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2023年浙江省绍兴市柯桥实验中学中考数学模拟试卷(含答案)
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这是一份2023年浙江省绍兴市柯桥实验中学中考数学模拟试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省绍兴市柯桥实验中学2023年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（每小题4分，共10题，共40分）
1．下列各数中，属于负数的是（ ）
A．8 B．5.6 C． D．
2．将整式﹣[a﹣（b+c）]去括号，得（ ）
A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c
3．第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×106 B．1.25×105 C．12.5×104 D．125×103
4．如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
96
98
98
方差
1.6
0.3
0.3
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
7．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）
11．（5分）π﹣4的绝对值是 ．
12．（5分）因式分解：x2+3x+1＝ ．
13．（5分）国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共 1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个．
14．（5分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 ．
15．（5分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝ ．
16．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝4，按以下步骤操作：
第一步，在边AB上取一点M，且满足BM＝2BC，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF的长为 ．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D'，则点B'和点D'之间的最小距离为 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）（共8题；共80分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7；
（2）．
18．（8分）作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 ．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，画一个面积为4的菱形（有两点在格点即可），且邻边不垂直．
②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
20．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数x人数：
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
n
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
21．（10分）我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB＝8米，OA：OB＝1：3．当点A位于最低点时，∠AOM＝60°；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．
（1）求∠BOD和∠B'OD的度数；
（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°～≈0.33）
22．（12分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
23．（12分）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF＝45°．
①求证：△DBE∼△DCF；
②＝ ；
（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF＝，BE＝5，求CF的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC＝6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF＝，HE＝，求CF的长．
24．（14分）如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．
（1）求证：∠C+∠CBD＝∠CBA；
（2）如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF＝BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若BF＝BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共10题，共40分）
1．下列各数中，属于负数的是（ ）
A．8 B．5.6 C． D．
【分析】根据正负数的定义即可解答．
【解答】解：8，5.6，是正数，不符合题意；
是负数，符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正负数的定义，掌握大于0的数是正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数是解答本题的关键．
2．将整式﹣[a﹣（b+c）]去括号，得（ ）
A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c
【分析】根据去括号法则，先去小括号，再去中括号，有时可简化计算．
【解答】解：根据去括号法则：﹣[a﹣（b+c）]＝﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c．
故选：A．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”﹣“，去括号后，括号里的各项都改变符号．
3．第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×106 B．1.25×105 C．12.5×104 D．125×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：125000＝1.25×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
5．为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
96
98
98
方差
1.6
0.3
0.3
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到丙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到丙同学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
【解答】解：∵丙、丁同学的平均数比甲、乙同学的平均数大，
∴应从丙和丁同学中选，
∵丙同学的方差比丁同学的小，
∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学．
故选：C．
【点评】本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
