福建省福州市闽侯县2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年福建省福州市闽侯县九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据了解，福建舰航母满载排水量约吨，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列随机事件的概率等于的是(    )

A. 一副普通扑克牌洗匀后，从中任取一张牌的花色是红桃
B. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取球，取到白球
C. 任意转动一个黑、白各占一半的圆形转盘，指针指向白色
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的倍数

7.  如图，由沿射线方向平移得到，与交于点，已知的边，平移距离为，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为下列判断正确的是(    )
 

A. 球运行的最大高度是 B.
C. 球会过球网但不会出界 D. 球会过球网并会出界

9.  如图，内接，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数，若时，自变量的取值范围是则下列四个判断中，正确的个数是(    )


不等式的解集为
方程的解为，

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，则的面积是______ ．

14.  若一组数据的方差为，则这组数据的众数为______ ．

15.  如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为______ ．

16.  在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在中，于点，，点在上，．
求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．
求证：；
若，证明：直线与互相垂直．

21.  本小题分
某校九年级共有四个班，在一次数学考试中，各班的学生人数、平均成绩和任课教师如下表：

求四个班平均成绩的中位数；
在本次的考试中，某学生家长说，“两位老师所任教的班级的平均成绩一样”你认为这个家长的说法正确吗？请说明理由．

22.  本小题分
某公司准备购进，两种材料制作甲、乙两种工艺品，已知件材料比件材料少元，且购进材料件和材料件共需元．
问，两种材料每件各多少元？
若购买的材料可以制作甲、乙两种工艺品共个，制作个甲工艺品和个乙工艺品所需、材料数量如下表．

若甲的售价是元个，乙的售价是元个根据市场需要，甲工艺品数量不多于个，如何安排制作方案可使所获利润最大？并求最大总利润．

23.  本小题分
如图，已知线段于点．
尺规作图：在射线上求作点，使得；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若为的中点，交于点，求的值．

24.  本小题分
如图，点在以为直径的半圆上点不与，两点重合，点是的中点、于点，连接交于点，连接，过点作半圆的切线交的延长线于点．
求证：；
求证：；
连接，，若：：，求的值．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且．
求抛物线的解析式；
设抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线上，直线交轴于点，过点作轴交抛物线于点．
若的面积是面积的倍，求点的坐标；
连接交直线于点，当点在抛物线对称轴右侧图象上，且在直线的上方时，记，，的面积分别为，，，若，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故选：．
根据负数比小得出结论即可．
本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握负数比小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据主视图是从正面看到的可得：
它的主视图是如下：
．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，错误，不合题意；
B、，正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，错误，不合题意；
D、，错误，不合题意．
故选：．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加判断即可；根据幂的乘方，底数不变指数相乘判断即可；根据同类项的概念进行判断即可；根据完全平方公式进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、一副普通扑克牌洗匀后，从中任取一张牌的花色是红桃的概率为，故不符合题意；
B、从一个装有个白球和个红球的袋子中任取球，取到白球的概率为，不符合题意；
C、任意转动一个黑、白各占一半的圆形转盘，指针指向白色的概率为，不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的倍数的概率为，故符合题意；
故选：．
根据概率公式求出各自的概率判断即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由平移可知：，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平移的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题主要考查平移的性质，相似三角形的判定和性质掌握平移的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：球的运行的高度与运行的水平距离满足关系式，
当时，取得最大值，
求运行的最大高度时，故A错误；
球从点正上方的处发出，
的图象经过点，
，
解得：，故B错误；
当时，，
，
球会过球网，
当时，，
，
球会出界，故C选项错误，选项正确．
故选：．
根据顶点式的特征即可判断选项；将点代入函数解析式中即可求得的值，即可判断选项；分别求出和的函数值，再分别和、比较大小，即可判断、选项．
本题考查了二次函数的应用，解题关键是熟练掌握用待定系数求二次函数解析式，以及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
，
，
，
，
的长为：，
故选：．
连接、，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，当时，自变量的取值范围是，
开口向下，与轴的交点为、，
对称轴为直线，
，故正确；
当时，，
，故错误；
抛物线经过点，
，
，
，
，
不等式的解集为，故错误；
，，
方程化为方程，即，
解得，，故正确．
故选：．
根据题意得到抛物线开口向下，与轴的交点为、，即可求得，得出，即可判断；当时，，即可判断；由抛物线经过点，以及，得出，而，解不等式得到，即可判断；代入，，解方程即可判断．
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，有一定难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】如图，过点作轴于点，

