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2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷(含答案)，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）
A．121.4×104 B．12.14×105 C．1.214×106 D．1.214×107
3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．﹣6a2÷3a＝﹣2a
C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．（b﹣a）2＝b2﹣a2
5．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率
B．抛一枚硬币，正面朝下的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率
7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）﹣2023的相反数是 ．
10．（3分）计算：＝ ．
11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 ．
12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
13．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 平方英寸．
14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论：
①EF＝AF；
②当AD⊥AF时，CD的长为2；
③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形；
④△AEF面积的最小值为．
则正确结论有 ．（填序号）
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．（4分）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路（AC）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．
四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）
16．（8分）计算：
（1）化分：；
（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．
18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 °．
19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？
20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．
（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
23．（8分）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
24．（10分）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）
A．121.4×104 B．12.14×105 C．1.214×106 D．1.214×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1214000＝1.214×106，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一个同心圆，里面的圆画成虚线．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．﹣6a2÷3a＝﹣2a
C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．（b﹣a）2＝b2﹣a2
【分析】由同类项概念，单项式除法法则，积的乘方与幂的乘方公式，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
﹣6a2÷3a＝﹣2a，故B正确，符合题意；
（﹣3pq）2＝9p2q2，故C错误，不符合题意；
（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由x﹣3＜3x+1，解得x＞﹣2；
由，解得x≤3；
不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率
B．抛一枚硬币，正面朝下的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率
【分析】由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在0.33附近，再分别计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率是，故此选项不符合题意；
B、抛一枚硬币，出现正面朝下的概率为，故此选项不符合题意；
C、从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率是，故此选项符合题意．
D、用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率＝，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．
7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图1，连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，BD平分∠ABC，则∠ABO＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB，如图2，利用正方形的性质得到BD的长．
【解答】解：如图1，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝10cm，BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝＝（cm），
如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴BD＝＝＝（cm）．
故选：A．
【点评】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）﹣2023的相反数是 2023 ．
【分析】由相反数的概念即可解答．
【解答】解：﹣2023的相反数是﹣（﹣2023）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
10．（3分）计算：＝ ．
【分析】先化简，再进行减法运算即可．
【解答】解：
＝2
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 A ．
【分析】根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可得出答案．
【解答】解：如图，连接两对对应点，分别作垂直平分线，交于点为A，则点A即为旋转中心．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换进行作图，解题时注意：平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解决问题的关键是掌握：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上．
12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 C 组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
【分析】根据方差的意义即可判断．
【解答】解：根据A，B，C三个小组中积分，可知C组四个数据分布比较集中，各数据偏离平均数较小，所以方差最小．
故答案为：C．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 （﹣） 平方英寸．
【分析】延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积．
【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，
∵CD与MN成角为30°，CD∥AB，
∴∠AHC＝30°，
∵BE∥MN，
∴∠ABE＝30°，
∵OE＝OB，
∴∠BOE＝120°，
∵AB＝4英寸，
∴OB＝OE＝2英寸，
在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，
∵OG⊥BE，
∴BE＝2BG＝2，
∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），
∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），
∴S阴影＝（﹣）平方英寸，
故答案为：（﹣）．
【点评】本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论：
①EF＝AF；
②当AD⊥AF时，CD的长为2；
③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形；
④△AEF面积的最小值为．
则正确结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】先根据折叠的性质证明△AEF是顶角是120°的等腰三角形，作辅助线，可得EF＝AF；如图1可知：AD最小时，△AEF的面积最小，由图2知：当AD⊥BC时，AD最小，此时最小值是1，代入计算可作判断；当D、A、F三点共线时，正确画图3，证明AD＝CD可作判断；证明∠CAD＝∠CDA可得CD＝AC＝2．
【解答】解：由折叠得：AD＝AF＝AE，∠DAB＝∠BAF，∠DAC＝∠EAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAF+∠DAC+∠EAC＝240°，
∴∠EAF＝360°﹣240°＝120°，
如图1，过点A作AM⊥EF于M，
∵AE＝AF，
∴∠F＝30°，∠AMF＝90°，
∴AF＝2AM，EF＝2FM＝2AM，
∴EF＝AF；
故①正确；
∴△AEF的面积＝•EF•AM＝×AF•AF＝AF2＝AD2，
∵当AD最小时，△AEF面积最小，
∴当AD⊥BC时，△AEF面积最小，
如图2，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝6，
同理得：CD＝3，AD＝，
∴△AEF面积的最小值为；
故④正确；
当D、A、F三点共线时，如图3，则∠BAD+∠BAF＝180°，
由折叠得：∠BAD＝∠BAF，CD＝CE，AE＝AD，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝CD＝CE＝AE，
∴四边形ADCE是菱形；
故③正确；
如图4，此时AF⊥AD，
∴△AFD是等腰直角三角形，且∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝120°，∠ACB＝30°，
∴∠CAD＝120°﹣45°＝75°＝∠CDA，
∴CD＝AC＝2；
故②正确；
本题正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形性质，菱形的判定，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，解决问题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质和判定及120°的等腰三角形边的关系．
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．（4分）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路（AC）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．
【分析】以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．
【解答】解：如图，以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，
再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．
则点P即为所求.
