数学（湖北宜昌卷）-学易金卷：2023年中考第三次模拟考试卷

2023年中考数学第三次模拟考试卷

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是绝对值、倒数，熟练掌握相关性质是解题的关键．
依据绝对值的性质、倒数的定义求解即可．
【解答】
解：．
因为
所以的倒数是．
故选：．  

2.  每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查的是科学记数法有关知识，利用科学记数法的表示方法进行解答即可．
【解答】
解：．
故选B．  

3.  下列电视台的台标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

此题主要考查了中心对称图形的知识点，解题关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

根据中心对称图形的概念求解，即可解答．

【解答】

解：是中心对称图形，符合题意．
A、、不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．  

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】解：、不能合并，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选：．
分别利用合并同类项法则，同底数幂的乘、除法运算法则和积的乘方运算法则等知识分别化简得出即可．
此题主要考查了合并同类项法则，及同底数幂的乘、除法运算法则和积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
 

5.  如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是(    )

 

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为．
【解答】
解：由图象可知：当时，函数的图象都在的图象上方，
当时，，
即不等式的解集为．
故选B．  

6.  如图，中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
先利用勾股定理计算出，再利用作法得到作法得垂直平分，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【解答】
解：，，，
，
由作法得垂直平分，
为斜边上的中线，
．
故选：．  

7.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

【答案】B 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

8.  若一组数据为：，，，，则下列说法错误的是(    )

A. 这组数据的众数是
B. 事件“在这组数据中随机抽取个数，抽到的数是“是不可能事件
C. 这组数据的中位数是
D. 这组数据的平均数是

【答案】D 

【解析】解：、出现了次，在该组数据中出现的次数最多，是该组数据的众数，说法正确，不符合题意；
B、事件“在这组数据中随机抽取个数，抽到的数是”是不可能事件，说法正确，不符合题意；
C、将该组数据从小到大排列：，，，，，处于中间位置的数为，中位数为，说法正确，不符合题意；
D、这组数据的平均数为，说法错误，符合题意．
故选：．
分别根据众数、随机事件、中位数、平均数的定义解答．
本题考查了众数、随机事件、中位数、平均数，知道各统计量是解题的关键．
 

9.  如图，是的直径，，两点在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

【答案】C 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
由，根据圆周角定理得出，再利用邻补角的性质即可得出的度数．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧的关系，解题的关键是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
 

10.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选B．  

11.  如图，在中，，点是边上一动点不与、重合，，交于点，且下列结论：当时，与全等；∽；为直角三角形时，为或；其中正确的结论有几个(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】C 

【解析】解：作于，如图，
，
，
而，
∽，
，
，
在中，，
，
，
当时，，
，
≌，所以正确；
，
，
而，
，
而，
∽，
所以正确；
当时，
∽，
，即，
点与点重合，此时，
当，如图，
∽，
，
在中，，
，
为直角三角形时，为或，所以正确；
，
而不是的平分线，
与不一定相等，
与不一定相似，
不成立，所以错误．
故答案为．
故选：．
作于，如图，先证明∽，再利用余弦定义计算出，则，当时，可得，则可判断≌，于是可对进行判断；
根据等腰三角形的性质，由得，而，则，所以∽，于是可对进行判断；
由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用∽得到，即，易得，当，如图，利用∽得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出，于是可对进行判断；
由于，而不是的平分线，可判断与不一定相等，因此与不一定相似，这样得不到，则可对进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

12.  菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为          ．

【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】
解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故答案为：．  

13.  如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度约为______ 按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：

【答案】 

【解析】解：由题意得：，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
，
米，
这棵树的高度约为米，
故答案为：．
根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

14.  如图，将半径为的半圆，绕点逆时针旋转，使点落到点处，则图中阴影部分的面积是______．

【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．
根据整体思想，可知，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】
解：
而根据旋转的性质可知
而由题意可知，
即：
故答案为．  

15.  如图，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为______ ．
 

【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
，
为等边三角形，
点是边的中点，
，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，即的长．
观察图象可知，当点与重合时，，
，，
在中，，
的最小值为，
点的纵坐标，
，
，
，

点的横坐标，
．
故答案为：
由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，分别求出的最小值，的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 先化简，再求代数式的值，其中．

【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】先把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

17.  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得．
不等式组的解集为：．
数轴上表示不等式的解集为：
． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.  如图，已知，，、是上两点，且．
求证：≌；
若，，求的度数．

【答案】证明：，
，
，
，
又，
≌．
解：，，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质得出，根据可得出≌；
求出，可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

