上海市静安区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

这是一份上海市静安区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

上海市静安区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

一、单选题
1．（2021·上海·统考一模）若，，则下面不等式中成立的一个是（    ）．
A． B． C． D．
2．（2021·上海·统考一模）下列四个选项中正确的是（    ）
A．关于的方程()的曲线是圆
B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
3．（2021·上海·统考一模）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(    )
A． B． C． D．不存在
4．（2021·上海静安·统考一模）方程的解是（    ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海静安·统考一模）以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线的焦点为一个焦点，则该椭圆的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海静安·统考一模）函数的图像关于（    ）对称．
A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线
7．（2021·上海静安·统考一模）已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（    ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．（2023·上海静安·统考一模）已知数列是等差数列，，，则（    ）
A．120 B．96 C．72 D．48
9．（2023·上海静安·统考一模）若实数x,y满足，则（    ）成立．
A． B．
C． D．.
10．（2023·上海静安·统考一模）在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（    ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
11．（2023·上海静安·统考一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺.

A． B． C． D．

二、填空题
12．（2021·上海·统考一模）已知，命题：若，则且的逆否命题是__．
13．（2021·上海·统考一模）的展开式中的常数项是_______________.
14．（2021·上海·统考一模）如图所示，弧长为，半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________.

15．（2021·上海·统考一模）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________
16．（2021·上海·统考一模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝____________.
17．（2021·上海·统考一模）某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)
18．（2021·上海·统考一模）某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有___________种不同的选修方案.
19．（2021·上海·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为___________.

20．（2021·上海静安·统考一模）抛物线的准线方程是________.
21．（2021·上海静安·统考一模）设集合，集合，则________．
22．（2021·上海静安·统考一模）函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为__________.
23．（2021·上海静安·统考一模）在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）
24．（2021·上海静安·统考一模）已知圆柱的母线长，底面半径，则该圆柱的侧面积为_______．
25．（2021·上海静安·统考一模）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
26．（2021·上海静安·统考一模）函数，当y取最大值时，x的取值集合是__________．
27．（2021·上海静安·统考一模）已知等比数列的首项为，公比为，且、、成等差数列，则________．
28．（2021·上海静安·统考一模）已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数_______．
29．（2021·上海静安·统考一模）已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为，两条渐近线与以A为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________．
30．（2021·上海静安·统考一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．
31．（2021·上海静安·统考一模）已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，_________．
32．（2023·上海静安·统考一模）函数的定义域是____________．
33．（2023·上海静安·统考一模）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．
34．（2023·上海静安·统考一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．
35．（2023·上海静安·统考一模）16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．

P1
P5
P10
P25
P50
P75
P90
P95
P99
男
40.1
45.1
47.9
51.5
56.7
63.7
72.4
80.4
95.5
女
38.3
41.2
43.1
46.5
50.5
55.3
61.1
65.4
75.6
表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）
小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）
36．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，则函数的导数____________．
37．（2023·上海静安·统考一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．
38．（2023·上海静安·统考一模）有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．
39．（2023·上海静安·统考一模）、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）
①
②
③
④
40．（2023·上海静安·统考一模）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）
41．（2023·上海静安·统考一模）已知全集为实数集R，集合，N=，则=____________．
42．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.

三、解答题
43．（2021·上海·统考一模）如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，，.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为.

（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
44．（2021·上海·统考一模）设，其中常数.
（1）设，，求函数()的反函数；
（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.
45．（2021·上海·统考一模）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔的高度，他在点A测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得.

（1）请你根据张明的测量数据求出塔高度；
（2）在完成（1）的任务后，张明测得，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为､).据此，他计算出了两塔顶之间的距离.
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)
②他是如何用表示出的？(写出过程和结论)
46．（2021·上海·统考一模）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.

已知，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求证：()；
（3）设，请用数学归纳法证明：.
47．（2021·上海·统考一模）如图所示，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.

