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2023年河南省商丘市中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省商丘市中考数学一模试卷附解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省商丘市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（3分）中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ）
A．61345.05×108 B．0.6134505×1013
C．6.134505×1012 D．6.134505×1011
3．（3分）从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检查“神舟十四号”飞船的各零部件
B．了解全国初中学生的体质状况
C．调查人们垃圾分类的意识
D．了解一批新冠疫苗的质量
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，2）
10．（3分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BD上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣|﹣5|﹣＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+b＝0有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为7的正方形，点E在边AD上，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，若AE＝2，则BF＝ ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是 cm2．（结果保留根号和π）
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分65分
16．（10分）计算：
（1）（m+2n）（m﹣2n）﹣m（m﹣3n）；
（2）．
17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
18．（9分）如图，海中有一个小岛A，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行一段距离后到达该岛的南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行14.1海里，此时货轮与A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°＝0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°＝0.57，tan55°≈1.43）
19．（9分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
20．（9分）为绿化校园，我校决定购买甲、乙两种树苗对校园环境进行改善．已知每棵甲种树苗的价格是乙种树苗价格的1.5倍；购买甲种树苗2棵，乙种树苗3棵，共需24元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买甲、乙两种树苗共240棵，设购买甲种树苗的数量为m棵，购买树苗的总费用为W元，求W关于m的函数表达式；
（3）在（2）的情况下，厂家对甲种树苗打9折优惠，乙种树苗的价格不变，且购买总费用不超过1200元．则最多能购买甲种树苗多少棵？
21．（9分）筒车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明．如图①，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾人木槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图 ②，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝4，MP＝6，求BP的长．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．
（1）求b和k的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；
（3）点M在直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
23．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB＝∠CBA，所以AE＝BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
任务：
（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 ；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P＝30°，PA＝PB，AB＝，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC＝PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．
2023年河南省商丘市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：A．
2．（3分）中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ）
A．61345.05×108 B．0.6134505×1013
C．6.134505×1012 D．6.134505×1011
【解答】解：61345.05亿＝6134505000000＝6.134505×1012．
故选：C．
3．（3分）从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，组合体的左视图为，
故选：C．
4．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检查“神舟十四号”飞船的各零部件
B．了解全国初中学生的体质状况
C．调查人们垃圾分类的意识
D．了解一批新冠疫苗的质量
【解答】解：A、检查“神舟十四号”飞船的各零部，适宜采用全面调查（普查）方式，符合题意；
B、了解全国初中学生的体质状况，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、调查人们垃圾分类的意识，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
D、了解一批新冠疫苗的质量，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°．
故答案为：C．
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，
解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
解法二：
∵DE是△ABC的中位线，AB＝8，BC＝12，
∴BD＝AB＝4，DE∥BC，DE＝BC＝6，
∴∠DFB＝∠CBF，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故选：C．
8．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故选：C．
9．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，2）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，6），
∴OA＝8，OC＝6
∴AC＝＝10
由题意可得AD平分∠OAC
∴∠DAE＝∠DAO，AD＝AD，∠AOD＝∠AED＝90°
∴△ADO≌△ADE（AAS）
∴AE＝AO＝8，OD＝DE
∴CE＝2，
∵CD2＝DE2+CE2，
∴（6﹣OD）2＝4+OD2，
∴OD＝
∴点D（0，）
故选：B．
10．（3分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BD上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH，
