2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷(一)
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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,2,3,4,,集合,2,,,,则
A. B. C.,3,4, D.,2,3,
2.复数的虚部为
A.3 B.4 C. D.
3.八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中给出下列结论,其中正确的结论为
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上的投影向量为(其中为与同向的单位向量)
4.从属于区间,的整数中任取两个数,则至少有一个数是质数的概率为
A. B. C. D.
5.已知函数在上恰有3个零点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
6.在某款计算器上计算时,需依次按下“”、“ ”、“ ”、“,”、“ ”、“ ”6个键.某同学使用该计算器计算时,误按下“”、“ ”、“ ”、“,”、“ ”、“ ”这6键,所得到的值是正确结果的倍,则
A. B. C. D.
7.已知实数,,,且,则必有
A. B. C. D.
8.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是正方形面内(包括边界)的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是
A.36 B.24 C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.2022年1月,社会调查中心联合问卷网,对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查,全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和,则适合表示上述调查结果的是
A.柱形图 B.茎叶图
C.扇形图 D.频率分布直方图
10.已知数列为等比数列,首项,公比,则下列叙述正确的是
A.数列的最大项为 B.数列的最小项为
C.数列为递增数列 D.数列为递增数列
11.已知椭圆,,分别为它的左右焦点,,分别为它的左右顶点,点是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有
A.存在使得
B.的最小值为
C.若,则△的面积为9
D.直线与直线斜率乘积为定值
12.曲线的曲率就是针对曲线上个克的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.曲线在点,处的曲率,其中是的导函数
A.若函数.则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B.若是二次函数.则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C.若函数,则函数的值域为,
D.若函数,则曲线上任意一点的曲率的最大值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设,则除以9所得的余数为 .
14.规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,球是指该球的球心点.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,如图,设母球的位置为,目标球的位置为,要使目标球向处运动,则母球的球心运动的直线方程为 .
15.已知正实数,满足,则的最大值为 .
16.已知菱形的边长为2,.将沿折起,使得点至点的位置,得到四面体.当二面角的大小为时,四面体的体积为 ;当四面体的体积为1时,以为球心,的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 .
《2023年高考“最后三十天”训练计划》第四天——名校模拟好卷助攻卷
《小题训练计划》(一)名校模拟
2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,2,3,4,,集合,2,,,,则
A. B. C.,3,4, D.,2,3,
【解析】:全集,2,3,4,,,,,2,,
,4,,,,
.
故选:.
2.复数的虚部为
A.3 B.4 C. D.
【解析】:,所以虚部是3.
故选:.
3.八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中给出下列结论,其中正确的结论为
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上的投影向量为(其中为与同向的单位向量)
【解析】:对于与的夹角为,故不正确;
对于,故不正确
对于,故正确;
对于在上的投影向量为(其中为与同向的单位向量),故不正确.
故选:.
4.从属于区间,的整数中任取两个数,则至少有一个数是质数的概率为
A. B. C. D.
【解析】:区间,的整数有2,3,4,5,6,7,8,其中是质数的有2,3,5,7.
从属于区间,的7个整数中任取两个数,
则至少有一个数是质数的概率为.
故选:.
5.已知函数在上恰有3个零点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【解析】:函数在,上恰有3个零点,
由,且,可得,
所以,且,或,且,
解得,或,
故选:.
6.在某款计算器上计算时,需依次按下“”、“ ”、“ ”、“,”、“ ”、“ ”6个键.某同学使用该计算器计算时,误按下“”、“ ”、“ ”、“,”、“ ”、“ ”这6键,所得到的值是正确结果的倍,则
A. B. C. D.
【解析】:由题意可知,,,
又,
,
解得,
,即,
故选:.
7.已知实数,,,且,则必有
A. B. C. D.
【解析】:令函数,
则,
故在上单调递增,
由(1),可得在上恒成立,
在上恒成立,
取,则,
当时,,即,,
当时,,即,,
故,不一定成立,
又当时,,所以,由换底公式得,
当时,,所以,得,故正确,错误,
故选:.
