2022-2023学年山东省泰安市泰山实验中学九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市泰山实验中学九年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共15小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

2.  下列命题中正确的有个(    )
平分弦的直径垂直于弦
经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
平面内三点确定一个圆
三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．

A.  B.  C.  D.

3.  是的内心，为，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，边长为米的正方形池塘的周围是草地，池塘边、、、处各有一棵树，且米现用长米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在(    )

A. 处 B. 处 C. 处 D.  处

6.  某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图中外接圆的圆心坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，圆内接四边形的，的延长线交于，，交于，则图中相似三角形有(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

9.  用、、三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，大圆的弦经过点，且，，则两圆组成的圆环的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是(    )

A.  
B.
C.  
D.

13.  如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依、、、、、、、、的顺序沿着圆周上的段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

14.  如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面不计损耗，则该圆锥的高为(    )
 

A.  B.  C.  D.

15.  如图，在中，，以点为圆心、为半径的与相切于点，交于，交于，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

16.  从、、、中任意选两个数，记作和，那么点在函数图象上的概率是______ ．

17.  如图，四边形内接于，，则等于______

18.  如图，半圆的直径，弦，，则图中阴影部分的面积为______．
 

19.  如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

20.  如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，过点作，垂足为点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

四、解答题（本大题共5小题，共51.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有多少人？
将两幅不完整的图补充完整；
求扇形统计图中所对圆心角的度数；
若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是粽的概率．

22.  本小题分
如图，在中，以为直径作半圆，交于点，交于点，．
求证：
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，和是的半径，并且，是上任一点，的延长线交于，过的的切线交的延长线于求证：．

24.  本小题分
如图，已知直线与相切于点，直线与相交于，两点．
求证：；
若，求图中阴影部分的面积．
 

25.  本小题分
如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上一点，交于点，连接、．
求证：平分．
若，
求的度数；
若的半径为，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是；当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，则直径是，因而半径是；
故选：．
点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；
经过半径在圆上的一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故错误；
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故错误；
平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故错误；
三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故正确；
故选：．
根据题目中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．
本题考查命题和定理，解题的关键是可以判断一个命题的真假．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：、是、的角平分线，
，
，
，
．
故选：．
根据题意画出图形，由三角形内切定义可知：、是、的角平分线．利用内角和定理先求得，所以可知，把对应数值代入此关系式即可求得的值．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是的切线，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质，即可求得的度数．
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
 

5.【答案】 

【解析】解：；
；
；
，
故选：．
分别把、、、这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．
主要考查了扇形的面积计算．这个公式要牢记，面积公式：．
 

6.【答案】 

【解析】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：



故选：．
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．必然事件不可能事件．
 

7.【答案】 

【解析】解：外接圆圆心的坐标为．
故选：．
作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出圆心坐标即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，正确地作出圆心的坐标是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知图中相似三角形有对，分别是：∽，∽，∽，∽故选C．
根据圆周角定理及相似三角形的判定方法进行分析即可．
本题主要考查了圆周角及相似三角形的判定定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：用，，三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：，，，，，；
排出的数是偶数的有：、、、；
排出的数是偶数的概率为：
首先利用列举法可得：用，，三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：，，，，，；且排出的数是偶数的有：、、、，然后直接利用概率公式求解即可求得答案
此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
故选D．
先根据轴对称图形和中心对称图形的定义得到圆和菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，然后根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形和中心对称图形．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接、、、，
大圆的弦与小圆相切于点，
，
．
，，
．
，，
∽，
，
，
，
则两圆组成的圆环的面积是．
故选：．
连接，先根据切线的性质定理和垂径定理证出，再利用∽，得到，代入数据求得，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解．
此题综合运用了切线的性质定理、垂径定理、圆环的面积公式．注意：圆环的面积是相切于小圆的大圆的弦．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，过作于；
，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选A．
连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长．
此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据行走一圈的周长是：，
每相邻两点间的路程是，
，
则最后停在了第个点，即点．
故选：．
首先求得蚂蚁爬行一周的路径长，则得到每一段的长，计算出爬行时，爬行的圈数，即可确定．
本题考查了圆周长的计算，正确理解几个位置不断的循环重复是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】
解：过作于，

，，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，
圆锥的高．
故选D．  

15.【答案】 

【解析】解：连接，
是切线，点是切点，
，
，
，
，
阴影部分的面积
故选：．
连接，是切线，点是切点，则，由圆周角定理知，，可求，，即可求阴影部分的面积
本题考查切线的性质，掌握圆周角定理，切线的概念，三角形的面积公式，扇形的面积公式求解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，点在函数图象上的有，；
点在函数图象上的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
，
．
故答案为：．
先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：弦，
，
．
故答案为：．
由可知，点、到直线的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出，进而得出，根据扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出，属于基础题．
 

19.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，分析出当时，最小，即最小是解题的关键．
如图，根据题意得到，当时，最小，接下来求出点，的坐标，推出，再证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，
为圆的切线，，
，
，
当最小时，最小，
当时，最小，

的坐标为，
设直线与轴，轴分别交于，，
，，
，，
，
，
在与中，

≌，
，
的最小值．
故答案：．  

20.【答案】证明：如图，连接，作于点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线．

解：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
． 

【解析】证明：如图，连接，作于点，推出；然后根据，，推出，即可推出是的切线．
首先判断出：，然后判断出四边形为矩形，即可求出的值是多少．
此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．
 

21.【答案】解：本次参加抽样调查的居民人数是：人；
类的人数是：人，
类所占的百分比是：，
类所占的百分比是：．
；
扇形统计图中所对圆心角的度数是：；
画树状图如下：

则他第二个吃到的恰好是粽的概率是：． 

【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据类有人，所占的百分比是即可求解；
利用总人数减去其他类型的人数即可求得类型的人数，然后根据百分比的意义求解；
利用乘以对应的百分比即可求解；
利用树状图法即可求解．
 

22.【答案】解：连接，，
是半圆的直径，
，
，
在和中，，
≌，
．

，
，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：．
即． 

【解析】连接，，则可得，证明≌，即可得出结论；
在中求出，设，则，在中利用勾股定理可求出，即得出的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理的知识，利用圆周角定理得出是解题的突破口．
 

23.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
．
，
．
又，
．
．
． 

【解析】首先连接，由切线的性质，可得，又由，可得，继而可证得，则可证得．
此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

24.【答案】证明：连接．

是的切线，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明的等边三角形．
连接，只要证明∽，可得，由此即可解决问题；
首先证明是等边三角形，根据计算即可．
 

25.【答案】解：证明：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
，
，
，
；
过点作于点，

则，
，，
，
，
在中，，
，
． 

【解析】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
由切线性质知，结合得，且，即可知，从而得证；
由知，结合可得答案；
过点作，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知，由得出，在中，由可得答案．