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）
16．（8分）计算：
（1）化分：；
（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝﹣•
＝﹣2（x+3）
＝﹣2x﹣6；
（2）根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，
解得m＝﹣，
即m的值为﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式的混合运算．
17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出数字和为偶数的结果数和数字和为奇数的结果数，接着计算出小明获胜的概率和小华获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中数字和为偶数的结果数为5，数字和为奇数的结果数为4，
所以小明获胜的概率＝，小华获胜的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 30 °．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；
（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，
连接OB，
∵AC是圆的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠EBA＝∠C，
∴∠EBA+∠OBA＝90°，
∴半径OB⊥BE，
∴EB是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BD＝AC，
∴BD＝OD＝OB，
∴△OBD等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵D为的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠DBC＝∠COD＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．
19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 105 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？
【分析】（1）由选修“彩绘”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可求出样本容量；用“电烙画”所占百分比乘以360°即可算出圆心角；
（2）求出选修“茶艺”和“烘培”的学生人数，即可解决问题；
（3）用选“陶艺”所占百分比乘以640人，估计求出选修“陶艺”的人数即可解答．
【解答】解：（1）有题意得，样本容量为：30÷25%＝120，
即共有120名学生参与了本次问卷调查；
“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝105°．
故答案为：120；105；
（2）选修烘培”的学生人数为：120×＝18（人），
选修“茶艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（人），
补全条形统计图如下：
（3）640×÷30＝2，
答：估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备3间陶艺教室．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体，能对图表信息进行具体分析并求出参加调查的学生人数是解题关键．
20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
【分析】过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．先说明∠FAD与∠MDC的关系，再分别在Rt△AHD、Rt△MCD中利用直角三角形的边角间关系求出AH、HD、MC，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．
∵AB⊥BG，DM⊥BG，AF∥BG，
∴四边形BMHA是矩形．
∴AB＝HM＝52cm，AH＝BM．
∵∠FAD+∠HDA＝90°，∠HDA+∠MDC＝90°，
∴∠FAD＝∠MDC＝18°．
在Rt△AHD中，
∵sin∠FAD＝，cos∠FAD＝，
∴HD＝sin∠FAD×AD＝sin18°×40≈×40＝12（cm），
AH＝cos∠FAD×AD＝cos18°×40≈×40＝38（cm）．
∴MD＝MH﹣DH＝52﹣12＝40（cm）．
在Rt△DMC中，
∵tan∠MDC＝，
∴CM＝tan∠MDC×DM＝tan18°×40≈×40＝13（cm）．
∴BC＝BM﹣CM＝AH﹣CM＝38﹣13＝25（cm）．
答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的判定和性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．
（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，由题意：用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，由题意：学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×30＝45，
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，
由题意得：30×0.6m+45×0.6×（80﹣m）≤1800，
解得：m≥40，
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
【分析】探究二：由勾股定理得出AC2＝y2+（b﹣x）2，BD2＝y2+（b+x）2，两式相加可得出结论；
结论应用：设平行四边形ABCD的两边长为m，n，得出，解方程组可得出答案．
【解答】（1）探究二：证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．
设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得AC2＝AM2+CM2，
∴AC2＝y2+（b﹣x）2…①，
在Rt△BDN中，由勾股定理可得BD2＝DN2+BN2，
∴BD2＝y2+（b+x）2②，
①+②可得，
AC2+BD2＝y2+（b﹣x）2+y2+（b+x）2
＝2（y2+x2）+2b2
＝2a2+2b2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2BC2；
结论应用：
解：设平行四边形ABCD的两边长为m，n，
∵平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，
∴，
解得或，
∴平行四边形的四条边长为4，6，4，6．
【点评】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
【分析】（1）证出∠D＝∠OCB，根据AAS可证明△OBC≌△OAD；
（2）①首先利用全等三角形的性质得出BC＝AD，进而得出BE＝AF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出四边形AEBF为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
