2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷

2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的

1．已知集合，集合，则　　

A．， B．， C．， D．，1，

2．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是　　

A． B． C． D．

4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等．

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和；

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，构成数列，则关于数列叙述正确的是　　

A． B． 

C．数列的前项和为 D．数列的前项和为

5．若，则　　

A． B．1 C． D．

6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为　　

A． B． C． D．

8．已知函数，若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．，，

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．函数（其中，，是常数，，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是　　

A．的值域为 

B．的最小正周期为 

C． 

D．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象

10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是　　

A． 

B．若延长交直线于，则点在直线上 

C．平分 

D．抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等

11．已知实数，满足，下列结论中正确的是　　

A． B． 

C． D．

12．已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是　　

A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条 

B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条 

C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条 

D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中，的系数为　　．

14．若为奇函数，则实数　　．

15．已知圆，直线交圆于、两点，若的面积为2，则实数的值为 　　．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、在椭圆上，满足，，若椭圆的离心率，则实数取值范围为 　　．

《2023年高考“最后三十天”训练计划》第八天——名校模拟好卷助攻卷

《小题训练计划》（一）名校模拟

2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的

1．已知集合，集合，则　　

A．， B．， C．， D．，1，

【解析】：因为，0，1，，

，

所以，．

故选：．

2．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】：因为，

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以复数对应的点在第一象限．

故选：．

3．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是　　

A． B． C． D．

【解析】：，

，即，

向量在向量方向的投影向量是，

则向量在向量方向的投影向量，

，即，且，则，即向量与的夹角是．

故选：．

4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等．

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和；

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，构成数列，则关于数列叙述正确的是　　

A． B． 

C．数列的前项和为 D．数列的前项和为

【解析】：根据题意可得：．

对选项，正确；

对选项，错误；

对选项：当时，，错误；

对选项：当时，，错误，

故选：．

5．若，则　　

A． B．1 C． D．

【解析】：因为，

展开可得，

所以，

所以，即，解得，

即，，

因为，

所以．

故选：．

6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】：如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，，，，

，分别为，的中点，则，

正方体的棱长为，

故，可得，

根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，

故该半正多面体外接球的表面积为．

故选：．

7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为　　

A． B． C． D．

【解析】：每个区域种不同颜色的花，有种方法，

这9个区域中相邻的区域有9个；23；34；26；48；56；67；78；，

所以红色、白色种在相邻区域有种方法，

所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，

故选：．

8．已知函数，若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．，，

【解析】：，

，，

关于的方程有且仅有四个相异实根，

根据对称性知，当时，有且仅有两个相异实根，

即在上有两个不相等的实数根，

化简得：．

令，，

令，解得，令，解得，

在为减函数，为增函数，

又（1），则当时，，，当时，，，

作出的简图如下图所示：

直线恒过点，

，

（1），

时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点，

此时方程在上有一个实数根，不符合题意；

由图可知当或时，直线与均有两个公共点，

即方程在上有两个不相等的实数根，

关于的方程有且仅有四个相异实根时，的取值范围为，，．

故选：．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．函数（其中，，是常数，，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是　　

A．的值域为 

B．的最小正周期为 

C． 

D．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象

【解析】：对于，由图象可知，，即，

，，

，

故的值域为，则选项正确；

对于，由图象可知，，

所以，故选项正确；

对于，，且，可得，

，

又的图象过点，

即，则，

且，可得，

可得，则，故选项错误；

对于，由前面的分析可知，，

将函数的图象向左平移个单位，得到，则选项错误；

故选：．

10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是　　

A． 

B．若延长交直线于，则点在直线上 

C．平分 

D．抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等

【解析】：由题意可得，又，

直线的斜率，

直线的方程为：，

联立，得，

，，，

，选项错误；

又直线的斜率，直线的方程为：，

延长交直线于，则，

直线的方程为：，点在直线上，选项正确；

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则，，

可得为钝角，不能平分，所以选项错误；

设抛物线在处的切线方程为：，

联立，得，

由△，解得．

抛物线在处的切线方程为：，

该切线与直线所成角的正切值为2．

设该切线与直线所成角为，

则，

该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线所成角的正切值相同，

即抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等，选项正确．

故选：．

11．已知实数，满足，下列结论中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】：由，

则，

对于，，则，

故，故正确；

对于，由选项可得：，

当且仅当，即时，等号成立，

故，正确；

对于，，

令，则，故错误；

对于，，等价于，

构造，则，当时恒成立，

则在上单调递增，

由选项可知：，则（b）（a），

故，故正确．

故选：．

12．已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是　　

A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条 

B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条 

C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条 

D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条

【解析】：因为异面直线与直线所成角为，

所以过点与直线，所成角均为的直线只有1条，故选项错误；

因为平面与平面所成的二面角为，

则过点与平面，所成角都是和的直线各有一条，，

若过点与平面，所成角都是，则在，的两侧各有一条，

所以共条，故正确；

因为点为平面外，且过点作与平面成角的直线，

则在以为顶点，底面在上的圆锥的母线，如图所示：

所以可以做无数条，故选项正确；

过点作与平面成角，形成以为顶点，

与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥的母线，

与直线成的直线，形成以为顶点，

且与圆锥中轴线夹角为的圆锥的母线，如图所示：

因为角度不同，因此两个圆锥的母线没有重合母线，故不能做出满足条件的直线，故错误．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中，的系数为　60　．

【解析】：的展开式中，故含的项为，

故答案为：60．

14．若为奇函数，则实数　1　．

【解析】：若为奇函数，则，

故，

解得．

故答案为：1．

15．已知圆，直线交圆于、两点，若的面积为2，则实数的值为 　或1　．

【解析】：圆，圆心，半径，

设圆心到直线的距离为，

则为的边上的高，

由点到直线的距离公式得，，

由勾股定理得：，

设的面积，

则，

所以，两边平方得，，即，

所以，

因为，

所以，化简可得，

所以，

所以或．

故答案为：或1．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、在椭圆上，满足，，若椭圆的离心率，则实数取值范围为 　，　．

【解析】：根据题意知，由得，

不妨设点在第一象限，则点的坐标为，

由知，且，

从而得到点的坐标为，

将点的坐标代入椭圆方程得，

整理得，即，

所以，

又因为，所以，

即实数取值范围为，．

故答案为：，．