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2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含答案)
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这是一份2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省承德市八校联考2023年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两点间距离的定义
2．与相等的是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．﹣3﹣
3．新冠病毒的直径约为 nm，用科学记数法表示为a×10n的形式，下列有关a、n的说法正确的是（ ）
A．a为整数，n为正数 B．a为整数，n为负数
C．a为小数，n为正数 D．a为小数，n为负数
4．若，则（x+2）2023的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．＝﹣3 C． D．
6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α+∠β＝∠γ C．∠α+∠β＞∠γ D．∠α+∠β＜∠γ
7．如图，这是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P2和P3 D．P1和P4
8．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，分别得到Rt△AB1C1和Rt△AB2C2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
13．（2分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2分）已知在△ABC中，∠B＝45°，在AB边上求作一点D，使得△BCD为等腰直角三角形．两位同学提供了如图所示的作图痕迹，对于作法Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
15．（2分）如图，已知点PQ是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边上取一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为10的三角形，则点D在（ ）
A．线段AP上 B．线段PQ上，且靠近点P
C．线段PQ上，且靠近点Q D．线段BQ上
16．（2分）如图，已知抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴分别交于点M（﹣2，0）和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若t＝2，则点Q的坐标为（﹣1，4）．
乙：若MN＝2PQ，则t的值有两个，且互为倒数．
丙：若OQ∥MP，点是直线OQ上一点，点M到直线的最大距离为．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
17．如图，这是30位同学在学校举办的“文明礼仪”比赛中的得分情况，则这些成绩的众数为 分．
18．如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3．
（1）△ABP与△CDP的位似比为 ；
（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 ．
19．在疫情防控期间，阳光学校要购买A、B两种型号的测温计，已知A型号测温计的单价为a元，B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元．
（1）B型号测温计的单价为 元（用含a的式子表示）；
（2）若用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同，则可列方程为 ．阳光学校计划购买两种型号的测温计共60个，费用不超过2600元，则至少购买A型号测温计 个．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
21．（9分）某学校有甲、乙两支踢毽子运动队（每队人数相同），两队在强化训练后，张老师将这两队运动员的踢毽子成绩（均为正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（十分制，单位：分）．
乙队运动员成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数/人
1
3
m
5
3
（1）m＝ ；佳佳的成绩为8分，在队里是中下游水平，则猜测佳佳可能在 队（填“甲”或“乙”）．
（2）经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，张老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里的比赛？并说明理由．
22．（9分）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，且整式C＞0．
（1）若C＝3，求整式的值．
（2）嘉淇发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
23．（10分）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D．已知OB＝4，点D的纵坐标为m，且AD：OB＝3：4．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值及此时点F的坐标．
25．（10分）如图为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度2.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当 时，
①求抛物线的表达式；
②求排球过网后落地点的坐标．
（2）若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h的取值范围．
26．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA＝∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°，cos41°，tan37°）
（1）当⊙O与DP相切时．
①求AM的长；
②求的长．
（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两点间距离的定义
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
2．与相等的是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．﹣3﹣
【分析】利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣3×，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．新冠病毒的直径约为 nm，用科学记数法表示为a×10n的形式，下列有关a、n的说法正确的是（ ）
A．a为整数，n为正数 B．a为整数，n为负数
C．a为小数，n为正数 D．a为小数，n为负数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.000125＝1.25×10﹣4．
故a是小数，n是负数．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．若，则（x+2）2023的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2x+1＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴原式＝（﹣1+2）2023＝1，
故选：B．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．＝﹣3 C． D．
