2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图

这是一份2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图，共20页。试卷主要包含了直线，相交线，平行线，五种基本作图等内容，欢迎下载使用。
        2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．   1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：  做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边． 3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）       作射线AP；（2）       在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。2.求作一个角等于已知角∠MON．（SSS）（1）作射线；（2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．3.作已知线段的垂直平分线。已知：如图，线段MN.求作：ＭＮ的垂直平分线.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于  相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线4.过一点作已知直线的垂线； 如下图，已知△ABC，求作：BC边上的高分析  作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；作法  如下图①以点A为圆心，适合的长度为半径画弧，交直线CB于G、H两点；②分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；③作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．5.作已知角的角平分线。（SSS）已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，恰当的长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）       作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 第二部分：考点典例剖析考点一：图形的展开与折叠、三视图【例1-1】（2021·浙江金华·统考中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（    ）A． B． C． D．【例1-2】（2022·海淀）如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（　　）A．  B．C． D．【例1-3】（2021·顺义）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是下列图中的　     　．（填序号）考点二：直线、线段与射线【例2-1】（202文登区）下列说法错误的是　　A．直线和直线表示同一条直线 B．直线比射线长 C．线段和线段表示同一条线段 D．过一点可以作无数条直线【例2-2】（2022·河北）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线，如图所示，则从家到书店的最短路线是（    ）A． B． C． D．考点三：角【例3-1】（2022•河北）如图，，则　　A． B． C． D．无法比较与的大小【例3-2】（2022岱岳区）如图，以为边作，使，那么下列说法正确的是　　A． B．或 C． D．考点四：平行与垂直【例4-1】(2022北京顺义)如图,直线a//b,点B在直线a上,AB⊥BC,若∠1=40°,则∠2的度数为(  )A.40° B.50° C.80° D.140°【例4-2】(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,若∠1＝47°,则∠2＝(　　)A.40° B.43° C.45° D.47°【例4-3】(2020•衡阳)一副三角板如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为　   　.考点五．基本作图【例5-1】（2021•阿坝州）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【例5-2】．（2021•陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）考点六： 复杂作图【例6-1】（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）A． B． C． D．【例6-2】（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．考点七：应用与设计作图【例7-1】（2021•河池）如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．【例7-2（咸宁）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　   　；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（    ）A．30° B．45°C．60° D．75°2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线3．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ）A． B．C． D．4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ）A． B． C． D．5．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（    ）A．10° B．20° C．30° D．40°6.（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（    ）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行7．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（    ）A． B． C． D．8．（2021·浙江金华·统考中考真题）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（    ）如图，已知直线．若，则．请完成下面的说理过程．解：已知，根据（内错角相等，两直线平行），得．再根据（       ※        ），得． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补9．（2020·浙江衢州·统考中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）A． B．C． D．(2022·山东省聊城市)如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )A. B. C. D.   (2022·辽宁省营口市)如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点，则以下推断错误的是(    )A. B. C. D. (2022·贵州省黔西南布依族苗族自治州)在中，用尺规作图，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和作直线交于点，交于点，连接则下列结论不一定正确的是(    )
A.  B. C.  D. (2022·湖南省)如图，在中，按以下步骤作图：分别过点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点；作直线交于点；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接、．(2022·湖南省)如图，在中，平分，以点为圆心，以任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法错误的是(    )A. 到，边的距离相等 B. 平分C. 是的内心 D. 到，，三点的距离相等(2022·广西壮族自治区)如图，是求作线段中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是(    )A. B. C. D. (2022·青海省西宁市)如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点，于点则以下结论错误的是(    )
A. 是等边三角形 B. C. ≌ D. 四边形是菱形(2022·辽宁省盘锦市)如图，线段是半圆的直径．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是(    )
A.  B.  C.  D. (2022·四川省广元市)如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为(    )   
A.  B.  C.  D. 二.填空题(2022·西藏)如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交直线于点已知线段，，则点到射线的距离为______．
(2022·江苏省连云港市)如图，在▱中，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为______．
(2022·内蒙古自治区通辽市)如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数______
(2022·辽宁省丹东市)如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与交于点，则的长为______．  (2022·山东省枣庄市)如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线分别与，，交于点，，若，，则______．  (2022·四川省成都市)如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为______．
 (2022·广东省)如图，中，．作点关于的对称点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹在所作的图中，连接，，连接，交于点．
求证：四边形是菱形；(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知中，，，．作的垂直平分线，分别交、于点、；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，求的周长．   (2022·福建省)如图，是矩形的对角线．求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值．
(2022·山东省烟台市)如图，是的外接圆，．请用尺规作出的切线保留作图痕迹，不写作法；在的条件下，若与切线所夹的锐角为，的半径为，求的长．
(2022·广东省广州市)如图，是的直径，点在上，且，．尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，连接保留作图痕迹，不写作法；在所作的图形中，求点到的距离及的值．
26.（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．(1)求证：．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．27.（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：≈1.414，≈1.732）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？（2022·四川自贡·中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．