（1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；
（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.
48．（2021·上海静安·统考一模）如图，在正三棱柱中，．

(1)求正三棱柱的体积；
(2)若点M是侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
49．（2021·上海静安·统考一模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
(1)求的值；
(2)求b的值．
50．（2021·上海静安·统考一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）．

(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用．
51．（2021·上海静安·统考一模）如图1，已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，点B是椭圆的上顶点，椭圆上一点到两焦点距离之和为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点是椭圆上异于点B的两点，，且满足的点C在y轴上，求直线的方程；
(3)设x轴上点T坐标为，过椭圆的右焦点F作直线l（不与x轴重合）与椭圆交于M、N两点，如图2，点M在x轴上方，点N在x轴下方，且，求的值．
52．（2021·上海静安·统考一模）对于数列：若存在正整数，使得当时，恒为常数，则称数列是准常数数列．现已知数列的首项，且．
(1)若，试判断数列是否是准常数数列；
(2)当a与满足什么条件时，数列是准常数数列？写出符合条件的a与的关系；
(3)若，求的前项的和（结果用k、a表示）．
53．（2023·上海静安·统考一模）已知数列满足：，，，对一切正整数成立．
(1)证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列的前项之和．
54．（2023·上海静安·统考一模）平面向量，函数.
(1)求函数y=的最小正周期；
(2)若，求y=的值域；
(3)在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
55．（2023·上海静安·统考一模）如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．

(1)求证：面ABCE；
(2)求AC与面PAB所成角的正弦值．
56．（2023·上海静安·统考一模）已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．

(1)求证：直线平分线段；
(2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．
57．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
(2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在xÎ[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)£ g (x)成立，求实数a的取值范围．

四、双空题
58．（2023·上海静安·统考一模）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．

参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的性质和关系进行判断即可．
【详解】，，
，则，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合同向不等式相加的性质是解决本题的关键．
2．D
【分析】A. 由圆的一般方程判断；B.由椭圆的定义判断； C.由双曲线的定义判断；D.由双曲线和椭圆的焦点判断.
【详解】A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确；
故选：D
3．B
【分析】用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合探求出a、b的关系再求解即得.
【详解】、是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点，，
由三角函数定义知，
，而a>0，b>0，
，当且仅当时取“=”，
，当且仅当时取“=”，
所以a+b的最大值是.
故选：B
【点睛】基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾.
4．A
【分析】先化简为，再通过对指互化即得解.
【详解】由题得.
故选：A
5．D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，得椭圆的焦点坐标，值，再由长轴长求得，从而得椭圆方程．
【详解】由抛物线方程知，抛物线焦点坐标为，所以椭圆中，又，，所以，焦点在轴，
所以椭圆方程为．
故选：D．
6．C
【分析】分析给定函数的性质，再借助性质即可判断作答.
【详解】令，因，，即恒成立，
函数的定义域是R，，
因此，函数是R上的偶函数，
所以函数的图像关于y轴对称.
故选：C
7．A
【分析】根据直线的斜率大于零，得到，再分，，三种情况分类求解.
【详解】因为直线的斜率大于零，
所以，
当，a有2种选法，b有2种选法，c有1种选法；
因为直线与直线重合，
所以这样的直线有条；
当时，a有1种选法，b有2种选法， c有2种选法；
所以这样的直线有条，
当时，a有2种选法，b有1种选法， c有2种选法；
所以这样的直线有条，
综上：这样的不重合直线的条数是3+8=11条，
故选：A
8．A
【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果.
【详解】因为是等差数列，，
所以，即，
所以.
故选：A
9．B
【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.
【详解】由 和基本不等式 （当 时等号成立），
，当 时，有 ，当 时， ，A错误；
由 （当 同号时等号成立）得： ，
，B正确；
， （当 时等号成立） ，
，C，D错误；
故选：B.
10．D
【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.
【详解】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
故选：D.
11．C
【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.
【详解】
如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积.
故选：C.
12．若或，则
【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．
【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若或，则
故答案为：若或，则.
【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．
13．60
【分析】由题意可得，二项展开式的通项，要求展开式的常数项，只要令可求，代入可求
【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为：
，
令，可得：，此时，
即的展开式中的常数项为60.
故答案为：60．
【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．
14．
【分析】旋转得半球进而可得表面积.
【详解】根据题意可得得到一个半径为1的半球，
所以表面积为半个球的表面积和一个底面圆.