【分析】根据二次根式的减法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、2与﹣2不能合并，故C不符合题意；
D、÷＝＝2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α+∠β＝∠γ C．∠α+∠β＞∠γ D．∠α+∠β＜∠γ
【分析】直接利用平行四边形的性质结合平行线的性质得出∠CDB＝∠DBA＝∠α，∠CDB＝∠CDB＝∠β，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DA∥BC，
∴∠CDB＝∠DBA＝∠α，∠CDB＝∠CDB＝∠β，
∵∠ABD+∠BDA＝∠γ，
即∠α+∠β＝∠γ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质，正确应用平行线的性质分析是解题关键．
7．如图，这是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P2和P3 D．P1和P4
【分析】由正方体的平面展开图，与正方体的各部分对应情况，可以实际动手操作得出答案．
【解答】解：结合图形可知，折叠成正方体后，与点A重合的点为P1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，同学们可以动手叠一叠．
8．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故B不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边平行，故D不一定是菱形，
∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°，
∴邻边相等，
∵四边形是平行四边形，
∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：C．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
9．若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：A．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B．（﹣）÷＝•＝，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C．（﹣）÷＝•＝，是整式，故本选项符合题意；
D．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，分别得到Rt△AB1C1和Rt△AB2C2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直角三角形的性质求出BC，AB的长，由阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意知∠C1AC2＝120°，∠C1AB2＝90°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，
∴BC＝AC＝1，
∴AB＝BC＝
∴扇形AC1C2 的面积＝＝π，扇形ADB2的面积＝＝π，△AB2C2的面积＝B2C2•AB2＝×1×＝，
∴阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积＝π﹣π﹣＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形，关键是明白：阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积．
11．（2分）小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果有1种，
∴他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12．（2分）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b，
即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
13．（2分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边，结合勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可得，4﹣3＜m＜4+3，
解得1＜m＜7，
∵＝，＝5，
∴1＜m＜，5＜m＜7，
∴m的值可能为6．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键．
14．（2分）已知在△ABC中，∠B＝45°，在AB边上求作一点D，使得△BCD为等腰直角三角形．两位同学提供了如图所示的作图痕迹，对于作法Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【分析】作法Ⅰ根据线段的垂直平分线的性质及等边对等角证明；
作法Ⅱ根据等角对等边及三角形的内角和证明．
【解答】解：作法Ⅰ：由作图得D点为BC的垂直平分线与AB的交点，则DB＝DC，所以∠DCB＝∠B＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，所以作法Ⅰ是正确的；
作法Ⅱ：由作图得∠DCB＝∠B＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，所以作法Ⅱ是正确的；
故选：A．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握等腰直角三角形的判定方法是解题的关键．
15．（2分）如图，已知点PQ是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边上取一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为10的三角形，则点D在（ ）
A．线段AP上 B．线段PQ上，且靠近点P
C．线段PQ上，且靠近点Q D．线段BQ上
【分析】取AB的中点E，作EF∥BC，与AC交于点F，过Q点作QH∥BC，与AC交于点H，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△AEF与△ADH的面积，与7比较便可得出结论．
【解答】解：取AB的中点E，作EF∥BC，与AC交于点F，过Q点作QH∥BC，与AC交于点H，
∴△AEF△ABC，△AQH∽△ABC，
∴，，
即，
∴＜10，S△AQH＝12＞10，
∵现从AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，
∴点D在线段PQ上，且靠近点Q，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是作辅助线求得过AB中点作BC的平行线所得△AEF的面积．
16．（2分）如图，已知抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴分别交于点M（﹣2，0）和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若t＝2，则点Q的坐标为（﹣1，4）．
乙：若MN＝2PQ，则t的值有两个，且互为倒数．
丙：若OQ∥MP，点是直线OQ上一点，点M到直线的最大距离为．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
【分析】甲：先求出P点坐标（0，4）得出Q的纵坐标为4，再把y＝4代入y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4求出x即可判断；
乙：先求出M，N的值，再根据MN＝2PQ得出Q的坐标，然后把点Q坐标代入抛物线解析式1得出关于t的一元二次方程，解方程求出t的值，从而判断乙；
丙：根据OQ∥MP，PQ∥OM，得出四边形PQOM是平行四边形，从而求出Q坐标，然后用待定系数法求出OQ的解析式，由点Q'是直线OQ上的一点，点M到直线PQ′的最大距离就是PM⊥PQ′时，即最大距离为MP，从而判断丙．