∴××3×4＝×4×EH，
∴EH＝，
∴CH＝＝＝，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，
∴AE＝＝＝，
即图象最低点的纵坐标是．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣|﹣5|﹣＝ ﹣3 ．
【解答】解：﹣|﹣5|﹣
＝﹣5﹣（﹣2）
＝﹣5+2
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+b＝0有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是 b＜9 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4b＞0，
解得b＜9．
故答案为：b＜9．
13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为7的正方形，点E在边AD上，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，若AE＝2，则BF＝ 15 ．
【解答】解：过F点作FH⊥BC于H点，FH交AD于G点，如图，
∵四边形ABCD是边长为7的正方形，
∴AD＝BC＝CD＝7，∠A＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴DE＝AD﹣AE＝5，FG⊥AG，
∵CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CED+∠FEG＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠FEG＝ECD，
在△EFG和△CEED中，
，
∴△EFG≌△CED（AAS），
∴FG＝ED＝5，EG＝CD＝7，
∵∠DCH＝∠BHG＝∠A＝90°，
∴四边形ABHG为矩形，
∴BH＝AG＝AE+EG＝2+7＝9，GH＝AB＝7，
∴FH＝FG+GH＝5+7＝12，
在Rt△BFH中，BF＝＝＝15．
故答案为：15．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是 （12﹣3﹣π） cm2．（结果保留根号和π）
【解答】解：⊙O交AD、BC于E、F，如图，
∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴BE和AF为⊙O的直径，
∵AB＝2，AF＝4，
∴cos∠BAF＝＝，BF＝2，
∴∠BAF＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠AOE＝60°，∠EOF＝120°，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△OAE﹣S扇形EOF
＝2×2﹣×2×2﹣×22﹣
＝（12﹣3﹣π）cm2．
故答案为（12﹣3﹣π）．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 或1 ．
【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，
由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF＝CD＝4，
设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝，即AP＝；
如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，
过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
解得FQ＝，QE＝，
∴AQ＝HF＝，AH＝，
设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝1，即AP＝1．
综上所述，AP的长为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分65分
16．（10分）计算：
（1）（m+2n）（m﹣2n）﹣m（m﹣3n）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣4n2﹣m2+3mn
＝﹣4n2+3mn．
（2）原式＝÷
＝•
＝．
17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，a＝1，b＝4，
把前进班学生的成绩从小到大排列为52，66，73，85，85，85，94，94，95，97，故中位数c＝＝85；
奋斗班学生的成绩中出现次数最多的是84，故众数d＝84；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，所以小林同学的成绩大于他所在的班的中位数，所以小林同学在奋斗班；
（3）奋斗班的方差小于前进班，成绩比较稳定．
18．（9分）如图，海中有一个小岛A，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行一段距离后到达该岛的南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行14.1海里，此时货轮与A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°＝0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°＝0.57，tan55°≈1.43）
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝25°，CD＝14.1海里，
∴AD＝≈＝30（海里）．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝55°，
∴AB＝≈≈52.6（海里）．
答：货轮在B处时与小岛A的距离约为52.6海里．
19．（9分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
，得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x＞7时，设y＝，
100＝，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，
当y＝30时，x＝，
∴y与x的函数关系式为：y＝，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵14﹣2＝12，﹣12＝
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min；
20．（9分）为绿化校园，我校决定购买甲、乙两种树苗对校园环境进行改善．已知每棵甲种树苗的价格是乙种树苗价格的1.5倍；购买甲种树苗2棵，乙种树苗3棵，共需24元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买甲、乙两种树苗共240棵，设购买甲种树苗的数量为m棵，购买树苗的总费用为W元，求W关于m的函数表达式；
（3）在（2）的情况下，厂家对甲种树苗打9折优惠，乙种树苗的价格不变，且购买总费用不超过1200元．则最多能购买甲种树苗多少棵？
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是6元，乙种树苗每棵的价格是4元；
（2）根据题意得W＝6m+4（240﹣m）＝2m+960，
∴W关于m的函数表达式为W＝2m+960；
（3）根据题意得：6×m+4（240﹣m）≤1200，
解得m≤171，
∵m是整数，
∴m最大值为171，
答：最多能购买甲种树苗171棵．
21．（9分）筒车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明．如图①，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾人木槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图 ②，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝4，MP＝6，求BP的长．
【解答】（1）证明：如图1，延长PO交⊙O于点C，连接BC，
∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠BPC+∠BCP＝90°，
∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，
∴MP⊥PC，
∴∠MPC＝90°，
∴∠MPB+∠BPC＝90°，
∴∠MPB＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠MPB；
（2）解：如图2，
∵∠MAP＝∠MPB，∠M＝∠M，
∴△MPA∽△MBP，
∴＝＝，
∵AB＝AP，MB＝4，MP＝6，
∴MA＝＝＝9，
∴AP＝AB＝MA﹣MB＝9﹣4＝5，
∴BP＝＝＝．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．
（1）求b和k的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；
（3）点M在直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx经过点A（﹣2，0），
∴0＝（﹣2）2﹣2b．
∴b＝2；
∵直线y＝kx+2经过点A（﹣2，0），
∴0＝k×（﹣2）+2，
∴k＝1；
（2）由（1）知抛物线解析式为y＝x2+2x，直线AB解析式为y＝x+2，
联立方程组，
解得：或，
∴点B的坐标为（1，3）．
结合图象可知，不等式kx+2＞x2+bx的解集为﹣2＜x＜1；
（3）由题意设点M的坐标为（m，m+2），则点N（m，m），
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，
解得：﹣2≤m≤﹣1或0≤m≤1，
∴点M的横坐标m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1或0≤m≤1．
23．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB＝∠CBA，所以AE＝BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
任务：
（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P＝30°，PA＝PB，AB＝，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC＝PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．
【解答】解：（1）∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵AE＝BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
（2）直线PE是线段AB的垂直平分线，理由如下：
由作图可知：PA＝PB，PC＝PD，
又∵∠APD＝∠BPC，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD＝∠PBC，
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB﹣∠PAD＝∠PBA﹣∠PBC，
即∠DAB＝∠CBA，
∴AE＝BE，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线；
（3）当点C，点D分别在线段PA，PB上时，
∵AP＝BP，∠P＝30°，
∴∠PAB＝∠PBA＝75°，
∵AP＝BP，∠APD＝∠BPC，PC＝PD，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴∠PAD＝∠PBD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵AD⊥BC，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
∴AE＝BE，∠PAD＝30°，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝，
∴cos∠PAD＝＝，
∴AC＝2；
如图4，当点C，点D分别在PA，PB的延长线上时，
同理可求：AE＝，∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴∠PAB＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
综上所述：AC＝2或．
2023年河南省商丘市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（3分）中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ）
A．61345.05×108 B．0.6134505×1013
C．6.134505×1012 D．6.134505×1011
3．（3分）从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检查“神舟十四号”飞船的各零部件
B．了解全国初中学生的体质状况
C．调查人们垃圾分类的意识
D．了解一批新冠疫苗的质量
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，2）
10．（3分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BD上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣|﹣5|﹣＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+b＝0有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为7的正方形，点E在边AD上，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，若AE＝2，则BF＝ ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是 cm2．（结果保留根号和π）
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分65分
16．（10分）计算：
（1）（m+2n）（m﹣2n）﹣m（m﹣3n）；
（2）．
17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
18．（9分）如图，海中有一个小岛A，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行一段距离后到达该岛的南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行14.1海里，此时货轮与A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°＝0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°＝0.57，tan55°≈1.43）
19．（9分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
20．（9分）为绿化校园，我校决定购买甲、乙两种树苗对校园环境进行改善．已知每棵甲种树苗的价格是乙种树苗价格的1.5倍；购买甲种树苗2棵，乙种树苗3棵，共需24元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买甲、乙两种树苗共240棵，设购买甲种树苗的数量为m棵，购买树苗的总费用为W元，求W关于m的函数表达式；
（3）在（2）的情况下，厂家对甲种树苗打9折优惠，乙种树苗的价格不变，且购买总费用不超过1200元．则最多能购买甲种树苗多少棵？
21．（9分）筒车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明．如图①，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾人木槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图 ②，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝4，MP＝6，求BP的长．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．
（1）求b和k的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；
