2023届高考数学二轮复习 微专题作业10 几何图形中的数量积问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业10 几何图形中的数量积问题（含解析），共6页。

1.如图，正五边形ABCDE的边长为2eq \r(3)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))的值为________．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，O为△ABC的外心，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为________．
3．已知O是锐角△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且2x＋10y＝5，则cs∠BAC的值为________．
4．已知平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \r(3)eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则平行四边形ABCD的面积
为________．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的值是________．
6．已知AC是半径为2的圆O的一条直径，B，D是圆O上两点，若AB＝2，AD＝2eq \r(3)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________．
7.已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，求eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值．
8．(2018·苏州零模卷)如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一点，求eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围．
微专题10
1．答案：6.
解析：由数量积的投影法可知eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)AE2＝6.
2．答案：8.
解析：取BC边的中点D，连接AD，DO，AO.因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))不共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))可以作为平面所有向量的一组基底．因为点O是△ABC的外心，点D是边BC的中点，所以OD⊥BC，从而eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)×(eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,2)×(25－9)＝8.
3．答案：eq \f(1,3).
解法1因为外心是三角形三条垂直平分线的交点，取AC中点为D，则OD⊥AC，因为eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝50，又因为向量eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋
yeq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))2，即60xcs∠BAC＋100y＝50，也就是6xcs∠BAC＋10y＝5，又已知2x＋10y＝5，所以cs∠BAC＝eq \f(1,3).
解法2设A(0，0)，C(10，0)，∠BAC＝θ，则点B(6csθ，6sinθ)，又O点横坐标为5，eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋
yeq \(AC,\s\up6(→))，所以5＝6xcsθ＋10y＝2x＋10y，所以csθ＝eq \f(1,3)；即cs∠BAC＝eq \f(1,3).
4．答案：2eq \r(3).
解析：因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \r(3)×eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)，所以平行四边形ABCD是边长为2的菱形，且AC＝6，在△ABC中，由余弦定理得
cs ∠ABC＝－eq \f(1,2)，∴∠ABC＝120°.
则菱形ABCD的面积为S＝2S△DAB＝2×eq \f(1,2)×2×2×sin60°＝2eq \r(3).
5．答案：eq \r(2).
解析：建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(eq \r(2)，0)，E(eq \r(2)，1)，设F(x，2)，
因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，0)·(x，2)＝eq \r(2)，解得x＝1，从而eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，1)·(1－eq \r(2)，2)＝eq \r(2).
6．答案：8.
解析：如图，由题意可知，当B，D两点在直径AC的同侧时，BD∥AC，且AC＝4，BD＝2，有eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝8；当B，D两点在直径AC的两侧时，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))2－eq \(CD,\s\up6(→))2＝12－4＝8.
7．答案：13.
解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
则可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即
P(1，4)，所以eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))，eq \(PC,\s\up6(→))＝(－1，t－4)，因此eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝1－eq \f(1,t)－4t＋16＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))，因为eq \f(1,t)＋4t≥2eq \r(\f(1,t)·4t)＝4，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13，当eq \f(1,t)＝4t，即t＝eq \f(1,2)时取等号．
8．答案：[－11，－9]．
解法1以A为坐标原点，过A平行于BC的直线为x轴，△ABC中BC边上的高为y轴，建立直角坐标系，则劣弧EF的方程为x2＋y2＝1，且－1≤y≤－eq \f(1,2)，
设P(x，y)，
B(－2eq \r(3)，－2)，C(2eq \r(3)，－2)，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－x，－2－y)·(2eq \r(3)－x，－2－y)＝x2－12＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4y－8＝－7＋4y∈[－11，－9]．
解法2eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝1＋eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－8＝－7－4csθ－1×
4×cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝－7－4csθ－
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)csθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝－7－(2csθ＋2eq \r(3)sinθ)＝－7－
4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，因为θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))∈[－11，－9]．