浙江省杭州市萧山区文渊中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区文渊中学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  平面直角坐标系内，点关于原点对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩平均数和方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择______较适宜(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设(    )

A. 两个锐角都小于 B. 两个锐角都大于
C. 有一个锐角小于 D. 有一个锐角大于或等于

5.  已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的中位线，点是上一点，且满足，则的面积与的面积之比为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  某商店月份的销售额是万元，月份的销售额是万元，求商店这两个月销售额月平均增长率设商店这两个月销售额月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知关于的方程，则下列说法正确的是(    )

A. 不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B. 至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C. 无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D. 无论为何值，方程有两个不相等的实数根

9.  在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，是其中个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

10.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

11.  小林将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起一边重合，示意图如图所示，则形成的的度数是______ ．

12.  已知一组数据：，，，的方差是，将该组数据每一个数据都乘，所得到一组新数据的方差是______ ．

13.  已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，那么这个长方形的面积是______．

14.  如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于则的长为______ ．

15.  图是邻边长为和的平行四边形，它由三个不全等的小平行四边形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形如图，数据如图所示．记图三个小平行四边形的中心分别为，，，则，两点之间的距离为______点，在图中的对应点为点，，连结，和，当时，则的长为______．
 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：

．

17.  本小题分
解方程：
；
．

18.  本小题分
如图，在▱中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
求证：≌；
若，求的长．

19.  本小题分
如图，在的正方形网格中，点，，，都在格点上，请你按要求画出图形．
在图甲中作出，使和关于点成中心对称；
在图乙中以为三角形一边画出，使得为轴对称图形，且．
 

20.  本小题分
停课期间某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分名同学打分情况如表，学生打分的平均数、众数、中位数如表：
表：

表：

抽取的位教师对“钉钉”和“直播”这两款软件打分的平均分分别为分和分请根据以上信息解答下列问题：
将上面表格填写完整；
你认为学生对这两款软件评价较高的是______ 填“钉钉”或“直播”；
学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．

21.  本小题分
定义：如果关于的方程、、是常数与、、是常数，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题：
直接写出方程的“对称方程”；
若关于的方程与互为“对称方程”，求、的值及的解．

22.  本小题分
某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．

为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为平方米，那么小路的宽是多少米？

23.  本小题分
如图，在▱中，，，点，分别是线段，上的点，，连结，，记．
当为何值时，．
是否存在，使点到的距离是，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
作点关于直线对称点，当落在坐标轴上时，请求出满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
点关于原点对称点的坐标是．
故选：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】
解：乙和丁的平均数较大，
从乙和丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设每一个锐角都大于，即两个锐角都大于．
故选：．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的中位线，
，，
，
，
设点到的距离为，
则，，
的面积与的面积之比：．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再求出与的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积，熟记定理并用表示出是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用该商店月份的销售额该商店月份的销售额商店这两个月销售额月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程，
，
A、当时，，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为，所以不存在的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：，，所以无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根，故此选项正确；
D、当时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：．
先计算的值，利用的值，可作判断．
本题考查了根的判别式，计算的值判断方程根的情况是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，经过、的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知≌≌，
，
，
，
，
故选：．
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在正五边形中，
，

在正六边形中，
，
，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式及正多边形的性质求出，，再根据周角的定义即可求解．
本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一组数据、、的方差是，
一组新数据，、的方差是．
故答案为：．
由于一组数据、、的方差是，而一组新数据，、中和原来的数据比较可以得到它们之间的联系，由此可以确定一组新数据，、的方差．
此题主要考查了方差的性质，其中主要利用了：一组数据如果同时乘以同一个数，那么方差是原来数据方差的倍．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得：，
长方形的面积是．
故答案为：．
根据根与系数的关系得：，根据长方形的面积长宽即可得出答案．
本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系：，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，．
，
，
又平分，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明，根据等角对等边可得，再用即可算出的长．
此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明推出．
 

15.【答案】  

【解析】解：如图，设直线交于点，交于点，交于点设，．

由题意，是直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
是梯形的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，，
如图，设直线交于点，交于点，交于点设，首先证明，，可得，再根据，构建方程求出，即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

16.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
分别进行二次根式的化简、负整数指数幂及零指数幂的运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．
 

17.【答案】解：，
这里，，，
．
．
，；
，
，
．
或．
，． 

【解析】用公式法或配方法求解比较简便；
利用因式分解法求解比较简便
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、配方法、因式分解法是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；

解：≌，，
，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可；
根据全等三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，再求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，平行四边形的对边平行且相等．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用网格特点和中心对称的性质画出、、的对应点即可；
利用勾股定理作出，则为等腰三角形，此三角形满足条件．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

20.【答案】钉钉 

【解析】解：由表格中的数据可知直播得分为分出现了次，出现次数最多，
直播的众数为分，
钉钉直播打分的一共有人，分数处在第和第的分别是分，分，
钉钉直播的中位数为分，
补全表格如下：

学生对这两款软件评价较高的是钉钉，理由如下：
学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高，
学生对这两款软件评价较高的是钉钉，
故答案为：钉钉；
应该是钉钉软件的得分为：，
直播的得分为：，
，
学校会采用直播进行教学．
根据中位数和众数的定义进行求解即可；
根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案；
分别计算出两款软件的得分即可得到答案．
本题主要考查了中位数，众数和加权平均数，熟知三者的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：方程的“对称方程”是，
由，
移项可得：，
关于的方程与互为“对称方程”，
，，
解得：，，
化为，
，
，． 

【解析】根据对称方程的定义可得答案；
由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可．
此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
 

22.【答案】解：设与墙垂直的一边为米，另一边则为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，舍去
当时，，此时，另一边长为米，
答：这个车棚的长为米，宽为米．

设小路的宽为米，
根据题意得：，
，
解得：舍去，，
经检验符合题意．
答：小路的宽为米． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
设与墙垂直的一边为米，然后可得另一边为米，然后利用其面积为平方米列出方程求解即可；
设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案．
 

23.【答案】解：在▱中，，，，．
，，，，，
，
若，则四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
解得，
即当时，；

存在，使点到的距离是，过点作于点，如图，

，
在中，，，
，
，
，
若，
则≌，
，
，
，
整理得，
解得，
，
，
的值为；

作点关于直线对称点，当落在坐标轴上时，有两种情况：
当落在轴上时，

，
，
，即，
；
当落在轴上时，连接，

，，
，
，
，
，
--，
在中，，
，
整理得，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或或． 

【解析】根据已知条件，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得，即，求出即可；
过点作于点，在中，由勾股定理得，证明≌，根据全等三角形的性质得，由得，解方程即可求解；
作点关于直线对称点，当落在坐标轴上时，有两种情况：当落在轴上时，当落在轴上时，分别求解即可．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，数形结合以及分类思想的运用是解本题的关键．