （1）                   （2）

【解析】利用平方根的定义即可求解．

解：（1）∵

       ∴

   （2）∵

       ∴

练习：下列计算正确的是（　 　）

A． B． C． D．

考点4 已知平方根，求原数

例4一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是____________.

【解析】根据算术平方根的定义，结合大小关系即可求解．

解：∵

    ∴结果为   

练习：已知和是一个正数的平方根，则这个正数（　　）

A． B．或 C． D．或

考点5 立方根

例5-1)求下列各式的值.

（1）           （2）     

【解析】根据立方根的定义求解即可.

解： （1）         

     （2）

例5-2若有意义，则a的取值范围是(   )

1. a=5    B. a ≥5       C. a<5    D. a为任意数

【解析】根据立方根的定义被开方数是任意实数.

解：有意义，a-5是任意实数。所以a为任意实数，故选D

考点6 算术平方根的非负性

例6已知，求的值？

【解析】依据算术平方根、绝对值的性质可知两项均为0，代入求解即可．

解：由题意得，

     ∴

    ∴

∴

∴

∴

练习1.已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为    

    2.若x、y都是实数，且y=，求xy的值

考点7利用平方根立方根解方程

例7求下列式子中的x

（1）      （2）．  （3）

【答案】(1)或；（2），（3）

【解析】（1）解：

，

，

或，

或；

（2），

，

开平方可得：，．

解得：，．

（3） 解：

解得：．

考点8 实数概念.分类

例8在实数，，，，，中，无理数的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据无理数的定义，可得答案．

【详解】解：，，，，，中，无理数的有，，，共3个，

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．

练习：有下列命题，其中是真命题的是（    ）

A．无理数都是无限不循环小数 B．数轴上的点和有理数一一对应

C．无限循环小数都是无理数            D．两个无理数和还是无理数

考点9 实数与数轴绝对值

例9下列说法：

①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；

③负数没有立方根；④的平方根是，用式子表示是；

⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，

其中错误的是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】根据有理数，无理数，绝对值，平方根，立方根，相反数等知识逐项判断即可．

【详解】①有理数和数轴上的点是一一对应的，故①正确；

②无理数是无限不循环小数，故②错误；

③负数也有立方根，故③错误；

④的平方根是，用式子表示是，故④错误；

⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，故⑤正确；

综上分析可知，错误的有：②③④共个，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了有理数、无理数、绝对值、平方根及立方根，熟练掌握它们的定义等知识，是解答此题的关键．

练习:已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．

考点10  实数大小比较

例10 比较大小：（1）___________；（2）______．（填“”，“”或“”）

【答案】；

【分析】利用作差法进行比较即可得出结论．

【详解】（1）∵，

又∵，

∴，

∴

故答案为：．

（2）∵，

∴，

∴，

∴

∴

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了实数比较大小，掌握作差法比较实数大小的方法是解答此题的关键．

考点11 实数的运算

计算

（1）；                           （2）．

（3）．                  （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。

【详解】解：（1）原式

；

（2）原式=

=

=．

（3）原式

．

（4）解：

．

考点12 实数规律问题

观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

（1），

（2），

（3），

（4）．

(1)观察算式规律，计算______；______．

(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______．

(3)计算：．

【答案】(1)， 

(2)

(3)

【分析】（1）从数字找规律，即可解答；

（2）从数字找规律，即可解答；

（3）从数字找规律，进行计算即可解答．

【详解】（1）解：，，

故答案为：，；

（2）解：用含正整数的式子表示上述算式的规律：；

故答案为：；

（3）解：

．

【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键

练习通过计算可知：，则下一个类似的式子是___ __   

三、经典考题

1.下列说法中正确的是（  ）

 A．9的平方根是3    B．的算术平方根是±2

 C. 的算术平方根是4  D. 的平方根是±2

2.下列结论正确的是（       ）       

A     B          C       D

3.下列说法：(1)是9的平方根；(2)9的平方根是；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（    ）

   A．3个   B．2个 C．1个   D．4个

4. 已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　  　
5. 大于-，小于的整数有______个。
6. 求x（1）（2x-1）2-169=0；             （2）4（3x+1）2-1=0；
7.       已知与互为相反数，求的值

8.定义新运算：对于任意实数，，都有，则______．

9.若，则________．

10.计算：

11.若，，那么________．

12.若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________．

13.下列说法正确的是（   ）

A．是正分数

B．立方根等于本身的数只有1和0

C．0 是绝对值最小的实数

D．在数轴上与原点距离等于2的点之间只有两个点表示无理数

14.如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（    ）

A． B． C． D．

15. 的相反数是____，绝对值是_________

16.已知，化简_______