2023年山东枣庄薛城区中考一模数学试题

这是一份2023年山东枣庄薛城区中考一模数学试题，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．－3D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
4．如图，直线，点C、A分别在、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
5．在学校开展的“学雷锋争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5五位同学最后成绩如下表所示：
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ）
A．96，88B．92，86C．86，86D．86，88
6．如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（ ）
A．x＞2B．－0.5＜x＜2C．0＜x＜2D．x＜－0.5或x＞2
8．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，于点C．已知，．点B到原点的最大距离为（ ）
A．22B．18C．14D．10
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在中，，，平分．边的垂直平分线分别交于点D，E．下列结论中正确的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，当时，______．
12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有______人．
13．如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在上，点B，E均在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则正方形的周长为______．
14．如图，在等边三角形中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接．当时，的长为________．
15．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______．
16．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且，过点E作DE的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为_____．
三、解答题
17．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
＝……
(1)上面的运算过程中第______步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程，并求出当时该分式的值．
18．如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上作出一点E，使点E到边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的结果下，若，求的周长．
19．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
21．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x(x为整数）的关系如表：
销售单价m（元/件）与x满足：当时，；当时，．
(1)直接写出销售量y与x的函数关系．
(2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
(3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数．
22．如图，为的直径，弦，连接交于点F，过点F作直线与的延长线交于点P，使．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，求证：；
(3)若的半径为5，，求的长．
23．如图，已知抛物线经过两点，，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得与相似，如果存在，请求出点N的坐标；
(3)点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．
24．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)求证四边形为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
参赛者编号
1
2
3
4
5
成绩（分）
96
88
86
93
86
t
0
1
2
3
4
5
6
7
……
h
0
8
14
18
20
20
18
14
……
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
x（天）
1
2
3
…
50
y
118
116
114
…
20
参考答案：
1．B
【分析】先计算，再比较大小即可得出结论
【详解】解：，
∵
∴
所以，最小的数为，
故选：B
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．D
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别判断即可．
【详解】解：Ａ．, 原选项计算错误，故A不符合题意；
B. , 原选项计算错误，故B不符合题意；
C. , 原选项计算错误，故C不符合题意；
D. ，计算正确，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键
3．D
【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．
【详解】第一个几何体的三视图如图所示：
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键．
4．A
【分析】由题意可得，则，由，，可得，再结合平行线的性质可得．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查作图-基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出是解答本题的关键．
5．D
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：数据86出现了2次最多为众数，
按大小排列86，86，88，93，96，
故88处在第3位为中位数．
所以本题这组数据的中位数是88，众数是86．
故选：D．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．B
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】由若不等式，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
【详解】解：若，则有或，
若不等式，则有或．
当时，
由图象可知的解集是x＜－0.5，的解集是x＜2，
∴不等式组无解，
当时，
由图象知的解集是x＞－0.5，的解集是x＜2，
∴不等式组的解集是－0.5＜x＜2，
综上所述：．
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
8．B
【分析】首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝16，
∴OE＝CEAC＝8，
∵BC⊥AC，BC＝6，
∴BE10，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．
故选：B
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9．C
【分析】由题意，抛物线经过 ，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断．
【详解】解：∵当和时，h的值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，故②正确；
∵当时，，
∴当时，，即足球被踢出时落地，故③错误；
∴可设抛物线的解析式为，
把代入得
解得，
∴，
∴足球距离地面的最大高度为，故①正确，
∴足球被踢出时落地，故③错误，
∵时，，故④正确．
∴正确的有①②④，共3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键．
10．D
【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，过点D作于M，的延长线于N，
①在中，，
∴．故①说法正确；
②∵，则四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
则是等腰直角三角形．
同理可证：也是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，是斜边，是直角边，