故答案为：.
15．2
【分析】把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】，
它为纯虚数，则且，解得．
故答案为：2．
16．
【详解】试题分析：
考点：向量数量积
17．14
【分析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得，即可求出n的最小值.
【详解】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，
设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，
则，整理得：，
又∵为正整数，
∴当时，；
当时，，∴n的最小值为14，
即这次募捐活动至少需要14天．
故答案为：14.
18．75
【分析】A，B，C三门由于上课时间相同至多选一门，A，B，C三门课都不选，A，B，C中选一门，根据分类计数原理得到结果.
【详解】由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门有，
第二类，若从其他六门中选4门有，
∴根据分类计数加法得到共有种不同的方法，
故答案为：75.
19．
【分析】首先分析动点在半径为2的上半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，再分析动点在半径为1的下半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，最后写出函数表达式即可.
【详解】由三角函数的定义可得：当动点在半径为2的上半圆上运动时，，终边对应的角度为，所以点坐标为，
当动点在半径为1的下半圆上运动时，，终边对应的角度为，
所以点坐标为，
综上：动点的纵坐标关于时间的函数表达式为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，从而帮助解题.
20．
【详解】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.
详解：因为抛物线的准线方程为，
所以抛物线的准线方程为，故答案为.
点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.
21．/
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故答案为：.
22．或
【分析】讨论或，根据指数函数的单调性求出最值即可求解.
【详解】当时，单调递减，
所以，，
又，解得，
当时，单调递增，
所以，，
又，解得，
故答案为：或
23．
【分析】直接用二项式定理求解即可.
【详解】由二项式定理得，
令，故，因此.
故答案为：.
24．
【分析】利用圆柱的侧面积公式求解.
【详解】因为圆柱的母线长，底面半径，
所以该圆柱的侧面积为,
故答案为：
25．
【分析】根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.
【详解】因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是，
故答案为：
26．．
【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求解．
【详解】，又，
所以时，，此时．
故答案为：．
27．2
【分析】根据题意，利用等比数列的基本量，列出的方程，求解即可.
【详解】因为是等比数列，又、、成等差数列，
故可得，即，
又，整理得：，
解得.
故答案为：.
28．
【分析】由向量垂直的数量积表示列方程求解．
【详解】由题意，
因为和垂直，
则，解得，
故答案为：．
29．
【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，即可求出，再设出双曲线的方程，即可写出双曲线渐近线的方程，最后由点到直线的距离公式即可求出的值即可.
【详解】有双曲线一个顶点为，可知焦点在轴上，则，
故双曲线可设为，则渐近线，
又，解得，则双曲线的方程为.
故答案为：.
30．
【分析】先证明，从而可求数列的通项公式，最后求和即可.
【详解】因为
，
所以，
所以当为偶数时，

；
当为奇数时，

.
所以，
数列的前n项和.
故答案为：
31．
【分析】根据是实数集上的偶函数，且以2为周期的周期函数，分，两种情况求解.
【详解】因为偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，
当时，，
所以，
当，，，
所以，
综上：，
故答案为：
32．
【分析】由可得答案.
【详解】，则，.
故答案为：
33．
【分析】先由复数的除法运算计算出，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.
【详解】，
∴复数在复平面内对应的点为，
由已知，在第二象限，
∴，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
34．/
【分析】运用两直线平行求得m的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】由直线与直线平行，
可知，即，
故直线为，
直线变形得，
故这两条直线间的距离为，
故答案为：.
35．
【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的百分位数，由百分位数的定义计算可得答案.
【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重50kg，
由图表可知，小王体重的百分位数是，
所以体重一定高于她的体重的人数有(万)
故答案为：
36．
【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：.
37．0.3/
【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.
【详解】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种，
能搭成一个三角形的概率 ；
故答案为： .
38．4.5
【分析】设空心钢球的内直径为，表示空心钢球的体积，由条件列方程求即可.
【详解】设空心钢球的内直径为，则空心钢球的体积为，
因为空心钢球的质量为140.2g，钢的密度是7.9g/cm3，
所以，所以，
解得，所以，
故答案为：.
39．②③
【分析】根据事件的独立性定义判断即可.
【详解】①，故①不一定成立；
②③由事件的独立性定义可得与，与相互独立，所以，，故②③正确；
④，故④不一定成立.
故答案为：②③.
40．240
【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.
【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有.
故答案为：240.
41．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到，，，然后求交集即可.
【详解】不等式可整理为，所以，解得，所以，或，
不等式可整理为，所以，即，解得或，所以或，.
故答案为：.
42．
【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.
【详解】函数的导函数为.
当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意.
当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0.
令，解得：或.
列表：


0




+
0
-
0
+

单增
极大值
单减
极小值
单增
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：；
当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0.
.
令，解得：或.
列表：