6．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即x﹣3≠0，解得x的取值范围．
【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
7．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3，
∵DF＝1，
∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，
∴BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝435元，②篮球的单价﹣足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴，
∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
10．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍弃），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）
11．（5分）π﹣4的绝对值是 4﹣π ．
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：π﹣4的绝对值是|π﹣4|＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
【点评】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是正确解答的关键．
12．（5分）因式分解：x2+3x+1＝ （x+）（x+） ．
【分析】先求出一元二次方程x2+3x+1＝0的两个实数根，再因式分解即可．
【解答】解：x2+3x+1＝0时，解得x＝或x＝，
∴x2+3x+1
＝（x+）（x+），
故答案为：（x+）（x+）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键．
13．（5分）国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共 1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 300 个．
【分析】因为摸到红球的频率在0.3附近波动，所以摸出红球的概率为0.3，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【解答】解：设红球的个数为x，
∵红球的频率在0.3附近波动，
∴摸出红球的概率为0.3，即＝0.3，
解得x＝300．
所以可以估计红球的个数为300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
14．（5分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 3 ．
【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15．（5分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝ 2 ．
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得S△OCE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵BO⋅AC＝40，
∴S菱形OABC＝，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝10，
∴，
∵（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OGC中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
又∵D在反比例函数上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
16．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝4，按以下步骤操作：
第一步，在边AB上取一点M，且满足BM＝2BC，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF的长为 2 ．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D'，则点B'和点D'之间的最小距离为 ．
【分析】（1）过点E，M作EG⊥CD，MH⊥CD于点G，H，得矩形EMHG，矩形BCGE，矩形AMHD，设B′E＝BE＝x，根据BM＝2BC＝8，可得EM＝BM﹣BE＝8﹣x，根据勾股定理列式求出x＝3，进而可以解决问题；
（2）如图1中，过点F作FJ⊥EF，连接BB′，过点D作DR⊥FJ于点R，交BB′的延长线于点K，延长FE交BB′于点Q，则四边形FRKQ是矩形．由题意，点D′在直线DK上运动，推出当D′与K重合时，B′D′的最小，求出B′K即可解决问题．
【解答】解：（1）过点E，M作EG⊥CD，MH⊥CD于点G，H，
得矩形EMHG，矩形BCGE，矩形AMHD，
∴EM＝GH，EG＝MH＝BC＝AD＝4，
由翻折可知：B′E＝BE，B′M＝BC＝4，
设B′E＝BE＝x，
∵BM＝2BC＝8，
∴EM＝BM﹣BE＝8﹣x，
在Rt△B′EM中，根据勾股定理得：
EM2＝B′E2+B′M2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BE＝3，
∴GH＝EM＝8﹣x＝5，
由翻折可知：∠CFE＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠FEM，
∴∠EFM＝∠FEM，
∴ME＝MF＝5，
∵MH＝4，
∴FH＝3，
∴GF＝GH﹣FH＝5﹣3＝2，
∴EF＝＝＝2；
故答案为：2；
（2）如图1中，过点F作FJ⊥EF，连接BB′，过点D作DR⊥FJ于点R，交BB′的延长线于点K，延长FE交BB′于点Q，则四边形FRKQ是矩形．
∴FR＝QK，
∵DK∥EF，
∴∠EFG＝∠FDR，
∴tan∠EFG＝tan∠DFR＝，
∵DF＝7，
∴DR＝，FR＝，
同法在Rt△BEQ中，可得BQ＝，
∵EB＝EB′，EQ⊥BB′，
∴B′Q＝BQ＝，
∴B′K＝QK﹣QB′＝，
∵点D′在直线DK上运动，
∴当D′与K重合时，B′D′的最小，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点D'的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）（共8题；共80分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7；
（2）．
【分析】（1）根据有理数的加减法则计算即可答案；
（2）先去绝对值，开立方，再乘，最后算加减．
【解答】解：（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7
＝1+5+7
＝13；
（2）
＝﹣1+7﹣3+5×2×2﹣2
＝3+20﹣2
＝21．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
18．（8分）作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 ．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，画一个面积为4的菱形（有两点在格点即可），且邻边不垂直．
②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；
（2）①根据正方形的性质得到MP和NQ互相平分，MP⊥NQ，则四边形MNPQ是菱形，再用勾股定理和菱形面积等于对角线乘积的一半，即可验证满足题意；②利用网格的特点构造一条边长为3，此边上的高为2，∠BAD＝45°的平行四边形即可．
【解答】JIE：（1）∵长方形的长为3，宽为2，
