2023届高考数学二轮复习 微专题作业19 圆锥曲线的标准方程的求法（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业19 圆锥曲线的标准方程的求法（含解析），共4页。试卷主要包含了则椭圆的标准方程，如图，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的准线方程为y＝－eq \f(1,2)，则抛物线标准方程为________．
2．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为eq \r(2)，若经过F和P(0，4)两点的直线L平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线E的标准方程为________．
3．(2018·南通泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，两条准线之间的距离为4eq \r(2).则椭圆的标准方程
为________________．
4．(2018·苏州高考模拟)已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,4)＝1(m＞0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为________．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且右焦点F到左准线的距离为6eq \r(2)，则椭圆C的标准方程为________．
6．(2018·九章密卷1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，则双曲线C的标准方程为________．
7.如图，已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A(2，0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，|eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，求椭圆E的标准方程．
8．(2018·常州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点(M在第三象限)，与椭圆的右准线交于P点．已知AM⊥MN，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)b2.
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若S△AMN＋S△POF＝eq \f(10,3)a，求椭圆C的标准方程．
微专题19
1．答案：x2＝2y.
解析：假设抛物线标准方程x2＝2py(p＞0)，因为准线方程y＝－eq \f(1,2)＝－eq \f(p,2)，所以p＝1，抛物线标准方程为x2＝2y.
2．答案：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
解析：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，又eq \f(b,a)＝eq \f(4,c)，所以b＝2eq \r(2)，a＝2eq \r(2)，所以双曲线的E的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
3．答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
解析：由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(2a2,c)＝4eq \r(2)解得a＝2，c＝eq \r(2)，所以b＝eq \r(2).所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
4．答案：y＝±eq \r(2)x.
解析：因为eq \f(m＋4,m)＝3，得出m＝2，所以渐近线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝0，所以y＝±eq \r(2)x.
5．答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＋\f(a2,c)＝6\r(2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(2)))则b＝2eq \r(2)，所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
6．答案：x2－eq \f(y2,3)＝1.
解析：因为eq \f(c,a)＝2，不妨设焦点为(c，0)，渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，所以eq \f(bc,\r(b2＋a2))＝b＝eq \r(3)，c2＝4a2＝a2＋b2，所以a2＝1，双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
7．答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\f(4,3))＝1.
解析：因为a＝2，由|eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|＝
2|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，得|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，又由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，则点C(1，－1)代入椭圆E，得b2＝eq \f(4,3)，所以椭圆E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\f(4,3))＝1.
8．答案：(1)eq \f(\r(3),2)；(2)eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
解析：(1)由题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x（x＋a）＋y2＝0，))消去y2，得eq \f(c2,a2)x2＋ax＋b2＝0，一根必为x1＝－a，由韦达定理，－a·x2＝eq \f(b2,\f(c2,a2))，x2＝－eq \f(ab2,c2)，所以xM＝－eq \f(ab2,c2)∈(－a，0)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝xMxA＝eq \f(ab2,c2)a＝eq \f(4,3)b2，eq \f(c2,a2)＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2).
(2)由(1)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)b，－\f(2\r(2),3)b))，右准线方程为x＝eq \f(4\r(3),3)b，直线MN的方程为y＝eq \r(2)x，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)b，\f(4\r(6),3)b))，S△POF＝eq \f(1,2)OF·yP＝eq \f(\r(3),2)b·eq \f(4\r(6),3)b＝2eq \r(2)b2，
S△AMN＝2S△AOM＝OA×|yM|＝2b×eq \f(2\r(2),3)b＝eq \f(4\r(2),3)b2，所以
2eq \r(2)b2＋eq \f(4\r(2),3)b2＝eq \f(10,3)a，eq \f(10\r(2),3)b2＝eq \f(20,3)b，所以b＝eq \r(2)，a＝2eq \r(2)，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.(也可以利用直角三角形AMO中，OA＝a，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)b2，得OM＝eq \f(2,\r(3))b，得出
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4b2,3a)，－\f(2b\r(a2－\f(4,3)b2),\r(3)a)))，代入椭圆方程来处理)．