19.  为弘扬遵义红色文化，传承红色文化精神，某校准备组织学生开展研学活动．经了解，有遵义会议会址、苟坝会议会址、娄山关红军战斗遗址、四渡赤水纪念馆共四个可选择的研学基地．现随机抽取部分学生对基地的选择进行调查，每人必须且只能选择一个基地．根据调查结果绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

统计图中______，______；
若该校有名学生，请估计选择基地的学生人数；
某班在选择基地的名学生中有名男同学和名女同学，需从中随机选出名同学担任“小导游”，请用树状图或列举法求这名同学恰好是一男一女的概率．

【答案】   

【解析】解：由题意可知：总人数人
所以人，，
故答案为：，；
估计选择基地的学生人数人
根据题意列表如下：

由上表可知，共有种等可能的结果，其中“男女”的结果有种．
所以：男女
由选择研学基地所占的百分比可求出总人数，进而即可求出，的值；
根据选择基地的百分数查即可估计选择基地的学生人数；
列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率；
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和概率公式．

20.  如图，内接于，，过点的切线与的延长线相交于点．
求证：；
若，求阴影部分的面积．

【答案】证明：，，，
≌，
，
，，
与圆相切于，
半，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积． 

【解析】由≌，得到，由等腰三角形的性质推出，由切线的性质得到，即可证明问题；
由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出，求出的度数，即可得到，是等腰直角三角形，求出长，即可求出扇形的面积，的面积，从而得到阴影的面积．
本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出的度数．

21.  如图，是菱形的对角线，点是边上一点，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且．
 

求证：平分

如图，若点落在上．

猜想与之间的数量关系，并证明你的结论

若，求证：．

【答案】证明：由对折性质可得，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
平分．
，证明如下
设与相交于点，， ，

由得，
在中，，
即，
又  ，
  ，
，
，
，
，
  ，
，
，
，
，
  ．
延长交的延长线于点，

，
，∽，
，
，
，
 ，，
 ，解得 ，
设，则，
∽，
 ，即 ，
 ， ，
，
，
，
，解得 ，
 ， ，
． 

【解析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质及相似三角形的判定及性质．
由对折可得，由菱形性质可得，然后等量代换可得，平分．
设，，然后通过角度的计算得出．
易得，然后利用相似三角形求出对应线段的长，由，列式求出，的长即可得出结论．
 

22.  如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中作图，将绕着点顺时针旋转得到，画出线段；
在图中作图，在上画一点，使得；
在图中作图，在上画一点，使得；
在图中作图，点为上一点，在上画一点，使得．
 

【答案】

解：如图，线段即为所求；

如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求． 

【解析】根据旋转的性质，即可得出；
根据等腰直角三角形的三线合一，可得点的位置；
画的垂直平分线，交于点；
在等腰中，作点的对称点，连接，交于点．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角函数，等腰三角形的轴对称性等知识，熟练掌握网格中基本作图方法是解题的关键．
 

23.  问题背景：已知为等边三角形，．
如图，点在的延长线上，，求证：≌；
变式运用：如图，点在的延长线上，，为的中点，求证：．
拓展创新：如图，在中，，将沿折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作交于点直接写出的值用含的式子表示．
 

【答案】

证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：如图，延长交于点，

，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，，
则，
由折叠的性质得：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
，
，
，
，
∽，
． 

【解析】由等边三角形的性质得，，再证，然后由证≌即可；
由等边三角形的性质得，，再证，进而得，然后证∽，即可得出结论；
延长交于点，证四边形是矩形，得，，设，，则，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得，则，，进而证∽，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，时近正午等边三角形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.  已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，．
如图，求抛物线的解析式；
点为第四象限内抛物线上一点，连接，．
如图，若交轴于点，且，求点坐标；
如图，连接，过点作，，分别交抛物线于和两点，连接，设直线的解析式为，设直线的解析式为，求的值．
 

【答案】

解：，抛物线关于轴对称，
故点、、的坐标分别为：、、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；

设点的坐标为：，
设的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
当时，，
则点，
同理可得，直线的表达式为：，
则，
而，
，
，
解得：舍去或，
即点；

由知，直线的表达式为：，
，
直线的表达式为：；
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
故点的坐标为：，
同理可得，直线的表达式中的值为：，
，
则直线的表达式为：；
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
则点的坐标为：，
由点、的坐标，同理可得，其表达式中的，
由中的表达式知，，
． 

【解析】用待定系数法即可求解；
求出直线的表达式为：，则点，得到，同理可得：，进而求解；
求出直线的表达式中的值为：，得到直线的表达式为：；得到点的坐标为：，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到用待定系数法求函数表达式、面积的计算等，题目涉及到的字母较多，需要认真求解，避免出错．