∴对角线的长为＝，
故答案为：；
（2）①如图，四边形MNPQ即为所求的菱形，
由网格知，MP和NQ互相平分，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵MP⊥NQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵，NQ＝＝，
∴菱形MNPQ的面积是MP×NQ＝×4×＝4，
故菱形MNPQ满足题意；
②如图2，平行四边形ABCD满足题意，
由图可知，AB∥CD，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
则平行四边形ABCD的面积＝AB•DH＝3×2＝6，
∵∠BAD＝45°，
∴平行四边形ABCD满足题意．
【点评】此题考查了菱形的判定和面积公式、平行四边形的判定和面积、勾股定理、正方形的性质等知识，充分利用网格的特点作图是解答此题的关键．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
【分析】（1）把两个已知点的坐标分别代入y＝ax2+bx+5中得到关于a、b的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）把（1，0），（﹣1，12）分别代入y＝ax2+bx+5得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）y＝x2﹣6x+5＝y＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数x人数：
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
n
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20 ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），
∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，
补全直方图如图．
故答案为：30，20；
（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，
∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：90°．
（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，
∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．
故听写“优秀”的学生人数约为400人．
【点评】本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
21．（10分）我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB＝8米，OA：OB＝1：3．当点A位于最低点时，∠AOM＝60°；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．
（1）求∠BOD和∠B'OD的度数；
（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°～≈0.33）
【分析】（1）利用角的和差定义求解即可；
（2）解直角三角形，分别求出BC，DB′即可．
【解答】解：（1）∵∠EOM＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠BOD＝∠EOA＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A′OM＝108.2°，
∴∠DOB′＝∠A′OE＝108.2°﹣90°＝18.2°．
（2）∵AB＝8米，AO：OB＝1：3，
∴OB＝AB＝×8＝6（米），
∴BC＝OB•sin30°＝3（米），DB′＝OB′•sin18.2°＝6×0.31≈1.86（米），
∴点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离为4.86米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（12分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（12分）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF＝45°．
①求证：△DBE∼△DCF；
②＝ ；
（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF＝，BE＝5，求CF的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC＝6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF＝，HE＝，求CF的长．
【分析】（1）①说明∠EDB＝∠CDF，∠EBD＝∠FCD＝45°，即可证明△DBE∼△DCF；
②由①△DBE∽△DCF得，；
（2）连接BD交AC于点O，通过计算tan∠BDC，得出∠EDF＝∠BDC，再由①同理可得△DBE∽△DCF，则；
（3）连接BD交AC于O点，同理得tan，则△DHB∽△DOC，得，求出BH的长，再利用△DBE∽△DCF，得，从而结论问题．
【解答】（1）①证明：∵∠EDF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝45°，
∵∠CDF+∠BDF＝45°，
∴∠EDB＝∠CDF，
∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，
∴∠EBD＝∠FCD＝45°，
∴△DBE∼△DCF；
②解：∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，
∴∠BDC＝45°，
∴CD＝BD•cos45°，
∴BD＝CD，
∵△DBE∽△DCF，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接BD交AC于点O，
在矩形ABCD中，AC＝BD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝BD＝＝10，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠OCD，
∵tan∠BDC＝，tan，
∴∠EDF＝∠BDC，
∵∠EDF＝∠EDB+∠BDF，∠BDC＝∠BDF+∠FDC，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△DBE∽△DCF，
∴，
∵BE＝5，
∴CF＝3；
（3）解：在菱形ABCD中，BC＝AB＝DC＝AD＝5，
连接BD交AC于O点，
∵AC＝BD，且AC与BD互相平分，
∴OC＝，BD＝2OD，
在Rt△ODC中，OD＝，
∴tan，
∵BD为菱形对角线，
∴∠HDB＝∠ODC，
∵BH⊥HD，AC⊥BD，
∴∠DHB＝∠DOC＝90°，
∴△DHB∽△DOC，
∴，
即，
∴BH＝，
∵HE＝，
∴BE＝BH﹣HE＝，
∵tan，
∴∠EDF＝∠ODC＝∠HDB，
∴∠EDB＝∠CDF，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD+∠HDB＝90°，∠HDB＝∠ODC，∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠HBD＝∠OCD，
∴△DBE∽△DCF，
∴，
∴CF＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明△DBE∽△DCF是解题的关键，注意解题方法的延续性．
24．（14分）如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．
（1）求证：∠C+∠CBD＝∠CBA；