②根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠OCB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△OBC≌△OAD（AAS）；
（2）解：①当∠BAC＝90°，四边形AEBF是菱形．
证明：∵△OBC≌△OAD，
∴BC＝AD，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE＝BC，AF＝AD，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，
∴AE＝BE＝BC，
∴四边形AEBF是菱形；
②当AB＝AC时，四边形AEBF是矩形．
证明：∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形AEBF为平行四边形，
∴四边形AEBF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
24．（10分）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图象和题意确定t，p，q的值；
（2）用待定系数法求出y1，y2的函数解析式即可；
（3）根据总利润＝总销售额﹣总进价列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵当售价为15元时，销售量为200kg，
∴q＝200×15＝3000，
此时进价为10×200＝2000（元），
∴p＝2000；
当总进价为2500元时，y1＝y2，即利润为0，
此时进价＝售价，
∴t＝10；
（2）设y1＝kx+b，把（10，2500）和（15，2000）代入解析式：
，
解得，
∴y1＝﹣100x+3500；
设y2＝mx2+nx，把（10，2500）和（15，3000）代入解析式得：
，
解得，
∴y2＝﹣10x2+350x，
∴y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
w＝y2﹣y1＝﹣10x2+350x﹣（﹣100x+3500）＝﹣10x2+450x﹣3500＝﹣10（x﹣22.5）2+1562.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝22.5时，w有最大值，最大值1562.5，
∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求得BC，利用折叠的性质表示出线段AE，BF，BE，列出关于t的方程即可求得结论；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段FH，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论；
（3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程即可得出结论；
（4）利用反证法解答，假设四边形AEFG为菱形，则AE＝EF＝t，过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段FE，FM，EM，在Rt△EFM中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程，Δ＜0，原方程无解，则结论可得．
【解答】解：（1）BC＝＝＝8cm．
由题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
∴BE＝（10﹣t）cm，
∵BE＝BF，
∴10﹣t＝2t，
∴t＝．
∴t为时，BE＝BF；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴FH＝t．
由题意：△AEF≌△AGF，
∴S△AEF＝SAGF．
∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF，
∴S＝AB•FH+•FH＝10×t+t×t＝+6t．
∴S关于t的函数关系式为S＝+6t；
（3）不存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由：
由题意：△AEF≌△AGF，
∵点G落在线段AC上，
∴∠GAF＝∠BAF，
∴，
∴，
解得：t＝．
∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t＝．
（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由：
若四边形AEFG为菱形，
∴AE＝EF＝t，
过点E作EM⊥BC于点M，如图，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴，，
∴，
∴EM＝（10﹣t），BM＝（10﹣t），
∴FM＝|BM﹣BF|＝|﹣2t|．
∵EF2＝EM2+FM2，
∴，
整理得：9t2﹣65t+125＝0，
∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0，
∴此方程无解，
∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）
A．121.4×104 B．12.14×105 C．1.214×106 D．1.214×107
3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．﹣6a2÷3a＝﹣2a
C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．（b﹣a）2＝b2﹣a2
5．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率
B．抛一枚硬币，正面朝下的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率
7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）﹣2023的相反数是 ．
10．（3分）计算：＝ ．
11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 ．
12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
13．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 平方英寸．
14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论：
①EF＝AF；
②当AD⊥AF时，CD的长为2；
③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形；
④△AEF面积的最小值为．
则正确结论有 ．（填序号）
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．（4分）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路（AC）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．
四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）
16．（8分）计算：
（1）化分：；
（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．
18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 °．
19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？
20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．
