2023届四川省资阳市高三下学期4月高考适应性考试数学（理科）试题含答案

2023届四川省资阳市高三下学期4月高考适应性考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，且，则ab=（    ）

A．-9 B．9 C．-3 D．3

3．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

4，已知向量，，若，则k=（    ）

A． B． C． D．

5．设等差数列的前n项和为，且，则（    ）

A．26 B．32 C．52 D．64

6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内可填入的条件是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ）

A． B．3 C． D．

8．如图，在正三棱柱，中，，D在上，E是的中点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

9．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（    ）

A．360种 B．420种 C．480种 D．540种

10．已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若△AMF周长的最少值是，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B． C． D．5

11．已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C D．

二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是______

14．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则m=______

15．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则的最小值是______

16．已知函数，，且的最小值是．若关于x的方程在上有2023个零点，则的最小值是______

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）证明：

（2）若，，求△ABC的面积．

18．（12分）某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立．

（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（2）记X表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

19．（12分）如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，且，，．

（1）证明：平面．

（2）求平面ACD与平面夹角的余弦值．

20．（12分）

椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．

（1）求椭圆E的方程．

（2）过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知函数（其中e为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为．

（1）求实数m，n的值；

（2）证明：对任意的，恒成立．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设射线与曲线C交于点A，与直线1交于点B，求的值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）证明：．

2023届四川省资阳市高三下学期4月高考适应性考试

数学参考答案（理科）

1．C 

2．D

3．D

4．B 

5．C 

6．D 

7．B 

8．C 

9．D

10．B 

11．A 

12．  C

13．8.4 

14．-3

15． 

16． 

17．（1）证明：因为，所以，

所以．

所以，

即．

因为，所以，即．故.

（2）解：由（1）可知．

因为，所以．则．.

由正弦定理可知．则．．

故△ABC的面积．

18．解：（1）由题意可得投到该杂志的1篇稿件初审直接被录用的概率：投到该杂志的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率.

故投到该杂志的1篇稿件被录用的概率.

（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B ，

,

．.

则X的分布列为

故．

19．（1）证明：如图，取棱AB的中点O，连接，OC，．

由题意可知为菱形，且，则为正三角形．

因为O是棱AB的中点，所以．

由题意可知△ABC是边长为2的等边三角形，则，．

因为是边长为2的等边三角形，所以．

因为，所以，所以．

因为AB，平面，且，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解：由（1）可知OB，OC，两两垂直，故分别以，,的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．．，，，故，．，．

设平面ACD的法向量为，

则,令，得．

设平面的法向量为，

则，令，得．

设平面ACD与平面的夹角为θ，则

即平面ACD与平面夹角的余弦值为.

20．解：（1）设椭圆E的方程为．

则，解得，

故椭圆E的方程为．

（2）依题可设直线l的方程为，，，．

联立方程组,整理得，

则，

直线AP的方程为，直线BQ的方程为，

联立方程组，得

由，得，得.

故点M在定直线上．

21．（1）解：因为，所以．

则

解得，．

（2）证明：设

则．

设，则．

设，则．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，即在

上单调递减，在上单调递增．

因为，，，

所以存在，，使得．

故当时，；当时，．

所以在与上单调递增，在上单调递减．

因为，，所以存在唯一的，使得，

所以当时，当时，，

则在与上单调递减，在与上单调递增．

故是与中的较小值．

因为，，所以恒成立，

即对任意的．恒成立．

22．解：（1）由（α为参数），得，即，

则曲线C的极坐标方程为．

（2）联立解得．

联立解得

故．

23．（1）解：因为，所以，所以．

因为，，所以，当且仅当时，等号成立，

则，即的最小值是2．

（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

所以．当且仅当时，等号成立

则，当且仅当时，等号成立．