0


-
0
+
0
-

单减
极小值
单增
极大值
单减
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）先证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面ABCE得到就是四棱锥的高，可以求出四棱锥的体积；
（2）取的中点，连结､，得到（或其补角）就是与所成角，利用余弦定理求出求异面直线与所成角的大小.
【详解】解：（1）由已知，有所以

连结，由，，有①
由有所以，②
由①②知，又，所以
所以就是四棱锥的高，
在Rt中，
故
（2）取的中点，连结､，
则，故（或其补角）就是与所成角.
在中，，，
则
故异面直线与所成角的大小为.
【点睛】（1）基本位置关系的证明用判定定理；
（2）求异面直线所成的角
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
44．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）设，得.利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；
（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出.
【详解】解：（1）由已知，设，得.
又，所以，函数()单调递增.
因为,所以的值域.
故，；
（2）证明：
i)函数的定义域为.
若，，对于任意的，有
.
所以，是奇函数.
ii)方法1：由是奇函数，有，解得.
方法2：若，则，，
(否则)，不是奇函数.
方法3：若为奇函数，则对于任意的，有
，即，.
即..
【点睛】本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算，属中等难度.关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意(2)中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用.
45．（1）米；（2）答案见解析.
【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理可求得的值，由正弦定理可求的值，进而可求得的值；
（2）由（1）知，可求出的值，①测得，；②利用线面垂直的判定定理可得，可求出，在中，由余弦定理，可求.
【详解】解：（1）在中，，

由正弦定理，有，
所以，米.
米.
（2）由（1）知米.
①测得，.
②由已知，，，.
所以，平面，得.
所以，.
在中，由余弦定理，米.
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
46．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；
（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；
（3）利用数学归纳法可以证明.
【详解】解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，
由，得
解得，.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，再由已知，得
，解得，由题意舍去.
.
由指数函数的性质，有().
（3）(i)当时，，等式成立.
(ii)假设当时等式成立，即，
当时，


，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.
【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．
(3)数学归纳法用来解决与自然数n有关的问题.
47．（1）建系答案见解析，；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据“定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍”，建立坐标系得到关于P点的坐标的关系式，即曲线的方程，原点距点M的距离为1.
（2）根据曲线的方程以及图像的特点，得出曲线的两个性质，范围和对称性.
（3）证明，即是证明，故需联立直线与曲线方程得到，.然后得出结果为0，即得到证明.
【详解】解：（1）在线段上取点，使得，以点为原点，以线段所在的直线为轴建立平面直角坐标系.

设动点的坐标为，则有，，由题意，有
，
整理得：.①
（2）①范围：或，
②对称性：
曲线关于成轴对称；
曲线关于成轴对称；
曲线关于成中心对称.
范围证明：
由，，得，
所以或；
，所以
对称性证明：
在方程①中，把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成轴对称；
在方程①中，把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成轴对称；
在方程①中，把换成，或把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成中心对称；
（3）将代入，解得，(舍).
所以.
(i)若直线垂直于轴：
将代入，解得，
此时，､.所以，，.
.
(ii)若直线不垂直于轴：
设､，，.
直线的方程为，将其代入，整理得，
.
所以，，.
.
.
故，.
【点睛】（1）根据题目信息建立适当坐标系，得到关于点的横纵坐标的等量关系.
（2）利用图形观察特点，得出性质.
（3）将证明垂直的问题转化为证明向量乘积为0的问题，联立方程组，对基本的运算由一定的要求.
48．(1)
(2)．

【分析】（1）由棱柱体积公式计算；
（2）由异面直线所成角的定义得是所求异面直线所成的角或其补角，在三角形中计算可得．
【详解】（1）由已知；
（2）因为，所以或其补角是所求异面直线所成的角，
在中，，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值是．

49．(1)
(2)5

【分析】（1）先由，求得，再结合，利用正弦定理求解；
（2）根据，利用余弦定理求解.
(1)
解：在中，因为，
所以，
又，
由正弦定理得：；
(2)
在中，因为，
所以由余弦定理得：，
即，
解得 .
50．(1)
(2)x=24,12800