（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
23．（8分）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
24．（10分）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）
A．121.4×104 B．12.14×105 C．1.214×106 D．1.214×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1214000＝1.214×106，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一个同心圆，里面的圆画成虚线．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．﹣6a2÷3a＝﹣2a
C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．（b﹣a）2＝b2﹣a2
【分析】由同类项概念，单项式除法法则，积的乘方与幂的乘方公式，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
﹣6a2÷3a＝﹣2a，故B正确，符合题意；
（﹣3pq）2＝9p2q2，故C错误，不符合题意；
（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由x﹣3＜3x+1，解得x＞﹣2；
由，解得x≤3；
不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率
B．抛一枚硬币，正面朝下的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率
【分析】由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在0.33附近，再分别计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率是，故此选项不符合题意；
B、抛一枚硬币，出现正面朝下的概率为，故此选项不符合题意；
C、从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率是，故此选项符合题意．
D、用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率＝，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．
7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图1，连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，BD平分∠ABC，则∠ABO＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB，如图2，利用正方形的性质得到BD的长．
【解答】解：如图1，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝10cm，BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝＝（cm），
如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴BD＝＝＝（cm）．
故选：A．
【点评】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）﹣2023的相反数是 2023 ．
【分析】由相反数的概念即可解答．
【解答】解：﹣2023的相反数是﹣（﹣2023）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
10．（3分）计算：＝ ．
【分析】先化简，再进行减法运算即可．
【解答】解：
＝2
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 A ．
【分析】根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可得出答案．
【解答】解：如图，连接两对对应点，分别作垂直平分线，交于点为A，则点A即为旋转中心．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换进行作图，解题时注意：平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解决问题的关键是掌握：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上．
12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 C 组．
A组
积分
B组
积分
C组
积分
荷兰
7
英格兰
7
阿根廷
6
塞内加尔
6
美国
5
波兰
4
厄瓜多尔
4
伊朗
3
墨西哥
4
卡塔尔
0
威尔士
1
沙特阿拉伯
3
【分析】根据方差的意义即可判断．
【解答】解：根据A，B，C三个小组中积分，可知C组四个数据分布比较集中，各数据偏离平均数较小，所以方差最小．
故答案为：C．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 （﹣） 平方英寸．
【分析】延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积．
【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，
∵CD与MN成角为30°，CD∥AB，
∴∠AHC＝30°，
∵BE∥MN，
∴∠ABE＝30°，
∵OE＝OB，
∴∠BOE＝120°，
∵AB＝4英寸，
∴OB＝OE＝2英寸，
在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，
∵OG⊥BE，
∴BE＝2BG＝2，
∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），
∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），
∴S阴影＝（﹣）平方英寸，
故答案为：（﹣）．
【点评】本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论：
①EF＝AF；
②当AD⊥AF时，CD的长为2；
③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形；
④△AEF面积的最小值为．
则正确结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】先根据折叠的性质证明△AEF是顶角是120°的等腰三角形，作辅助线，可得EF＝AF；如图1可知：AD最小时，△AEF的面积最小，由图2知：当AD⊥BC时，AD最小，此时最小值是1，代入计算可作判断；当D、A、F三点共线时，正确画图3，证明AD＝CD可作判断；证明∠CAD＝∠CDA可得CD＝AC＝2．
【解答】解：由折叠得：AD＝AF＝AE，∠DAB＝∠BAF，∠DAC＝∠EAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAF+∠DAC+∠EAC＝240°，
∴∠EAF＝360°﹣240°＝120°，
如图1，过点A作AM⊥EF于M，
∵AE＝AF，
∴∠F＝30°，∠AMF＝90°，
∴AF＝2AM，EF＝2FM＝2AM，
∴EF＝AF；
故①正确；
∴△AEF的面积＝•EF•AM＝×AF•AF＝AF2＝AD2，