∴，则
∴，
∴．故②说法正确．
③∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．故③说法正确．
④∵，
∴，，
∴矩形是正方形，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．故④说法正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
11．/
【分析】根据反射定律和平角的定义求出，由平角的定义求出，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：由反射定律可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，平行线的性质，正确求出是解题的关键．
12．39
【分析】设共有x人，y辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：，
解得：．
∴共有39人，15辆车，
故答案为：39．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．8
【分析】设正方形的边长是，表示出E的坐标是，把B的坐标代入得到，把E的坐标代入得到关于a的方程，求出a的值即可．
【详解】解：设正方形的边长是，
∵B在反比例函数的图象上，点B的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴E的坐标是，
把代入，
∴，
∴或（舍），
∴正方形的周长是．
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是把代入，列出关于a的方程．
14．或/或
【分析】连接，根据等边三角形的性质，得出，，根据勾股定理求出，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
在为等边三角形，
∴，
点D为的中点，
， ，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，
∴当时，点Q一定在直线上；
①当点在线段上时，如图所示：
，
在中，；
②点在的延长线上，如图所示：
，
，
综上可知，当时，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
15．
【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．
【详解】解：，
∴．
∴
，
，
，
，
，
，
．
∵，，
∴
∴，
∵，
；
∴原式


．
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键．
16．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据，即可求得MN的长．
【详解】解：作交于点H，作于点K，
∵BF平分，，
∴四边形BHFK是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，，
∴，
设，则，
∴，解得，即；
∵，
∴。
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，解得，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
17．(1)③
(2)见解析，1
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可；
（2）根据分式混合运算的法则计算，再把化简后代入计算即可．
【详解】（1）第③步应为：，
故答案为：③
（2）
=
；
,
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，零指数幂的意义，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1），以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点D，F，再分别以点D，F为圆心，以大于为半径画弧，交于点G，作射线，交于点E，可知点E即为所求作的点；
（2），根据等腰三角形的性质得，，再根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．
（2）解：由题意可知，是的平分线，
∵，
∴，．
在中，，
∴的周长是．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，勾股定理等，理解角平分线的性质定理是解题的关键．
19．(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）4.2米；（2）14米
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
21．(1)
(2)超市第20天获得利润最大，最大利润3200元
(3)一共有17天
【分析】（1）设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）设销售利润为w元，当时，可得；当时，，根据二次函数的图形与性质以及一次函数的图象与性质即可作答；
（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，令，当时， ；当时，，解一元二次方程以及一元一次不等式，即可作答．
【详解】（1）设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为，
代入，得，
，
解得，
因此销售量y件与销售的天数x的函数解析式为；
（2）设销售利润为w元，
当时，，
即：，
当时，w最大为3200；
当时，，
当时，w最大为3150；
所以超市第20天获得利润最大，最大利润3200元；
（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，
令，
当时，，
即有：，
解得，，
又∵，抛物线开口向下，
∴，即此时共15天；
当时，，
即有：，
解得：，
又∵，且y随x 的增大而减小，
∴，
∴此时有2天，
∴一共有17天．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，明确题意，正确列式、列方程是解答本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接．要证明是的切线，只需推出即可；
（2）先证明，进而得到，由垂径定理推出，在中，，则；
（3）设，则，，在中，由勾股定理得 ，解方程求出，则，在中，，在中，， 则．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
又∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
又∵点E在圆上，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：设，则，
∵的半径为5，
∴，
在中，由勾股定理 ，即 ，
解得，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．
23．(1)
(2)或者
(3)；33
【分析】（1）把，代入抛物线，即可解得．
（2）存在点N使得与相似，由（1）可知，，，分情况讨论相似，即可解得．
（3）连接，的纵坐标为，根据图形可得，表示出函数表达式即可解得．
【详解】（1）把，代入抛物线，
可得：，
解得：，，
（2）存在点N使得与相似，
由（1）可知，，，
第一种情况：
解得：，
第二种情况：
解得：，
（3）连接，
∵的横坐标为m且在第一象限，
∴
∴的纵坐标为，
∵，
∴
∴
∴
当时，最大值为33．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，三角形面积，求函数解析式，解题的关键是待定系数法，三角形面积的表示的运用．
24．(1)3
(2)见解析
(3)存在；或2
【分析】（1）根据矩形和折叠的性质，求出，由勾股定理求出的长，即可得的长，设，则，在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解；
（2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）分和两种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：如下图
四边形是矩形，，
∴，，，
将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
；
（2）证明：∵，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
在中，，
，
，
四边形为菱形；
（3）解：∵，，是直角三角形，
设，
则由（2）可得，
，
①当时，如下图，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
②当时，如下图，
，，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，解题的关键是掌握相关的知识．