【解答】解：甲：当x＝0时，y＝4，
∴P的坐标为（0，4），
∵PQ∥x轴，
∴Q的纵坐标为4，
∴4＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4，
∴x＝﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2，4），
∴当t＝2时，Q的坐标为（﹣1，4），
故甲正确；
乙：令y＝0，则﹣tx2+2（1﹣t）x+4＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣2，x2＝，
∴M（﹣2，0），N（，0），
∴MN＝+2，
∵MN＝2PQ，
∴PQ＝+1，
∴Q（+1，4），
把Q点坐标代入抛物线解析式得：﹣t×（+1）+2（1﹣t）（+1）+4＝4，
整理得3t2+t﹣2＝0，
解得t1＝，t2＝﹣1，
故乙错误；
丙：∵OQ∥MP，PQ∥OM，
∴四边形PQOM是平行四边形，
∴PQ＝MO＝2，
∴Q（2，4），
设直线OQ的解析式y＝kx，
∴4＝2k，
∴k＝2，
∴直线OQ的解析式：y＝2x，
∵点Q′是直线OQ上的一点，
∴点M到直线PQ′的最大距离为PM，
∵OM＝2，OP＝4，∠MOP＝90°，
∴PM＝＝2，
.点M到直线PO的最大距离为2．
故丙正确．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
二、填空题
17．如图，这是30位同学在学校举办的“文明礼仪”比赛中的得分情况，则这些成绩的众数为 96 分．
【分析】利用众数的定义写出答案即可．
【解答】解：观察统计图知：成绩为96分的有10人，
所以这些成绩的众数为96分，
故答案为：96．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，难度较小．
18．如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3．
（1）△ABP与△CDP的位似比为 ；
（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 ﹣2a ．
【分析】（1）由题意可得，再结合相似三角形的性质可得答案．
（2）由题意，作出△CDP，过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，则可得，即CM＝2a，再根据点C的位置可得答案．
【解答】解：（1）∵点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3，
∴BP＝2，PD＝4，
∴，
∴△ABP与△CDP的位似比为．
故答案为：．
（2）根据题意，作出△CDP如图所示，
过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，
由（1）可知，△ABP与△CDP的位似比为，
∴，
∵点A的纵坐标为a，
∴AN＝a，
∴CM＝2a，
∵点C在第四象限，
∴点C的纵坐标为﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【点评】本题考查作图﹣相似变换、点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
19．在疫情防控期间，阳光学校要购买A、B两种型号的测温计，已知A型号测温计的单价为a元，B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元．
（1）B型号测温计的单价为 （a+10） 元（用含a的式子表示）；
（2）若用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同，则可列方程为 ＝ ．阳光学校计划购买两种型号的测温计共60个，费用不超过2600元，则至少购买A型号测温计 40 个．
【分析】（1）根据“B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元”填空；
（2）根据关键描述语“用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同”列出方程；通过解方程求得A、B两种型号测温计的单价，然后由“费用不超过2600元”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：（1）A型号测温计的单价为a元，而B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元，所以B型号测温计的单价为（a+10）元．
故答案为：（a+10）；
（2）根据题意，得＝．
解得a＝40．
经检验a＝40是所列方程的解，且符合题意．
所以a+10＝50．
即A型号测温计的单价为40元，B型号测温计的单价为50元．
设购买A型号测温计x个，则购买B型号测温计（60﹣x）个，
依题意，得40x+50（60﹣x）≤2600．
解得x≥40．
则至少购买A型号测温计40个．
故答案为：＝；40．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，由实际问题抽象出分式方程等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
【分析】（1）当m＝1时，首先判断出﹣3，﹣4，1的大小关系，然后用最大数减去最小数即可；
（2）当m＝﹣2时，根据实数大小比较的方法，判断这三个数的大小关系即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，
∵﹣4＜﹣3＜1，
∴最大数是1，最小数是﹣4，它们的差是：1﹣（﹣4）＝5；
（2）当m＝﹣2时，
|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，|﹣2|＝2，
∵3＜2＜4，
∴﹣4＜﹣2＜﹣3．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
21．（9分）某学校有甲、乙两支踢毽子运动队（每队人数相同），两队在强化训练后，张老师将这两队运动员的踢毽子成绩（均为正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（十分制，单位：分）．
乙队运动员成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数/人
1
3
m
5
3
（1）m＝ 8 ；佳佳的成绩为8分，在队里是中下游水平，则猜测佳佳可能在 甲 队（填“甲”或“乙”）．
（2）经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，张老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里的比赛？并说明理由．
【分析】（1）利用甲、乙两队跳远运动员人数相同计算m的值；利用中位数的意义进行判断；
（2）从平均数、方差的意义进行说明，即可得出答案．
【解答】解：（1）m＝1+2+7+6+4﹣1﹣3﹣5﹣3＝8，
甲队成绩的中位数为＝8.5；
乙队成绩的中位数为＝8；
因为甲队的中位数为8.5，而乙队的中位数为8，如果成绩是8分，在队里是中下游水平，则猜测小明可能在甲队，
故答案为：8；甲；
（2）甲队成绩的平均分为（1×6+2×7+7×8+9×6+10×4）＝8.5，
乙队成绩的平均分为（1×6+3×7+8×8+5×9+3×10）＝8.3，
张老师很有可能选择甲队代表学校参加市里比赛，理由如下：
甲队的平均分大于乙队的平均分；乙的方差与甲队的方差相差不大，甲队的中位数高于乙队的中位数．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数、众数、中位数、方差的意义是正确解答的前提．
22．（9分）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，且整式C＞0．
（1）若C＝3，求整式的值．
（2）嘉淇发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据平方根的定义解决此题．
（2）根据勾股定理的逆定理解决此题．
【解答】解：（1）若C＝3，则n2﹣1＝3．
∴n＝±2．
∴当n＝2，A＝4+1＝5，B＝4；当n＝﹣2，A＝4+1＝5，B＝﹣4．