∵当AD最小时，△AEF面积最小，
∴当AD⊥BC时，△AEF面积最小，
如图2，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝6，
同理得：CD＝3，AD＝，
∴△AEF面积的最小值为；
故④正确；
当D、A、F三点共线时，如图3，则∠BAD+∠BAF＝180°，
由折叠得：∠BAD＝∠BAF，CD＝CE，AE＝AD，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝CD＝CE＝AE，
∴四边形ADCE是菱形；
故③正确；
如图4，此时AF⊥AD，
∴△AFD是等腰直角三角形，且∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝120°，∠ACB＝30°，
∴∠CAD＝120°﹣45°＝75°＝∠CDA，
∴CD＝AC＝2；
故②正确；
本题正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形性质，菱形的判定，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，解决问题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质和判定及120°的等腰三角形边的关系．
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．（4分）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路（AC）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．
【分析】以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．
【解答】解：如图，以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，
再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．
则点P即为所求.
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）
16．（8分）计算：
（1）化分：；
（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝﹣•
＝﹣2（x+3）
＝﹣2x﹣6；
（2）根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，
解得m＝﹣，
即m的值为﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式的混合运算．
17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出数字和为偶数的结果数和数字和为奇数的结果数，接着计算出小明获胜的概率和小华获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中数字和为偶数的结果数为5，数字和为奇数的结果数为4，
所以小明获胜的概率＝，小华获胜的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若，则∠DBC的度数为 30 °．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；
（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，
连接OB，
∵AC是圆的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠EBA＝∠C，
∴∠EBA+∠OBA＝90°，
∴半径OB⊥BE，
∴EB是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BD＝AC，
∴BD＝OD＝OB，
∴△OBD等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵D为的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠DBC＝∠COD＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．
19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 105 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？
【分析】（1）由选修“彩绘”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可求出样本容量；用“电烙画”所占百分比乘以360°即可算出圆心角；
（2）求出选修“茶艺”和“烘培”的学生人数，即可解决问题；
（3）用选“陶艺”所占百分比乘以640人，估计求出选修“陶艺”的人数即可解答．
【解答】解：（1）有题意得，样本容量为：30÷25%＝120，
即共有120名学生参与了本次问卷调查；
“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝105°．
故答案为：120；105；
（2）选修烘培”的学生人数为：120×＝18（人），
选修“茶艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（人），
补全条形统计图如下：
（3）640×÷30＝2，
答：估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备3间陶艺教室．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体，能对图表信息进行具体分析并求出参加调查的学生人数是解题关键．
20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）
【分析】过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．先说明∠FAD与∠MDC的关系，再分别在Rt△AHD、Rt△MCD中利用直角三角形的边角间关系求出AH、HD、MC，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．
∵AB⊥BG，DM⊥BG，AF∥BG，
∴四边形BMHA是矩形．
∴AB＝HM＝52cm，AH＝BM．
∵∠FAD+∠HDA＝90°，∠HDA+∠MDC＝90°，
∴∠FAD＝∠MDC＝18°．
在Rt△AHD中，
∵sin∠FAD＝，cos∠FAD＝，
∴HD＝sin∠FAD×AD＝sin18°×40≈×40＝12（cm），
AH＝cos∠FAD×AD＝cos18°×40≈×40＝38（cm）．
∴MD＝MH﹣DH＝52﹣12＝40（cm）．
在Rt△DMC中，
∵tan∠MDC＝，
∴CM＝tan∠MDC×DM＝tan18°×40≈×40＝13（cm）．
∴BC＝BM﹣CM＝AH﹣CM＝38﹣13＝25（cm）．
答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的判定和性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．
（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，由题意：用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，由题意：学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×30＝45，