8.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是正方形面内(包括边界)的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是
A.36 B.24 C. D.
【解析】:如图,易知,,
,,
又,,
,
在平面面内以为轴,以的垂直平分线为轴建系如图,
根据题意可得,,设,
又,,
,
整理得,
在正方形面内(包括边界),是以为圆心,半径的圆上的点,
令,可得,
当为圆与线段的交点时,到底面的距离最大,最大距离为,
三棱锥的体积最大值是.
故选:.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.2022年1月,社会调查中心联合问卷网,对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查,全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和,则适合表示上述调查结果的是
A.柱形图 B.茎叶图
C.扇形图 D.频率分布直方图
【解析】:因为上述结果是分类比例,所以适合表示上述结果的是柱状图和扇形图.
故选:.
10.已知数列为等比数列,首项,公比,则下列叙述正确的是
A.数列的最大项为 B.数列的最小项为
C.数列为递增数列 D.数列为递增数列
【解析】:对于,由题意知当为偶数时,,
当为奇数时,,,
最大,
综上所述:数列的最大项为,故正确;
对于,当为偶数时,,最小;
当为奇数时,.
综上所述:数列的最小项为,故正确;
对于,,,
,
,,,
数列是递增数列,故正确;
对于,,,
,
,,,
又,,
数列为递减数列,故错误.
故选:.
11.已知椭圆,,分别为它的左右焦点,,分别为它的左右顶点,点是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有
A.存在使得
B.的最小值为
C.若,则△的面积为9
D.直线与直线斜率乘积为定值
【解析】:由椭圆的方程:,可得,,所以,
中,设,若,则直线,
则,即,
,所以,解得,故正确;
中,由题意得,
设,长分别为,.
,
当且仅当,时取等号,的最小值为,故正确;
中,由,可得,即,
所以,
所以△,故正确;
中,当不为椭圆的左右顶点时,,,,可得,由椭圆的方程可得,,
则,故不正确;
故选:.
12.曲线的曲率就是针对曲线上个克的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.曲线在点,处的曲率,其中是的导函数
A.若函数.则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B.若是二次函数.则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C.若函数,则函数的值域为,
D.若函数,则曲线上任意一点的曲率的最大值为
【解析】:对于,,,则,
又,所以为偶函数,曲线在两点的弯曲长度相同,故正确;
对于,设,,,
则,当且仅当,即时,曲率取得最大值,故错误;
对于,,,,
当时,;当时,函数为增函数,
所以的最大值为(1),故正确;
对于,,,
当且仅当时,等号成立,故正确.
故选:.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设,则除以9所得的余数为 8 .
【解析】:由已知得,
上述展开式中,从第一项到倒数第二项,每一项都可以被9整除,故只需求出除以9的余数即可,
显然,故余数为8.
故答案为:8.
14.规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,球是指该球的球心点.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,如图,设母球的位置为,目标球的位置为,要使目标球向处运动,则母球的球心运动的直线方程为 .
【解析】:点,所在直线的方程为,如图所示,
可知,两球碰撞时,球的球心在直线上,且在第一象限,
设,两球碰撞时,球的球心坐标为,此时,则,
解得,
即,两球碰撞时,球的球心坐标,
所以母球的球心运动的直线方程为,即.
故答案为:.
15.已知正实数,满足,则的最大值为 .
【解析】:由,两边同时除以,得,
因为,,所以,
设,则,递增,
所以由可得,
所以,,
设,则,
所以当时,,递增,时,,递减,
所以.
故答案为:.
16.已知菱形的边长为2,.将沿折起,使得点至点的位置,得到四面体.当二面角的大小为时,四面体的体积为 ;当四面体的体积为1时,以为球心,的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 .
【解析】:如图1,过点作交的延长线于点,则,
因为菱形的边长为2,,
所以,,
故四面体的体积为;
当四面体的体积为1时,此时,
解得:,,即,两点重合,
即底面,如图2,
以为球心,的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以为圆心,半径为的圆,
落在内部的长为圆周长的,所以长度为.
故答案为:,.
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