综上：A＝5，B＝4或﹣4，C＝3．
（2）正确，理由如下：
由题意得，以整式A、B、C为边长的三角形的边长分别为5、4、3．
∵32+42＝52，即B2+C2＝A2，
∴这个三角形是直角三角形．
【点评】本题主要考查平方根、勾股定理逆定理，熟练掌握平方根的定义以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
23．（10分）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，先判断四边形BHFE的形状，再利用坡度求出AH、
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F．
在Rt△CDF中，
∵sinD＝，∠D＝30°，CD＝2000m，
∴CF＝sinD•CD＝×2000＝1000（m）．
答：山顶点C到水平面AD的距离为1000m．
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E．
∴四边形BHFE是矩形．
∴BH＝EF＝200m，CE＝CF﹣EF＝800m，
在Rt△ABH中，
∵AB的坡度为 i1＝1：2.4＝，
∴AH＝200×2.4＝480（m）．
∴AB＝＝＝520（m）．
在Rt△BEC中，
∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75＝，
∴BE＝0.75CE＝600（m）．
∴BC＝＝＝1000（m）．
∴山坡AB﹣BC的长为：520+1000＝1520（m）．
答：山坡AB﹣BC的长为1520m．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及坡度的相关知识是解决本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D．已知OB＝4，点D的纵坐标为m，且AD：OB＝3：4．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值及此时点F的坐标．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出经过C、D两点的直线的解析式，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OB＝4，点D的纵坐标为m，AD：OB＝3：4．
∴AD＝3，
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线 上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
∴点F的坐标为（3，）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与n的函数关系式．
25．（10分）如图为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度2.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当 时，
①求抛物线的表达式；
②求排球过网后落地点的坐标．
（2）若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h的取值范围．
【分析】（1）①由抛物线的顶点坐标为（6，2.5），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+，把点（0，）代入解析式求出a即可；
②令y＝0，解一元二次方程即可；
（2）设击出的排球轨迹为y＝n（x﹣6）2+，当该轨迹经过球网的顶端坐标（9，2.24）时，y＝﹣（x﹣6）2+，此时h＝（m）；当该轨迹经过右边界的坐标（18，0）时，y＝﹣（x﹣6）2+，此时h＝，即可得h的取值范围是＜h＜．
【解答】解：（1）①因为排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m，9﹣3＝6，
∴抛物线的顶点坐标为（6，2.5），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+，
∵点（0，）在抛物线上，
∴＝a（0﹣6）2+，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+；
②当y＝0时，0＝﹣（x﹣6）2+，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2（舍去），
∴x＝6+2，
∴排球过网后落地点的坐标为（6+2，0）；
（2）设击出的排球轨迹为y＝n（x﹣6）2+，
当该轨迹经过球网的顶端坐标（9，2.24）时，
n（9﹣6）2+＝2.24，
解得n＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+，
令x＝0得y＝，即此时h＝（m）；
当该轨迹经过右边界的坐标（18，0）时，
n（18﹣6）2+＝0，
解得n＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+，
令x＝0得y＝，即此时h＝（m）；
∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是＜h＜．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式．
26．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA＝∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°，cos41°，tan37°）
（1）当⊙O与DP相切时．
①求AM的长；
②求的长．
（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．
【分析】（1）①根据切线的性质得到AP⊥DP，解直角三角形即可得到结论；
②根据三角函数的定义得到∠PAM＝37°，根据圆周角定理得到∠POM＝2∠PAM＝74°，根据弧长公式即可得到结论；
（2）点Q在AD的垂直平分线上运动，当∠APD＝90°时（图中∠AP′D），点Q在边AD上（Q′），当∠ADP＝90°时（图中∠ADP′）时，点Q在AP上（Q″），点Q运动路径长长是DP″的一半；
（3）当PD＝PA时，⊙O截不出线段PD的弦；当AP＝AD＝15时，解斜三角形APD，求得PD的长，进而得出结果．
【解答】解：（1）①∵DP与⊙O相切，
∴AP⊥DP，
∵，∠MPA＝∠BAD，
∴tan∠PAD＝，
∴cos∠PAD＝，
在Rt△ADP中，AP＝AD•cos∠PAD＝15×＝12，
在Rt△APM中，AM＝AP•cos∠PAD＝12×＝；
②∵，
∴∠PAM＝37°，
∴∠POM＝2∠PAM＝74°，
∴的长为＝；
（2）如图3，设AD的中点为Q′，当点D与M重合时，设AP的中点为Q″，连接Q′Q″，
∵点Q在AD的垂直平分线上运动，当∠APD＝90°时（图中∠AP′D），点Q在边AD上（Q′），当∠ADP＝90°时（图中∠ADP′）时，点Q在AP上（Q″），
∴Q′Q″＝DP′，
∵AP″＝AD•tan∠DAP″＝15×＝，
∴Q′Q″＝，
∴点Q的经过的路径长为：；
（3）当PD＝PA时，⊙O截不出线段PD的弦，
如图4，
当AP＝AD＝15时，
设PD与⊙O交于点E，作DG⊥AP于G，连接AE，
由（1）知：AG＝12，DG＝9，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣12＝3，
∵AP是⊙O的直径，
∴∠AEP＝90°，
∴PD＝＝＝3，
∵AD＝AP，
∴PE＝PD＝，
∴⊙O截线段PD所得弦的长为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理及其推论，弧长公式，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是根据条件，画出对应的图形．
河北省承德市八校联考2023年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两点间距离的定义
2．与相等的是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．﹣3﹣