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，
由题意得：30×0.6m+45×0.6×（80﹣m）≤1800，
解得：m≥40，
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．
【分析】探究二：由勾股定理得出AC2＝y2+（b﹣x）2，BD2＝y2+（b+x）2，两式相加可得出结论；
结论应用：设平行四边形ABCD的两边长为m，n，得出，解方程组可得出答案．
【解答】（1）探究二：证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．
设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得AC2＝AM2+CM2，
∴AC2＝y2+（b﹣x）2…①，
在Rt△BDN中，由勾股定理可得BD2＝DN2+BN2，
∴BD2＝y2+（b+x）2②，
①+②可得，
AC2+BD2＝y2+（b﹣x）2+y2+（b+x）2
＝2（y2+x2）+2b2
＝2a2+2b2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2BC2；
结论应用：
解：设平行四边形ABCD的两边长为m，n，
∵平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，
∴，
解得或，
∴平行四边形的四条边长为4，6，4，6．
【点评】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．
（1）求证：△OBC≌△OAD；
（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）
①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．
【分析】（1）证出∠D＝∠OCB，根据AAS可证明△OBC≌△OAD；
（2）①首先利用全等三角形的性质得出BC＝AD，进而得出BE＝AF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出四边形AEBF为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
②根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠OCB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△OBC≌△OAD（AAS）；
（2）解：①当∠BAC＝90°，四边形AEBF是菱形．
证明：∵△OBC≌△OAD，
∴BC＝AD，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE＝BC，AF＝AD，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，
∴AE＝BE＝BC，
∴四边形AEBF是菱形；
②当AB＝AC时，四边形AEBF是矩形．
证明：∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形AEBF为平行四边形，
∴四边形AEBF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
24．（10分）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图象和题意确定t，p，q的值；
（2）用待定系数法求出y1，y2的函数解析式即可；
（3）根据总利润＝总销售额﹣总进价列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵当售价为15元时，销售量为200kg，
∴q＝200×15＝3000，
此时进价为10×200＝2000（元），
∴p＝2000；
当总进价为2500元时，y1＝y2，即利润为0，
此时进价＝售价，
∴t＝10；
（2）设y1＝kx+b，把（10，2500）和（15，2000）代入解析式：
，
解得，
∴y1＝﹣100x+3500；
设y2＝mx2+nx，把（10，2500）和（15，3000）代入解析式得：
，
解得，
∴y2＝﹣10x2+350x，
∴y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
w＝y2﹣y1＝﹣10x2+350x﹣（﹣100x+3500）＝﹣10x2+450x﹣3500＝﹣10（x﹣22.5）2+1562.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝22.5时，w有最大值，最大值1562.5，
∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求得BC，利用折叠的性质表示出线段AE，BF，BE，列出关于t的方程即可求得结论；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段FH，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论；
（3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程即可得出结论；
（4）利用反证法解答，假设四边形AEFG为菱形，则AE＝EF＝t，过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段FE，FM，EM，在Rt△EFM中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程，Δ＜0，原方程无解，则结论可得．
【解答】解：（1）BC＝＝＝8cm．
由题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
∴BE＝（10﹣t）cm，
∵BE＝BF，
∴10﹣t＝2t，
∴t＝．
∴t为时，BE＝BF；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴FH＝t．
由题意：△AEF≌△AGF，
∴S△AEF＝SAGF．
∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF，
∴S＝AB•FH+•FH＝10×t+t×t＝+6t．
∴S关于t的函数关系式为S＝+6t；
（3）不存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由：
由题意：△AEF≌△AGF，
∵点G落在线段AC上，
∴∠GAF＝∠BAF，
∴，
∴，
解得：t＝．
∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t＝．
（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由：
若四边形AEFG为菱形，
∴AE＝EF＝t，
过点E作EM⊥BC于点M，如图，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴，，
∴，
∴EM＝（10﹣t），BM＝（10﹣t），
∴FM＝|BM﹣BF|＝|﹣2t|．
∵EF2＝EM2+FM2，
∴，
整理得：9t2﹣65t+125＝0，
∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0，
∴此方程无解，
∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键．
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