则四边形为矩形，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
根据题意画出图形，过点作轴于点，根据反比例函数系数的几何意义得，则，以此即可求解．
本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、，，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
根据方差的计算公式得出这组数据为、、、、、、、，，再由众数的概念可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和众数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正六边形的中心为，
连接，，
设正六边形的周长是，
，
，
顺次连接正六边形各边的中点、、、、、得到的六边形为正六边形，
，
六边形的周长是，
与六边形的周长比，
故答案为：．
设正六边形的中心为，周长是，连接，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
当最小时，的周长最小，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小．
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，

，的最小值，
的周长的最小值为．
故答案为：．
由题意，，，，推出当最小时，的周长最小，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小．
本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：于点，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，
原式

． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
≌，
；

解：绕点顺时针旋转得到，
，，
由可知，
，
若，则，
，
四边形是菱形，
；
，将绕点顺时针旋转得到，
，即，
，
即直线与互相垂直． 

【解析】由绕点顺时针旋转得到，可得，，而，即得，可证≌，故AB；
根据绕点顺时针旋转得到，，可得，证明四边形是菱形，得到；又，进而推导出．
本题考查等腰三角形的旋转问题，涉及菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明≌．
 

21.【答案】解：四个班平均成绩从小到大排列为、、、，
所以这个班平均成绩的中位数为；
两位老师所任教的班级的平均成绩不一定一样，理由如下：
王老师所任教的班级的平均成绩：；
李老师所任教的班级的平均成绩：．
故两位老师所任教的班级的平均成绩不一定一样． 

【解析】根据表中数据结合中位数定义求解可得；
根据题意和加权平均数的计算方法计算后比较可得．
本题主要考查中位数、加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：设材料一件元，材料一件元，则：
，
解得，
答：材料一件元，材料一件元；
设甲工艺品制作个，乙工艺品制作个，总销售利润为元，
根据题意得：


，
甲工艺品数量不多于个，
，
，
当时，有最大值，最大值为元，
此时个，
答：制作个甲工艺品，个乙工艺品时所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设材料一件元，材料一件元，根据件材料比件材料少元，且购进材料件和材料件共需元列出方程组，解方程组即可；
设甲工艺品制作个，乙工艺品制作个，总销售利润为元，根据总利润总销售额总成本列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．
本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出题目所给的等量关系，列方程组和函数解析式．
 

23.【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，再在上截取，
则点为所作；

如图，为的中点，交于点，
即垂直平分，
，
在中，，
设，，
令，则，
在中，，
解得，
，
． 

【解析】作的垂直平分线交于点，再在上截取，则利用正切的定义得到；
先利用垂直平分得到，在中利用正切的定义得到，则设，，令，则，根据勾股定理得到，解方程得到，，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形．
 

24.【答案】证明：连接，
为弧的中点，
，
又为的切线，
，
；
证明：，
，
由可知，设垂足为点，
，
，，
又，，
≌，
，
；
解：连接，，，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
：：，
，
，
． 

【解析】连接，由垂径定理得出，由切线的性质得出，则可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
连接，，，，证明∽，由相似三角形的性质得出，证出∽，得出，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查的是切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，
，
，
将点代入，
，
解得舍或，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得或，
，
轴，
，
设，直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
；
，
，，
的面积是面积的倍，
，
解得舍或或，
或；
存在最大值，理由如下：
过点作轴交直线于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值． 

【解析】根据对称轴求出的值，再由，可得，再将点坐标代入，即可确定函数的解析式；
设，分别求出、点坐标，再求出，，根据题意可得方程，求出的值即可确定点坐标；
过点作轴交直线于点，先求出，再求铅锤法求出，根据已知可得，则，当时，有最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积是解题的关键．