【分析】（1）设矩形的另一边长为am，根据旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为求解；
（2）由（1）得到，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：设矩形的另一边长为am，
则，
，
因为，
所以，
则；
（2）由（1）知：，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时最少总费用为12800元.
51．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得，，解方程即可得答案；
（2）由题知直线的斜率都存在，设直线的斜率为，直线的斜率为，进而得直线的方程为，与椭圆联立方程解得点的横坐标为，同理得点的横坐标，再结合解得，即可得答案；
（3）由题设直线的方程为，点的坐标分别为，则，进而联立方程并结合韦达定理得线段的中点的坐标为，故，再结合得，代入即可得答案.
【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为，
因为椭圆经过点，所以，
因为椭圆上一点到两焦点距离之和为，所以，
所以，
所以椭圆的标准的方程为.
（2）解：由题知直线的斜率都存在，设直线的斜率为，
则由知直线的斜率为，
所以直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
因为是该方程的解，所以点的横坐标为，
将上述的用代替，即得到点的横坐标，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为
（3）解：椭圆的右焦点坐标为，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
设点的坐标分别为，则，
所以
所以
所以线段的中点的坐标为，
所以
又因为，所以，
所以，
所以，两边平方得，解得，
所以，即
52．(1)取时，恒等于，数列是准常数数列；
(2)答案见解析；
(3).

【分析】（1）将代入已知条件，即可求出；
（2）根据已知条件，对进行分类讨论，分别写出答案即可；
（3）由和分别求出，，…，，，，…，
，的值，将前项放在一起，后项中，从项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解.
（1）
由得，，
当时，恒等于，数列是准常数数列，取即可；
（2）
∵，
∴时，,
而当时，若存在，当时，，则必有，
若时，则，，此时只需，，
故存在，，取（取大于等于1的正整数也可以），数列是准常数数列.
若，不妨设，，则，
，若，则，
所以或，取，当时，（，取大于等于的皆可）
若，不妨设，，则，
所以，，，…，，
所以,若，则或，
取，当，（ ，取大于等于的皆可以）
存在和：，，；，；，
（其中,），（为某个整数加上时，数列是准常数数列）.
（3）
∵,且，
∴，，…，，
，，，
，…，，.
所以



.
53．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，对一切正整数成立，∴，
即． ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由(1)知，，
∴
,
当n=1时，满足上式，
综上所述，.
设数列的前项之和为，则=．
54．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1），
所以，
最小正周期为.
（2）设，，，
在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．
（3），即，
因为为三角形内角，所以．
，即，解得.
所以△的面积为.
55．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）取的中点，连，，证明，，得到面，从而证明，然后可得面；
（2）作交于，则，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.
【详解】（1）
由题意，可得，，则，
取BC的中点F，连OF，，可得，所以，
因为，，且，所以平面，
又因为平面，所以．
又由BC与AE为相交直线，所以平面．
（2）
作交于，则
如图建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则，所以可取，
所以与面所成角的正弦值.
56．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率，将，均用表示，求出直线的方程，与椭圆方程联立求得点坐标，即可得到直线的方程，根据椭圆的对称性，求出点的坐标，再证出中点在直线上即可；
（2）设，和，用线段定比分点坐标公式将，坐标表示出来，并代入 ，结合的横坐标为和，在椭圆上，进行运算证明即可.
【详解】（1）由题意，，则，，∴，
∴椭圆方程为，即，
∴直线的斜率，直线的方程为，
联立消去，化简得，解得，，
即点的横坐标为，代入直线的方程，得，
∴直线的斜率，直线的方程为，
∵，∴由椭圆的对称性知，
又∵，∴线段AC的中点坐标为，
∵，∴线段AC的中点在直线：上，
即直线平分线段.
（2）设过点的直线与椭圆交于两个不同点的坐标为，，
∵，在椭圆上，∴，
∵，∴设，易知，且，
则由已知，有，，
∴由线段定比分点坐标公式，有，，
∵点的横坐标为常数（），
∴，
又∵点在直线：上，∴，∴，
将代入，得





，
即点在直线上.
【点睛】本题的两问证明，实质上都是证明点在直线上，第（1）问证明中点在直线上，即可证明直线平分线段，第（2）问设，由线段定比分点坐标公式求得的坐标，即可结合，，的坐标，证明点在直线上.
57．(1)
(2)答案见解析
(3)

【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；
（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；
（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【详解】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得．
（2）函数的定义域为，
，
当时，令，可得或，
①当，即时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或，
令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
③当，即时，令，得或；令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得，
当时，，当时，，
∴函数在上严格递增，在上严格递减，
∴函数在端点或处取得最小值．
∵，∴，
∴，∴，
因此，实数的取值范围是
【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：
（1）存在；
（2）存在.
58． 五
【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；
利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.
【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限.
由已知可得，，所以
故答案为：五；