《中档解答题计划》——专题训练1——数列（一）
展开这是一份《中档解答题计划》——专题训练1——数列（一），共4页。试卷主要包含了基本量问题，新定义函数，求关系问题等内容，欢迎下载使用。
《中档解答题计划》——专题训练1——数列（一）
一、基本量问题、分组求求和
1．已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求数列，通项公式；
（2）设数列中满足，求和．
二、基本量问题、裂项相消求和
2．已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
三、新定义函数、错位相减求和【新定义创新】
3．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：（1），（4）．
（1）求，；
（2）令，求数列的前项和．
四、求关系问题、公式求和【创新求余数】
4．记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数．
《2023年高考“最后三十天”训练计划》第一天
《中档解答题计划》——专题训练1——数列（一）
1．已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求数列，通项公式；
（2）设数列中满足，求和．
【解析】：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，
又，所以，即，
设正项等比数列的公比为，
因为，即，因为，所以，
所以；
（2），
设，
则
．
2．已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
【解析】：（1）设等差数列的公差为，由，，得，
而，解得，，
所以的通项公式；
证明：（2）由（1）知，，
所以．
3．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：（1），（4）．
（1）求，；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】：（1），所有不超过9，且与9互质的正整数有1，2，4，5，7，8，
故；
，所有不超过27，且与27互质的正整数有1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，17，19，20，22，23，25，26，共18个，
故；
（2）中不超过的数共有个，3的倍数有个，
所以，
，，
则，
设数列的前项和为，
则，
，
作差得：，
故数列的前项和．
4．记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数．
【解析】：（1），
，①
，②
由②①可得，
又，
即，
又，
即，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则；
（2）由（1）可得，
则，
则，
又，
即除以3的余数为2．
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