（2）如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF＝BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若BF＝BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．
【分析】（1）连接AC．由＝，推出∠CBA＝∠CAB＝∠CAD+∠DAB，由＝，＝，推出∠DCB＝∠DAB，∠CBD＝∠CAD，推出∠DCB+∠CBD＝∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝∠CBA．
（2）只要证明△ACF△BCD，即可推出AF＝BD．
（3）由△ACK≌△CBM，推出AK＝CM，由△ACF≌△BCD，推出CF＝CD，△AFK是等腰直角三角形，推出AK＝FK＝FM＝CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK＝＝3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，由∠HCB＝∠CAK，推出tan∠NCE＝＝3，设CN＝m，EN＝3m＝NF，由S△CEF＝•CF•EN＝×（m+3m）×3m，推出m＝，推出CF＝4m＝2，推出CM＝FM＝FK＝AK＝，AF＝2，由＝，推出∠DCB＝∠DAB＝∠ACK，过G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB＝＝，设QG＝x，AQ＝3x，FQ＝x，可得4x＝2，得x＝，再根据FG＝QG即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC，
在⊙O中，∵C为的中点，
∴＝，
∴∠CBA＝∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∵＝，＝，
∴∠DCB＝∠DAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCB+∠CBD＝∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝∠CBA．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ACF+∠FCB，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH＝90°＝∠FCB+∠DCB，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵＝，
∴AC＝BC，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD，
∴AF＝BD．
（3）解：作BM⊥CH于M，AK⊥CH于K．
∴∠ACK+∠CAK＝90°，∠AKC＝∠BMC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACK+∠KCB＝90°，
∴∠CAK＝∠KCB，∵AC＝BC，
∴△ACK≌△CBM，
∴AK＝CM，
∵CB＝BF，BM⊥CF，
∴CM＝FM＝AK，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF＝CD，
∵∠FCD＝90°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°＝∠AFK，
∴△AFK是等腰直角三角形，
∴AK＝FK＝FM＝CM，
在Rt△AKC中，tan∠CAK＝＝3，作EN⊥CH于N，
在Rt△NCE中，∵∠HCB＝∠CAK，
∴tan∠NCE＝＝3，设CN＝m，EN＝3m＝NF，
∴S△CEF＝•CF•EN＝×（m+3m）×3m＝3，
∴m＝，
∴CF＝4m＝2，
∴CM＝FM＝FK＝AK＝，
∴AF＝2，
∵＝，
∴∠DCB＝∠DAB＝∠ACK，
过G作GQ⊥AF于Q，
在Rt△AQG中，tan∠FAB＝＝，设QG＝x，AQ＝3x，FQ＝x，
∴4x＝2，
∴x＝，
∴FG＝x＝．
【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
浙江省绍兴市柯桥实验中学2023年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（每小题4分，共10题，共40分）
1．下列各数中，属于负数的是（ ）
A．8 B．5.6 C． D．
2．将整式﹣[a﹣（b+c）]去括号，得（ ）
A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c
3．第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×106 B．1.25×105 C．12.5×104 D．125×103
4．如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
96
98
98
方差
1.6
0.3
0.3
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
7．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）
11．（5分）π﹣4的绝对值是 ．
12．（5分）因式分解：x2+3x+1＝ ．
13．（5分）国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共 1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个．
14．（5分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 ．
15．（5分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝ ．
16．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝4，按以下步骤操作：
第一步，在边AB上取一点M，且满足BM＝2BC，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF的长为 ．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D'，则点B'和点D'之间的最小距离为 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）（共8题；共80分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7；
（2）．
18．（8分）作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 ．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，画一个面积为4的菱形（有两点在格点即可），且邻边不垂直．
②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
20．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数x人数：
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
n
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
21．（10分）我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB＝8米，OA：OB＝1：3．当点A位于最低点时，∠AOM＝60°；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．
（1）求∠BOD和∠B'OD的度数；
（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°～≈0.33）
22．（12分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