（3）点M在直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
23．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB＝∠CBA，所以AE＝BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
任务：
（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 ；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P＝30°，PA＝PB，AB＝，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC＝PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．
2023年河南省商丘市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：A．
2．（3分）中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ）
A．61345.05×108 B．0.6134505×1013
C．6.134505×1012 D．6.134505×1011
【解答】解：61345.05亿＝6134505000000＝6.134505×1012．
故选：C．
3．（3分）从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，组合体的左视图为，
故选：C．
4．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检查“神舟十四号”飞船的各零部件
B．了解全国初中学生的体质状况
C．调查人们垃圾分类的意识
D．了解一批新冠疫苗的质量
【解答】解：A、检查“神舟十四号”飞船的各零部，适宜采用全面调查（普查）方式，符合题意；
B、了解全国初中学生的体质状况，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、调查人们垃圾分类的意识，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
D、了解一批新冠疫苗的质量，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°．
故答案为：C．
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，
解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
解法二：
∵DE是△ABC的中位线，AB＝8，BC＝12，
∴BD＝AB＝4，DE∥BC，DE＝BC＝6，
∴∠DFB＝∠CBF，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故选：C．
8．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故选：C．
9．（3分）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，2）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，6），
∴OA＝8，OC＝6
∴AC＝＝10
由题意可得AD平分∠OAC
∴∠DAE＝∠DAO，AD＝AD，∠AOD＝∠AED＝90°
∴△ADO≌△ADE（AAS）
∴AE＝AO＝8，OD＝DE
∴CE＝2，
∵CD2＝DE2+CE2，
∴（6﹣OD）2＝4+OD2，
∴OD＝
∴点D（0，）
故选：B．
10．（3分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BD上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH，
∴××3×4＝×4×EH，
∴EH＝，
∴CH＝＝＝，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，
∴AE＝＝＝，
即图象最低点的纵坐标是．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣|﹣5|﹣＝ ﹣3 ．
【解答】解：﹣|﹣5|﹣
＝﹣5﹣（﹣2）
＝﹣5+2
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+b＝0有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是 b＜9 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4b＞0，
解得b＜9．
故答案为：b＜9．
13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为7的正方形，点E在边AD上，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，若AE＝2，则BF＝ 15 ．
【解答】解：过F点作FH⊥BC于H点，FH交AD于G点，如图，
∵四边形ABCD是边长为7的正方形，
∴AD＝BC＝CD＝7，∠A＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴DE＝AD﹣AE＝5，FG⊥AG，
∵CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CED+∠FEG＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠FEG＝ECD，
在△EFG和△CEED中，
，
∴△EFG≌△CED（AAS），
∴FG＝ED＝5，EG＝CD＝7，
∵∠DCH＝∠BHG＝∠A＝90°，
∴四边形ABHG为矩形，
∴BH＝AG＝AE+EG＝2+7＝9，GH＝AB＝7，
∴FH＝FG+GH＝5+7＝12，
在Rt△BFH中，BF＝＝＝15．
故答案为：15．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，若AB＝2cm，⊙O的半径为2cm，则阴影部分的面积是 （12﹣3﹣π） cm2．（结果保留根号和π）
【解答】解：⊙O交AD、BC于E、F，如图，
∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴BE和AF为⊙O的直径，
∵AB＝2，AF＝4，
∴cos∠BAF＝＝，BF＝2，
∴∠BAF＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠AOE＝60°，∠EOF＝120°，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△OAE﹣S扇形EOF
＝2×2﹣×2×2﹣×22﹣
＝（12﹣3﹣π）cm2．
故答案为（12﹣3﹣π）．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 或1 ．
【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，
由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF＝CD＝4，
设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝，即AP＝；
如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，
过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴＝＝，即＝＝，
解得FQ＝，QE＝，
∴AQ＝HF＝，AH＝，
设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝1，即AP＝1．
综上所述，AP的长为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分65分
16．（10分）计算：
（1）（m+2n）（m﹣2n）﹣m（m﹣3n）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣4n2﹣m2+3mn
＝﹣4n2+3mn．
（2）原式＝÷
＝•
＝．
17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，a＝1，b＝4，
