2023届高考数学二轮复习 微专题作业47 等差数列的前n项和Sn的最值问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业47 等差数列的前n项和Sn的最值问题（含解析），共4页。试卷主要包含了已知等差数列{an}，所以n＝19或1等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}：5，4eq \f(2,7)，3eq \f(4,7)，…，当n＝______时，数列{an}的前n项和Sn最大？
2．(2018·无锡期末试卷)已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，eq \f(5,4)，2a7成等差数列，则a1a2……an的最大值为________．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝12，S12>0，S13<0，当n＝________时，Sn取得最大值．
4．在等差数列{an}中，已知a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
5．在等差数列{an}中，eq \f(a11,a10)<－1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn取得最小正数的n＝________．
6．等差数列{an}的前n项和Sn，Sn的最大值为S6，且|a6|<|a7|，则使Sn<0的n的最小值是________．
7.已知数列{an}是等比数列，首项a1＝8，令bn＝lg2an，若数列{bn}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，求数列{an}的公比q的取值范围．
8．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
微专题47
1．答案：7或8.
解析：有条件得an＝eq \f(40－5n,7)，所以数列{an}单调递减，而a7>0，a8＝0，a9<0，所以，当n＝7或8时，数列{an}的前n项和Sn最大．
2．答案：1 024.
解析：由条件解得：a1＝16，q＝eq \f(1,2).故an＝25－n，所以a1a2……an＝24＋3＋…＋(5－n)，故令an＝25－n≥1，解得n≤5，即有a1>a2>a3>a4>a5＝1>a6>…，所以a1a2……an的最大值为a1a2a3a4＝a1a2a3a4a5＝24·23·22·21·20＝210＝1 024.(本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的性质．)
3．答案：6.
解法1由题意得a6>0，a7<0，由单调性可知S6最大；
解法2由Sn为n的二次函数，S12>0，S13<0，可得，对称轴为x＝k(64．答案：(－1，－eq \f(7,8))．
解法1由题意知，{an}递减即d<0，且a8>0>a9，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a8＝7＋7d>0，,a9＝7＋8d<0，))解得－1解法2因为Sn＝7n＋eq \f(n（n－1）,2)d当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S7即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(49＋21d<56＋28d，,63＋36d<56＋28d，))解得
－15．答案：19或1.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题设d<0，由eq \f(a11,a10)<－1，可知a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，故S19＝eq \f(19（a1＋a19）,2)＝19a10>0，S20＝eq \f(20（a1＋a20）,2)＝
eq \f(20（a10＋a11）,2)<0，1与19到对称轴的距离相等，∴S1＝S19.所以n＝19或1.
6．答案：12.
解析：数列{an}是递减数列且a6>0，a7<0，则a6<－a7，a6＋a7<0，S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)<0，而S11＝11a6>0，所以使Sn<0的n的最小值是12.
7．答案：[2－eq \f(1,2)，2－eq \f(3,7))．
解析：b1＝3，公差d＝lg2q<0，Sn＝eq \f(d,2)n2＋(3－eq \f(d,2))n，因为{bn}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，所以eq \f(13,2)≤－eq \f(3－\f(d,2),d)－eq \f(1,2)≤d<－eq \f(3,7)，即q∈[2－eq \f(1,2)，2－eq \f(3,7))．
8．答案：当n＝12或13时，Sn取得最大值为130.
解法1因为S10＝S15，所以S15－S10＝0，即a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，也即5a13＝0，所以a13＝0，即a1>a2>…>a12>a13＝0>a14>a15>…，故当n＝12或13时，Sn取得最大值为eq \f(13（a1＋a13）,2)＝eq \f(13（20＋0）,2)＝130.
解法2设公差为d.因为S10＝S15，所以10a1＋eq \f(10×9,2)d＝15a1＋eq \f(15×14,2)d，代入a1＝20，得d＝－eq \f(5,3).所以Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝－eq \f(5,6)n2＋eq \f(125,6)n＝－eq \f(5,6)(n2－25n)，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值为12a1＋eq \f(12×11,2)×(－eq \f(5,3))＝130.