23．（12分）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF＝45°．
①求证：△DBE∼△DCF；
②＝ ；
（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF＝，BE＝5，求CF的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC＝6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF＝，HE＝，求CF的长．
24．（14分）如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．
（1）求证：∠C+∠CBD＝∠CBA；
（2）如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF＝BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若BF＝BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共10题，共40分）
1．下列各数中，属于负数的是（ ）
A．8 B．5.6 C． D．
【分析】根据正负数的定义即可解答．
【解答】解：8，5.6，是正数，不符合题意；
是负数，符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正负数的定义，掌握大于0的数是正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数是解答本题的关键．
2．将整式﹣[a﹣（b+c）]去括号，得（ ）
A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c
【分析】根据去括号法则，先去小括号，再去中括号，有时可简化计算．
【解答】解：根据去括号法则：﹣[a﹣（b+c）]＝﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c．
故选：A．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”﹣“，去括号后，括号里的各项都改变符号．
3．第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×106 B．1.25×105 C．12.5×104 D．125×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：125000＝1.25×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
5．为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
97
96
98
98
方差
1.6
0.3
0.3
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到丙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到丙同学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
【解答】解：∵丙、丁同学的平均数比甲、乙同学的平均数大，
∴应从丙和丁同学中选，
∵丙同学的方差比丁同学的小，
∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学．
故选：C．
【点评】本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
6．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即x﹣3≠0，解得x的取值范围．
【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
7．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3，
∵DF＝1，
∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，
∴BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝435元，②篮球的单价﹣足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴，
∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
10．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍弃），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）
11．（5分）π﹣4的绝对值是 4﹣π ．
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：π﹣4的绝对值是|π﹣4|＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
【点评】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是正确解答的关键．
12．（5分）因式分解：x2+3x+1＝ （x+）（x+） ．
【分析】先求出一元二次方程x2+3x+1＝0的两个实数根，再因式分解即可．
【解答】解：x2+3x+1＝0时，解得x＝或x＝，
∴x2+3x+1
＝（x+）（x+），
故答案为：（x+）（x+）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键．
13．（5分）国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共 1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 300 个．
【分析】因为摸到红球的频率在0.3附近波动，所以摸出红球的概率为0.3，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【解答】解：设红球的个数为x，
∵红球的频率在0.3附近波动，
∴摸出红球的概率为0.3，即＝0.3，
解得x＝300．
所以可以估计红球的个数为300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
14．（5分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 3 ．
【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15．（5分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝ 2 ．
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得S△OCE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵BO⋅AC＝40，
∴S菱形OABC＝，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝10，
∴，
∵（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OGC中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
又∵D在反比例函数上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
16．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝4，按以下步骤操作：
第一步，在边AB上取一点M，且满足BM＝2BC，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF的长为 2 ．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D'，则点B'和点D'之间的最小距离为 ．
