2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，中，分式的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面的图案中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如果把分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大到原来的倍

6.  如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(    )
 

A.  B.
C.  D.

7.  下列说法一定正确的是(    )

A. 有两个角相等的三角形一定是等边三角形
B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
C. 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线
D. 如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形

8.  若与的乘积中不含的一次项，则的值为(    )

A.   B.   C.   D.  

9.  古希腊几何学家海伦在他的著作度量中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，为边上的高，平分，点在上，连接，，下列结论：；；；，其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法表示为          ．

12.  使分式有意义的的取值范围是          ．

13.  点关于轴对称的点的坐标为          ．

14.  把多项式因式分解的结果是______ ．

15.  若，，则          ．

16.  如图，中，，，则的度数为______

17.  已知，，则______．

18.  在中，，有一个锐角为，，点在边上不与点、重合，，则的长为______ ．

19.  如图，等边中，于点，点为的中点，，，点为上一点，连接、，如果，那么的最小值为______ ．

20.  如图，等边中，于点，点、分别在边、上，连接，点在上，连接，若，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
计算：
；
．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

23.  本小题分
如图，下列网格是由边长为的小正方形组成，按下列要求在网格内作图．

在图中画出以为腰的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，且；
在图中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为．

24.  本小题分
如图，在中，，点、分别为边、上的点，，将沿对折，点落在点．
请你根据图形，利用无刻度的直尺作出边的垂直平分线；
请你运用所学的知识，证明所作的直线为边的垂直平分线．

25.  本小题分
哈市去年进行道路改造，甲、乙两个工程队共同承包某段道路，甲队比乙队每天多改造米，甲队改造米与乙队改造米所用的时间相等．
求甲、乙两队每天各改造道路多少米？
若甲、乙两队同时施工，天后乙队每天增加了工作量，两队施工天两队共改造的道路不少于米，求乙队增加工作量后每天至少改造多少米道路？

26.  本小题分
已知：四边形，连接，，，，．

如图，求证：是等边三角形；
过点作于点，点为上一点不与点重合，，的边交的延长线于点，另一边交的延长线于点，如图，点与点重合时，求证：；
如图，在的条件下，点不与点重合，过点作，交于点，：：，，，点为上一点，连接、，交于点，，求的长．

27.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，点，点，其中，．

分别求、的值；
如图，点在第一象限内，连接、，轴，点在第四象限内，连接，，，设，点的纵坐标是，请你用含有的代数式表示；
如图，在的条件下，交轴于点，连接并延长交轴于点，延长至点，连接，过点作于点，延长交过点垂直于的垂线于点，连接，若，点的坐标为，点，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：代数式，，这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的概念，掌握分式与整式的区别主要在于分母中是否含有字母是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；
B.，被开方数是完全平方数，故不符合题意；
C.是最简二次根式，故符合题意；
D.，被开方数是小数，故不符合题意．
故选：．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：


，
即分式的值不变，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知，
图的面积为：，
图的面积为：，
所以．
故选：．
根据图形可以用代数式表示出图和图的面积，由此得出等量关系即可．
本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 

7.【答案】 

【解析】解：、有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形，原说法不正确，不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原说法正确，符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，原说法不正确，不符合题意；
D、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，原说法不正确，不符合题意．
故选：．
根据等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的性质，轴对称的性质进行一一分析判断．
本题考查了轴对称图形，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的性质，注意：等边三角形与等腰三角形的区别与联系．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
乘积中不含的一次项，
，
．
故选D．
先根据已知式子，可找出所有含的项，合并系数，令含项的系数等于，即可求的值．
本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
的面积为：，
故选：．
根据题中的公式，代入计算求值．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的计算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，延长交于，
，
，
于，
，
，
，
，
故正确；
平分，
，
，
，
，
故正确；
是等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，
故正确；
，，
，
．
故正确的是．
故选：．
作于，延长交于，由等腰三角形的性质，余角的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质可以解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，关键是通过作辅助线应用等腰三角形的性质，构造全等三角形．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】

解：．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】
解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
注意将平面直角坐标系与轴对称结合记忆：点关于轴对称点的坐标．
坐标平面内两个点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】
解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
故答案为：．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
解得：．
故答案是：．
把两边平方，然后把代入即可求解．
本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，若，

则，
，
，
，
，
则，
；
如图，若，

则，
，
，
，
为等边三角形，
；
综上，的长为或．
故答案为：或．
根据题意画出图形，分种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：连接交于，连接，
是等边三角形，点为的中点，
，
在等边中，于点，
，
，
的最小值，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接交于，连接，根据等边三角形的性质和轴对称的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：在上取点，连接，使，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
，
．
故答案为：．
在上取点，连接，使，证明≌，得到，，求出，则即可求出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
 

21.【答案】解：

；


． 

【解析】先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘单项式即可；
根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：如图，直线即为的垂直平分线．
证明：由翻折可得，，
，
，
，
为等腰三角形，
直线为的垂直平分线． 

【解析】作直线，则直线即为所求．
由翻折可得，根据，可得，再结合等腰三角形的性质可得出结论．
本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质、翻折变换折叠问题，熟练掌握翻折、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：设乙队每天改造道路米，则甲队每天改造道路米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲队每天改造道路米，乙队每天改造道路米．
设乙队增加工作量后每天改造米道路，
依题意得：，
解得：．
答：乙队增加工作量后每天至少改造米道路． 

【解析】设乙队每天改造道路米，则甲队每天改造道路米，根据工作时间工作总量工作效率，结合甲队改造米与乙队改造米所用的时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设乙队增加工作量后每天改造米道路，根据工作总量工作效率工作时间，结合两队施工天两队共改造的道路不少于米，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形；
证明：如图，取的中点，连接，

是等边三角形，
，，
，
，
，，
是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
≌，
，
即；
解：如图，延长交于点，取的中点，连接，

则为等边三角形，
：：，
设，则，
的边长为，的边长为，
，，
同得：≌，
，
即，
解得：，
，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同得：是等边三角形，
，，
，，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得，再证，然后由平行线的性质得，得，即可得出结论；
取的中点，连接，证≌，得，即；
延长交于点，取的中点，连接，则为等边三角形，设，则，得的边长为，的边长为，则，，同得≌，则，即，解得，则，，再证是等边三角形，得，同得是等边三角形，则，，然后由含角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：，．
又，，
，，
，；
如图，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，
得矩形，
，，

，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，，
，点，
，，
，
，
点的纵坐标是，
，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点和点关于轴对称，
点，
点的坐标为． 

【解析】利用非负数的性质即可求出，的值；
过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，得矩形，然后证明≌，可得，，进而利用线段的和差即可解决问题；
证明≌，可得，得点和点关于轴对称，根据点坐标即可得点的坐标．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．