3．新冠病毒的直径约为 nm，用科学记数法表示为a×10n的形式，下列有关a、n的说法正确的是（ ）
A．a为整数，n为正数 B．a为整数，n为负数
C．a为小数，n为正数 D．a为小数，n为负数
4．若，则（x+2）2023的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．＝﹣3 C． D．
6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α+∠β＝∠γ C．∠α+∠β＞∠γ D．∠α+∠β＜∠γ
7．如图，这是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P2和P3 D．P1和P4
8．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，分别得到Rt△AB1C1和Rt△AB2C2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
13．（2分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2分）已知在△ABC中，∠B＝45°，在AB边上求作一点D，使得△BCD为等腰直角三角形．两位同学提供了如图所示的作图痕迹，对于作法Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
15．（2分）如图，已知点PQ是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边上取一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为10的三角形，则点D在（ ）
A．线段AP上 B．线段PQ上，且靠近点P
C．线段PQ上，且靠近点Q D．线段BQ上
16．（2分）如图，已知抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴分别交于点M（﹣2，0）和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若t＝2，则点Q的坐标为（﹣1，4）．
乙：若MN＝2PQ，则t的值有两个，且互为倒数．
丙：若OQ∥MP，点是直线OQ上一点，点M到直线的最大距离为．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
17．如图，这是30位同学在学校举办的“文明礼仪”比赛中的得分情况，则这些成绩的众数为 分．
18．如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3．
（1）△ABP与△CDP的位似比为 ；
（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 ．
19．在疫情防控期间，阳光学校要购买A、B两种型号的测温计，已知A型号测温计的单价为a元，B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元．
（1）B型号测温计的单价为 元（用含a的式子表示）；
（2）若用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同，则可列方程为 ．阳光学校计划购买两种型号的测温计共60个，费用不超过2600元，则至少购买A型号测温计 个．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
21．（9分）某学校有甲、乙两支踢毽子运动队（每队人数相同），两队在强化训练后，张老师将这两队运动员的踢毽子成绩（均为正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（十分制，单位：分）．
乙队运动员成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数/人
1
3
m
5
3
（1）m＝ ；佳佳的成绩为8分，在队里是中下游水平，则猜测佳佳可能在 队（填“甲”或“乙”）．
（2）经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，张老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里的比赛？并说明理由．
22．（9分）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，且整式C＞0．
（1）若C＝3，求整式的值．
（2）嘉淇发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
23．（10分）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D．已知OB＝4，点D的纵坐标为m，且AD：OB＝3：4．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值及此时点F的坐标．
25．（10分）如图为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度2.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当 时，
①求抛物线的表达式；
②求排球过网后落地点的坐标．
（2）若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h的取值范围．
26．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA＝∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°，cos41°，tan37°）
（1）当⊙O与DP相切时．
①求AM的长；
②求的长．
（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题.1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两点间距离的定义
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
2．与相等的是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．﹣3﹣
【分析】利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣3×，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．新冠病毒的直径约为 nm，用科学记数法表示为a×10n的形式，下列有关a、n的说法正确的是（ ）
A．a为整数，n为正数 B．a为整数，n为负数
C．a为小数，n为正数 D．a为小数，n为负数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.000125＝1.25×10﹣4．
故a是小数，n是负数．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．若，则（x+2）2023的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2x+1＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴原式＝（﹣1+2）2023＝1，
故选：B．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．＝﹣3 C． D．
【分析】根据二次根式的减法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、2与﹣2不能合并，故C不符合题意；
D、÷＝＝2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α+∠β＝∠γ C．∠α+∠β＞∠γ D．∠α+∠β＜∠γ
【分析】直接利用平行四边形的性质结合平行线的性质得出∠CDB＝∠DBA＝∠α，∠CDB＝∠CDB＝∠β，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DA∥BC，