【分析】（1）过点E，M作EG⊥CD，MH⊥CD于点G，H，得矩形EMHG，矩形BCGE，矩形AMHD，设B′E＝BE＝x，根据BM＝2BC＝8，可得EM＝BM﹣BE＝8﹣x，根据勾股定理列式求出x＝3，进而可以解决问题；
（2）如图1中，过点F作FJ⊥EF，连接BB′，过点D作DR⊥FJ于点R，交BB′的延长线于点K，延长FE交BB′于点Q，则四边形FRKQ是矩形．由题意，点D′在直线DK上运动，推出当D′与K重合时，B′D′的最小，求出B′K即可解决问题．
【解答】解：（1）过点E，M作EG⊥CD，MH⊥CD于点G，H，
得矩形EMHG，矩形BCGE，矩形AMHD，
∴EM＝GH，EG＝MH＝BC＝AD＝4，
由翻折可知：B′E＝BE，B′M＝BC＝4，
设B′E＝BE＝x，
∵BM＝2BC＝8，
∴EM＝BM﹣BE＝8﹣x，
在Rt△B′EM中，根据勾股定理得：
EM2＝B′E2+B′M2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BE＝3，
∴GH＝EM＝8﹣x＝5，
由翻折可知：∠CFE＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠FEM，
∴∠EFM＝∠FEM，
∴ME＝MF＝5，
∵MH＝4，
∴FH＝3，
∴GF＝GH﹣FH＝5﹣3＝2，
∴EF＝＝＝2；
故答案为：2；
（2）如图1中，过点F作FJ⊥EF，连接BB′，过点D作DR⊥FJ于点R，交BB′的延长线于点K，延长FE交BB′于点Q，则四边形FRKQ是矩形．
∴FR＝QK，
∵DK∥EF，
∴∠EFG＝∠FDR，
∴tan∠EFG＝tan∠DFR＝，
∵DF＝7，
∴DR＝，FR＝，
同法在Rt△BEQ中，可得BQ＝，
∵EB＝EB′，EQ⊥BB′，
∴B′Q＝BQ＝，
∴B′K＝QK﹣QB′＝，
∵点D′在直线DK上运动，
∴当D′与K重合时，B′D′的最小，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点D'的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）（共8题；共80分）
17．（8分）计算：
（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7；
（2）．
【分析】（1）根据有理数的加减法则计算即可答案；
（2）先去绝对值，开立方，再乘，最后算加减．
【解答】解：（1）﹣2+3﹣（﹣5）+7
＝1+5+7
＝13；
（2）
＝﹣1+7﹣3+5×2×2﹣2
＝3+20﹣2
＝21．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
18．（8分）作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 ．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，画一个面积为4的菱形（有两点在格点即可），且邻边不垂直．
②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；
（2）①根据正方形的性质得到MP和NQ互相平分，MP⊥NQ，则四边形MNPQ是菱形，再用勾股定理和菱形面积等于对角线乘积的一半，即可验证满足题意；②利用网格的特点构造一条边长为3，此边上的高为2，∠BAD＝45°的平行四边形即可．
【解答】JIE：（1）∵长方形的长为3，宽为2，
∴对角线的长为＝，
故答案为：；
（2）①如图，四边形MNPQ即为所求的菱形，
由网格知，MP和NQ互相平分，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵MP⊥NQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵，NQ＝＝，
∴菱形MNPQ的面积是MP×NQ＝×4×＝4，
故菱形MNPQ满足题意；
②如图2，平行四边形ABCD满足题意，
由图可知，AB∥CD，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
则平行四边形ABCD的面积＝AB•DH＝3×2＝6，
∵∠BAD＝45°，
∴平行四边形ABCD满足题意．
【点评】此题考查了菱形的判定和面积公式、平行四边形的判定和面积、勾股定理、正方形的性质等知识，充分利用网格的特点作图是解答此题的关键．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，0），（﹣1，12）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为原点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
【分析】（1）把两个已知点的坐标分别代入y＝ax2+bx+5中得到关于a、b的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）把（1，0），（﹣1，12）分别代入y＝ax2+bx+5得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）y＝x2﹣6x+5＝y＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数x人数：
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
n
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20 ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），
∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，
补全直方图如图．
故答案为：30，20；
（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，
∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：90°．
（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，
∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．
故听写“优秀”的学生人数约为400人．
【点评】本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
21．（10分）我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB＝8米，OA：OB＝1：3．当点A位于最低点时，∠AOM＝60°；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．
（1）求∠BOD和∠B'OD的度数；
（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°～≈0.33）
【分析】（1）利用角的和差定义求解即可；
（2）解直角三角形，分别求出BC，DB′即可．
【解答】解：（1）∵∠EOM＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠BOD＝∠EOA＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A′OM＝108.2°，
∴∠DOB′＝∠A′OE＝108.2°﹣90°＝18.2°．
（2）∵AB＝8米，AO：OB＝1：3，
∴OB＝AB＝×8＝6（米），
∴BC＝OB•sin30°＝3（米），DB′＝OB′•sin18.2°＝6×0.31≈1.86（米），