把前进班学生的成绩从小到大排列为52，66，73，85，85，85，94，94，95，97，故中位数c＝＝85；
奋斗班学生的成绩中出现次数最多的是84，故众数d＝84；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，所以小林同学的成绩大于他所在的班的中位数，所以小林同学在奋斗班；
（3）奋斗班的方差小于前进班，成绩比较稳定．
18．（9分）如图，海中有一个小岛A，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行一段距离后到达该岛的南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行14.1海里，此时货轮与A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°＝0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°＝0.57，tan55°≈1.43）
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝25°，CD＝14.1海里，
∴AD＝≈＝30（海里）．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝55°，
∴AB＝≈≈52.6（海里）．
答：货轮在B处时与小岛A的距离约为52.6海里．
19．（9分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
，得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x＞7时，设y＝，
100＝，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，
当y＝30时，x＝，
∴y与x的函数关系式为：y＝，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵14﹣2＝12，﹣12＝
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min；
20．（9分）为绿化校园，我校决定购买甲、乙两种树苗对校园环境进行改善．已知每棵甲种树苗的价格是乙种树苗价格的1.5倍；购买甲种树苗2棵，乙种树苗3棵，共需24元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买甲、乙两种树苗共240棵，设购买甲种树苗的数量为m棵，购买树苗的总费用为W元，求W关于m的函数表达式；
（3）在（2）的情况下，厂家对甲种树苗打9折优惠，乙种树苗的价格不变，且购买总费用不超过1200元．则最多能购买甲种树苗多少棵？
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是6元，乙种树苗每棵的价格是4元；
（2）根据题意得W＝6m+4（240﹣m）＝2m+960，
∴W关于m的函数表达式为W＝2m+960；
（3）根据题意得：6×m+4（240﹣m）≤1200，
解得m≤171，
∵m是整数，
∴m最大值为171，
答：最多能购买甲种树苗171棵．
21．（9分）筒车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明．如图①，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾人木槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图 ②，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝4，MP＝6，求BP的长．
【解答】（1）证明：如图1，延长PO交⊙O于点C，连接BC，
∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠BPC+∠BCP＝90°，
∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，
∴MP⊥PC，
∴∠MPC＝90°，
∴∠MPB+∠BPC＝90°，
∴∠MPB＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠MPB；
（2）解：如图2，
∵∠MAP＝∠MPB，∠M＝∠M，
∴△MPA∽△MBP，
∴＝＝，
∵AB＝AP，MB＝4，MP＝6，
∴MA＝＝＝9，
∴AP＝AB＝MA﹣MB＝9﹣4＝5，
∴BP＝＝＝．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．
（1）求b和k的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；
（3）点M在直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx经过点A（﹣2，0），
∴0＝（﹣2）2﹣2b．
∴b＝2；
∵直线y＝kx+2经过点A（﹣2，0），
∴0＝k×（﹣2）+2，
∴k＝1；
（2）由（1）知抛物线解析式为y＝x2+2x，直线AB解析式为y＝x+2，
联立方程组，
解得：或，
∴点B的坐标为（1，3）．
结合图象可知，不等式kx+2＞x2+bx的解集为﹣2＜x＜1；
（3）由题意设点M的坐标为（m，m+2），则点N（m，m），
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，
解得：﹣2≤m≤﹣1或0≤m≤1，
∴点M的横坐标m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1或0≤m≤1．
23．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB＝∠CBA，所以AE＝BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
任务：
（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P＝30°，PA＝PB，AB＝，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC＝PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．
【解答】解：（1）∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵AE＝BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
（2）直线PE是线段AB的垂直平分线，理由如下：
由作图可知：PA＝PB，PC＝PD，
又∵∠APD＝∠BPC，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD＝∠PBC，
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB﹣∠PAD＝∠PBA﹣∠PBC，
即∠DAB＝∠CBA，
∴AE＝BE，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
∴PE是线段AB的垂直平分线；
（3）当点C，点D分别在线段PA，PB上时，
∵AP＝BP，∠P＝30°，
∴∠PAB＝∠PBA＝75°，
∵AP＝BP，∠APD＝∠BPC，PC＝PD，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴∠PAD＝∠PBD，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵AD⊥BC，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
∴AE＝BE，∠PAD＝30°，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝，
∴cos∠PAD＝＝，
∴AC＝2；
如图4，当点C，点D分别在PA，PB的延长线上时，
同理可求：AE＝，∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴∠PAB＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
综上所述：AC＝2或．
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