∴∠CDB＝∠DBA＝∠α，∠CDB＝∠CDB＝∠β，
∵∠ABD+∠BDA＝∠γ，
即∠α+∠β＝∠γ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质，正确应用平行线的性质分析是解题关键．
7．如图，这是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P2和P3 D．P1和P4
【分析】由正方体的平面展开图，与正方体的各部分对应情况，可以实际动手操作得出答案．
【解答】解：结合图形可知，折叠成正方体后，与点A重合的点为P1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，同学们可以动手叠一叠．
8．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故B不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边平行，故D不一定是菱形，
∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°，
∴邻边相等，
∵四边形是平行四边形，
∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：C．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
9．若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：A．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B．（﹣）÷＝•＝，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C．（﹣）÷＝•＝，是整式，故本选项符合题意；
D．（﹣）÷＝•＝﹣，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，分别得到Rt△AB1C1和Rt△AB2C2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直角三角形的性质求出BC，AB的长，由阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意知∠C1AC2＝120°，∠C1AB2＝90°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，
∴BC＝AC＝1，
∴AB＝BC＝
∴扇形AC1C2 的面积＝＝π，扇形ADB2的面积＝＝π，△AB2C2的面积＝B2C2•AB2＝×1×＝，
∴阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积＝π﹣π﹣＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形，关键是明白：阴影的面积＝扇形AC1C2 的面积﹣扇形ADB2的面积﹣△AB2C2的面积．
11．（2分）小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果有1种，
∴他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12．（2分）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b，
即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
13．（2分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边，结合勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可得，4﹣3＜m＜4+3，
解得1＜m＜7，
∵＝，＝5，
∴1＜m＜，5＜m＜7，
∴m的值可能为6．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键．
14．（2分）已知在△ABC中，∠B＝45°，在AB边上求作一点D，使得△BCD为等腰直角三角形．两位同学提供了如图所示的作图痕迹，对于作法Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【分析】作法Ⅰ根据线段的垂直平分线的性质及等边对等角证明；
作法Ⅱ根据等角对等边及三角形的内角和证明．
【解答】解：作法Ⅰ：由作图得D点为BC的垂直平分线与AB的交点，则DB＝DC，所以∠DCB＝∠B＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，所以作法Ⅰ是正确的；
作法Ⅱ：由作图得∠DCB＝∠B＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，所以作法Ⅱ是正确的；
故选：A．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握等腰直角三角形的判定方法是解题的关键．
15．（2分）如图，已知点PQ是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边上取一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为10的三角形，则点D在（ ）
A．线段AP上 B．线段PQ上，且靠近点P
C．线段PQ上，且靠近点Q D．线段BQ上
【分析】取AB的中点E，作EF∥BC，与AC交于点F，过Q点作QH∥BC，与AC交于点H，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△AEF与△ADH的面积，与7比较便可得出结论．
【解答】解：取AB的中点E，作EF∥BC，与AC交于点F，过Q点作QH∥BC，与AC交于点H，
∴△AEF△ABC，△AQH∽△ABC，
∴，，
即，
∴＜10，S△AQH＝12＞10，
∵现从AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，
∴点D在线段PQ上，且靠近点Q，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是作辅助线求得过AB中点作BC的平行线所得△AEF的面积．
16．（2分）如图，已知抛物线L：y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4（常数t＞0）与x轴分别交于点M（﹣2，0）和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若t＝2，则点Q的坐标为（﹣1，4）．
乙：若MN＝2PQ，则t的值有两个，且互为倒数．
丙：若OQ∥MP，点是直线OQ上一点，点M到直线的最大距离为．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
【分析】甲：先求出P点坐标（0，4）得出Q的纵坐标为4，再把y＝4代入y＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4求出x即可判断；
乙：先求出M，N的值，再根据MN＝2PQ得出Q的坐标，然后把点Q坐标代入抛物线解析式1得出关于t的一元二次方程，解方程求出t的值，从而判断乙；
丙：根据OQ∥MP，PQ∥OM，得出四边形PQOM是平行四边形，从而求出Q坐标，然后用待定系数法求出OQ的解析式，由点Q'是直线OQ上的一点，点M到直线PQ′的最大距离就是PM⊥PQ′时，即最大距离为MP，从而判断丙．
【解答】解：甲：当x＝0时，y＝4，
∴P的坐标为（0，4），
∵PQ∥x轴，
∴Q的纵坐标为4，
∴4＝﹣tx2+2（1﹣t）x+4，
∴x＝﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2，4），
∴当t＝2时，Q的坐标为（﹣1，4），
故甲正确；
乙：令y＝0，则﹣tx2+2（1﹣t）x+4＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣2，x2＝，
∴M（﹣2，0），N（，0），
∴MN＝+2，
∵MN＝2PQ，