∴点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离为4.86米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（12分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（12分）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF＝45°．
①求证：△DBE∼△DCF；
②＝ ；
（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF＝，BE＝5，求CF的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC＝6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF＝，HE＝，求CF的长．
【分析】（1）①说明∠EDB＝∠CDF，∠EBD＝∠FCD＝45°，即可证明△DBE∼△DCF；
②由①△DBE∽△DCF得，；
（2）连接BD交AC于点O，通过计算tan∠BDC，得出∠EDF＝∠BDC，再由①同理可得△DBE∽△DCF，则；
（3）连接BD交AC于O点，同理得tan，则△DHB∽△DOC，得，求出BH的长，再利用△DBE∽△DCF，得，从而结论问题．
【解答】（1）①证明：∵∠EDF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝45°，
∵∠CDF+∠BDF＝45°，
∴∠EDB＝∠CDF，
∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，
∴∠EBD＝∠FCD＝45°，
∴△DBE∼△DCF；
②解：∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，
∴∠BDC＝45°，
∴CD＝BD•cos45°，
∴BD＝CD，
∵△DBE∽△DCF，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接BD交AC于点O，
在矩形ABCD中，AC＝BD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝BD＝＝10，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠OCD，
∵tan∠BDC＝，tan，
∴∠EDF＝∠BDC，
∵∠EDF＝∠EDB+∠BDF，∠BDC＝∠BDF+∠FDC，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△DBE∽△DCF，
∴，
∵BE＝5，
∴CF＝3；
（3）解：在菱形ABCD中，BC＝AB＝DC＝AD＝5，
连接BD交AC于O点，
∵AC＝BD，且AC与BD互相平分，
∴OC＝，BD＝2OD，
在Rt△ODC中，OD＝，
∴tan，
∵BD为菱形对角线，
∴∠HDB＝∠ODC，
∵BH⊥HD，AC⊥BD，
∴∠DHB＝∠DOC＝90°，
∴△DHB∽△DOC，
∴，
即，
∴BH＝，
∵HE＝，
∴BE＝BH﹣HE＝，
∵tan，
∴∠EDF＝∠ODC＝∠HDB，
∴∠EDB＝∠CDF，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD+∠HDB＝90°，∠HDB＝∠ODC，∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠HBD＝∠OCD，
∴△DBE∽△DCF，
∴，
∴CF＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明△DBE∽△DCF是解题的关键，注意解题方法的延续性．
24．（14分）如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．
（1）求证：∠C+∠CBD＝∠CBA；
（2）如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF＝BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若BF＝BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．
【分析】（1）连接AC．由＝，推出∠CBA＝∠CAB＝∠CAD+∠DAB，由＝，＝，推出∠DCB＝∠DAB，∠CBD＝∠CAD，推出∠DCB+∠CBD＝∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝∠CBA．
（2）只要证明△ACF△BCD，即可推出AF＝BD．
（3）由△ACK≌△CBM，推出AK＝CM，由△ACF≌△BCD，推出CF＝CD，△AFK是等腰直角三角形，推出AK＝FK＝FM＝CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK＝＝3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，由∠HCB＝∠CAK，推出tan∠NCE＝＝3，设CN＝m，EN＝3m＝NF，由S△CEF＝•CF•EN＝×（m+3m）×3m，推出m＝，推出CF＝4m＝2，推出CM＝FM＝FK＝AK＝，AF＝2，由＝，推出∠DCB＝∠DAB＝∠ACK，过G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB＝＝，设QG＝x，AQ＝3x，FQ＝x，可得4x＝2，得x＝，再根据FG＝QG即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AC，
在⊙O中，∵C为的中点，
∴＝，
∴∠CBA＝∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∵＝，＝，
∴∠DCB＝∠DAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCB+∠CBD＝∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝∠CBA．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ACF+∠FCB，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH＝90°＝∠FCB+∠DCB，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵＝，
∴AC＝BC，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD，
∴AF＝BD．
（3）解：作BM⊥CH于M，AK⊥CH于K．
∴∠ACK+∠CAK＝90°，∠AKC＝∠BMC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACK+∠KCB＝90°，
∴∠CAK＝∠KCB，∵AC＝BC，
∴△ACK≌△CBM，
∴AK＝CM，
∵CB＝BF，BM⊥CF，
∴CM＝FM＝AK，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF＝CD，
∵∠FCD＝90°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°＝∠AFK，
∴△AFK是等腰直角三角形，
∴AK＝FK＝FM＝CM，
在Rt△AKC中，tan∠CAK＝＝3，作EN⊥CH于N，
在Rt△NCE中，∵∠HCB＝∠CAK，
∴tan∠NCE＝＝3，设CN＝m，EN＝3m＝NF，
∴S△CEF＝•CF•EN＝×（m+3m）×3m＝3，
∴m＝，
∴CF＝4m＝2，
∴CM＝FM＝FK＝AK＝，
∴AF＝2，
∵＝，
∴∠DCB＝∠DAB＝∠ACK，
过G作GQ⊥AF于Q，
在Rt△AQG中，tan∠FAB＝＝，设QG＝x，AQ＝3x，FQ＝x，
∴4x＝2，
∴x＝，
∴FG＝x＝．
【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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