∴PQ＝+1，
∴Q（+1，4），
把Q点坐标代入抛物线解析式得：﹣t×（+1）+2（1﹣t）（+1）+4＝4，
整理得3t2+t﹣2＝0，
解得t1＝，t2＝﹣1，
故乙错误；
丙：∵OQ∥MP，PQ∥OM，
∴四边形PQOM是平行四边形，
∴PQ＝MO＝2，
∴Q（2，4），
设直线OQ的解析式y＝kx，
∴4＝2k，
∴k＝2，
∴直线OQ的解析式：y＝2x，
∵点Q′是直线OQ上的一点，
∴点M到直线PQ′的最大距离为PM，
∵OM＝2，OP＝4，∠MOP＝90°，
∴PM＝＝2，
.点M到直线PO的最大距离为2．
故丙正确．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
二、填空题
17．如图，这是30位同学在学校举办的“文明礼仪”比赛中的得分情况，则这些成绩的众数为 96 分．
【分析】利用众数的定义写出答案即可．
【解答】解：观察统计图知：成绩为96分的有10人，
所以这些成绩的众数为96分，
故答案为：96．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，难度较小．
18．如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3．
（1）△ABP与△CDP的位似比为 ；
（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 ﹣2a ．
【分析】（1）由题意可得，再结合相似三角形的性质可得答案．
（2）由题意，作出△CDP，过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，则可得，即CM＝2a，再根据点C的位置可得答案．
【解答】解：（1）∵点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3，
∴BP＝2，PD＝4，
∴，
∴△ABP与△CDP的位似比为．
故答案为：．
（2）根据题意，作出△CDP如图所示，
过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，
由（1）可知，△ABP与△CDP的位似比为，
∴，
∵点A的纵坐标为a，
∴AN＝a，
∴CM＝2a，
∵点C在第四象限，
∴点C的纵坐标为﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【点评】本题考查作图﹣相似变换、点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
19．在疫情防控期间，阳光学校要购买A、B两种型号的测温计，已知A型号测温计的单价为a元，B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元．
（1）B型号测温计的单价为 （a+10） 元（用含a的式子表示）；
（2）若用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同，则可列方程为 ＝ ．阳光学校计划购买两种型号的测温计共60个，费用不超过2600元，则至少购买A型号测温计 40 个．
【分析】（1）根据“B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元”填空；
（2）根据关键描述语“用1200元购买A型号测温计的数量与用1500元购买B型号测温计的数量相同”列出方程；通过解方程求得A、B两种型号测温计的单价，然后由“费用不超过2600元”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：（1）A型号测温计的单价为a元，而B型号测温计的单价比A型号测温计的单价贵10元，所以B型号测温计的单价为（a+10）元．
故答案为：（a+10）；
（2）根据题意，得＝．
解得a＝40．
经检验a＝40是所列方程的解，且符合题意．
所以a+10＝50．
即A型号测温计的单价为40元，B型号测温计的单价为50元．
设购买A型号测温计x个，则购买B型号测温计（60﹣x）个，
依题意，得40x+50（60﹣x）≤2600．
解得x≥40．
则至少购买A型号测温计40个．
故答案为：＝；40．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，由实际问题抽象出分式方程等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知实数﹣3，﹣4，m．
（1）当m＝1时，计算最大数与最小数的差；
（2）当时，试判断这三个数的大小关系．
【分析】（1）当m＝1时，首先判断出﹣3，﹣4，1的大小关系，然后用最大数减去最小数即可；
（2）当m＝﹣2时，根据实数大小比较的方法，判断这三个数的大小关系即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，
∵﹣4＜﹣3＜1，
∴最大数是1，最小数是﹣4，它们的差是：1﹣（﹣4）＝5；
（2）当m＝﹣2时，
|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，|﹣2|＝2，
∵3＜2＜4，
∴﹣4＜﹣2＜﹣3．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
21．（9分）某学校有甲、乙两支踢毽子运动队（每队人数相同），两队在强化训练后，张老师将这两队运动员的踢毽子成绩（均为正整数）制作成如图所示的统计图及不完整的统计表（十分制，单位：分）．
乙队运动员成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数/人
1
3
m
5
3
（1）m＝ 8 ；佳佳的成绩为8分，在队里是中下游水平，则猜测佳佳可能在 甲 队（填“甲”或“乙”）．
（2）经计算，训练后甲队成绩的方差为1.15，乙队成绩的方差为1.11，综合考虑，张老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里的比赛？并说明理由．
【分析】（1）利用甲、乙两队跳远运动员人数相同计算m的值；利用中位数的意义进行判断；
（2）从平均数、方差的意义进行说明，即可得出答案．
【解答】解：（1）m＝1+2+7+6+4﹣1﹣3﹣5﹣3＝8，
甲队成绩的中位数为＝8.5；
乙队成绩的中位数为＝8；
因为甲队的中位数为8.5，而乙队的中位数为8，如果成绩是8分，在队里是中下游水平，则猜测小明可能在甲队，
故答案为：8；甲；
（2）甲队成绩的平均分为（1×6+2×7+7×8+9×6+10×4）＝8.5，
乙队成绩的平均分为（1×6+3×7+8×8+5×9+3×10）＝8.3，
张老师很有可能选择甲队代表学校参加市里比赛，理由如下：
甲队的平均分大于乙队的平均分；乙的方差与甲队的方差相差不大，甲队的中位数高于乙队的中位数．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数、众数、中位数、方差的意义是正确解答的前提．
22．（9分）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，且整式C＞0．
（1）若C＝3，求整式的值．
（2）嘉淇发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据平方根的定义解决此题．
（2）根据勾股定理的逆定理解决此题．
【解答】解：（1）若C＝3，则n2﹣1＝3．
∴n＝±2．
∴当n＝2，A＝4+1＝5，B＝4；当n＝﹣2，A＝4+1＝5，B＝﹣4．
综上：A＝5，B＝4或﹣4，C＝3．
（2）正确，理由如下：
由题意得，以整式A、B、C为边长的三角形的边长分别为5、4、3．
∵32+42＝52，即B2+C2＝A2，
∴这个三角形是直角三角形．
【点评】本题主要考查平方根、勾股定理逆定理，熟练掌握平方根的定义以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
23．（10分）如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200m，山坡CD的长为2000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山．
（1）求山顶点C到水平面AD的距离；
（2）求山坡AB﹣BC的长．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，先判断四边形BHFE的形状，再利用坡度求出AH、
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F．
在Rt△CDF中，
∵sinD＝，∠D＝30°，CD＝2000m，
∴CF＝sinD•CD＝×2000＝1000（m）．
答：山顶点C到水平面AD的距离为1000m．
（2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E．
∴四边形BHFE是矩形．
∴BH＝EF＝200m，CE＝CF﹣EF＝800m，
在Rt△ABH中，
∵AB的坡度为 i1＝1：2.4＝，
∴AH＝200×2.4＝480（m）．
∴AB＝＝＝520（m）．
在Rt△BEC中，
∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75＝，
∴BE＝0.75CE＝600（m）．
∴BC＝＝＝1000（m）．
∴山坡AB﹣BC的长为：520+1000＝1520（m）．
答：山坡AB﹣BC的长为1520m．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及坡度的相关知识是解决本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D．已知OB＝4，点D的纵坐标为m，且AD：OB＝3：4．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值及此时点F的坐标．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出经过C、D两点的直线的解析式，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OB＝4，点D的纵坐标为m，AD：OB＝3：4．
∴AD＝3，
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2，），
∵点C，D在双曲线 上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
如图，设点E（n，﹣n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，
∴F（n，），
∴EF＝﹣n+3﹣，
∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，
∵2＜n＜3，
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
∴点F的坐标为（3，）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与n的函数关系式．
25．（10分）如图为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度2.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当 时，
①求抛物线的表达式；
②求排球过网后落地点的坐标．
（2）若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h的取值范围．
【分析】（1）①由抛物线的顶点坐标为（6，2.5），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+，把点（0，）代入解析式求出a即可；
②令y＝0，解一元二次方程即可；
（2）设击出的排球轨迹为y＝n（x﹣6）2+，当该轨迹经过球网的顶端坐标（9，2.24）时，y＝﹣（x﹣6）2+，此时h＝（m）；当该轨迹经过右边界的坐标（18，0）时，y＝﹣（x﹣6）2+，此时h＝，即可得h的取值范围是＜h＜．
【解答】解：（1）①因为排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m，9﹣3＝6，
∴抛物线的顶点坐标为（6，2.5），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+，
∵点（0，）在抛物线上，
∴＝a（0﹣6）2+，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+；
②当y＝0时，0＝﹣（x﹣6）2+，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2（舍去），
∴x＝6+2，
∴排球过网后落地点的坐标为（6+2，0）；
（2）设击出的排球轨迹为y＝n（x﹣6）2+，
当该轨迹经过球网的顶端坐标（9，2.24）时，
n（9﹣6）2+＝2.24，
解得n＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+，
令x＝0得y＝，即此时h＝（m）；
当该轨迹经过右边界的坐标（18，0）时，
n（18﹣6）2+＝0，
解得n＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+，
令x＝0得y＝，即此时h＝（m）；
∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是＜h＜．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式．
26．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA＝∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°，cos41°，tan37°）
（1）当⊙O与DP相切时．
①求AM的长；
②求的长．
（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．
（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．
【分析】（1）①根据切线的性质得到AP⊥DP，解直角三角形即可得到结论；
②根据三角函数的定义得到∠PAM＝37°，根据圆周角定理得到∠POM＝2∠PAM＝74°，根据弧长公式即可得到结论；
（2）点Q在AD的垂直平分线上运动，当∠APD＝90°时（图中∠AP′D），点Q在边AD上（Q′），当∠ADP＝90°时（图中∠ADP′）时，点Q在AP上（Q″），点Q运动路径长长是DP″的一半；
（3）当PD＝PA时，⊙O截不出线段PD的弦；当AP＝AD＝15时，解斜三角形APD，求得PD的长，进而得出结果．
【解答】解：（1）①∵DP与⊙O相切，
∴AP⊥DP，
∵，∠MPA＝∠BAD，
∴tan∠PAD＝，
∴cos∠PAD＝，
在Rt△ADP中，AP＝AD•cos∠PAD＝15×＝12，
在Rt△APM中，AM＝AP•cos∠PAD＝12×＝；
②∵，
∴∠PAM＝37°，
∴∠POM＝2∠PAM＝74°，
∴的长为＝；
（2）如图3，设AD的中点为Q′，当点D与M重合时，设AP的中点为Q″，连接Q′Q″，
∵点Q在AD的垂直平分线上运动，当∠APD＝90°时（图中∠AP′D），点Q在边AD上（Q′），当∠ADP＝90°时（图中∠ADP′）时，点Q在AP上（Q″），
∴Q′Q″＝DP′，
∵AP″＝AD•tan∠DAP″＝15×＝，
∴Q′Q″＝，
∴点Q的经过的路径长为：；
（3）当PD＝PA时，⊙O截不出线段PD的弦，
如图4，
当AP＝AD＝15时，
设PD与⊙O交于点E，作DG⊥AP于G，连接AE，
由（1）知：AG＝12，DG＝9，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣12＝3，
∵AP是⊙O的直径，
∴∠AEP＝90°，
∴PD＝＝＝3，
∵AD＝AP，
∴PE＝PD＝，
∴⊙O截线段PD所得弦的长为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理及其推论，弧长公式，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是根据条件，画出对应的图形．
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