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北京市海淀区高考物理三年（2021-2023）模拟题（一模）按题型分类汇编-02解答题
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这是一份北京市海淀区高考物理三年（2021-2023）模拟题（一模）按题型分类汇编-02解答题，共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2023·北京海淀·统考一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为的竖直圆轨道平滑相接，点和点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为的小球（可视为质点）从弧形轨道上距点高的点静止释放，先后经过点和点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度。
（1）求小球通过点时的速度大小。
（2）求小球通过点时，小球对轨道作用力的大小和方向。
（3）求小球从点运动到点的过程中，其所受合力冲量的大小。
（4）若小球从点运动到点的过程中所用时间为，求轨道对小球的冲量大小和方向。
2．（2023·北京海淀·统考一模）如图1所示，将一硬质细导线构成直径为的单币圆形导体框，并固定在水平纸面内。虚线恰好将导体框分为左右对称的两部分，在虚线左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图2所示，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向。已知圆形导体框的电阻为。
（1）若虚线右侧的空间不存在磁场，求：
a．随时间变化的规律；
b．导体框中产生的感应电动势大小；
c．在内，通过导体框某横截面的电荷量。
（2）若虚线右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小恒为，如图3所示。求时导体框受到的安培力的大小和方向。
3．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是大自然中的常见现象。静止的铀核放出动能为的粒子后，衰变为钍核。计算中不考虑相对论效应，不考虑核子间质量的差异。
（1）请写出上述过程的核反应方程；
（2）求反冲的钍核的动能。
4．（2023·北京海淀·统考一模）用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为，最后一节火箭壳体的质量为。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为。试分析计算：分离后卫星的速度增加到多大？火箭壳体的速度是多大？分离后它们将如何运动？
5．（2023·北京海淀·统考一模）电容是物理学中重要的物理量。如图1甲所示，空气中的平行板电容器充满电后与电源断开，仅改变电容器两极板间的距离，电容器的电容也随之变化。多次实验后，得到图1乙所示图像：一条斜率为的直线。
（1）已知电容器所带电荷量为；
a．请你分析判断，当板间距变化时，两极板间的电场强度如何变化。
b．求下极板对上极板所产生的电场力的大小。
（2）用电容器制成静电天平，如图2甲所示：将电容器置于空气中，下极板保持固定，上极板接到天平的左端。当电容器不带电时，天平恰好保持水平平衡，其两极板间的距离为。当天平右端放置一个质量为的砝码时，需要在电容器的两极板间加上电压，使天平重新水平平衡。已知重力加速度为。
a．写出砝码质量与两极板间所加电压的关系式；
b．分析判断，将图2乙所示理想电压表上的电压值改标为质量值，从左到右，相邻刻度间的质量差将如何变化。
（3）如图3所示，将电容器的下极板保持固定，上极板由一劲度系数为的轻质绝缘弹簧悬挂住。当两极板均不带电时，极板间的距离为。当两极板间的电势差为时，两极板间的距离变为，两极板始终保持水平正对。
a．请讨论上极板平衡位置可能的个数的情况。
b．（选做）请在老师的帮助下，结合教材，指出一种可能的应用。
6．（2021·北京海淀·统考一模）如图所示，竖直面内有一轨道ABC，倾角为θ的AB部分与半径为R的圆弧BC部分平滑连接，轨道C端切线沿水平方向。竖直台阶CD高度为h。一质量为m、可视为质点的滑块，由A处静止滑下，加速度为a，到达B处时速度大小为v，通过圆弧轨道BC后，由C处水平抛出，经一段时间后落到水平地面DE上。空气阻力可忽略不计。
（1）求斜坡AB的长度L；
（2）若不计BC段的阻力，画出滑块经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小；
（3）滑块落到DE上时所受重力的瞬时功率P。
7．（2021·北京海淀·统考一模）如图所示，空间分布着方向平行于纸面、宽度为d的水平匀强电场。在紧靠电场右侧半径为R的圆形区域内，分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为-q的粒子从左极板上A点由静止释放后，在M点离开加速电场，并以速度v0沿半径方向射入匀强磁场区域，然后从N点射出。MN两点间的圆心角∠MON=120°，粒子重力可忽略不计。
（1）求加速电场板间电压U0的大小；
（2）求粒子在匀强磁场中运动时间t的大小；
（3）若仅将该圆形区域的磁场改为平行于纸面的匀强电场，如图所示，带电粒子垂直射入该电场后仍然从N点射出。求粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量ΔEk的大小。
8．（2021·北京海淀·统考一模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图所示的装置：无限长平行光滑金属导轨相距L，导轨平面水平，电源电动势为E，内阻不计。垂直于导轨放置一根质量为m的导体棒MN，导体棒在两导轨之间的电阻为R，导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为B，导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势E反，此时闭合回路的电流大小可用来计算。求：
（1）导体棒运动的速度大小为v时，导体棒的加速度a的大小；
（2）导体棒从开始运动到稳定的过程中电源释放的总电能E电的大小；
9．（2021·北京海淀·统考一模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。质量为m的电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，阻力与车速的关系可认为f=kv2，其中k为已知常数。则
（1）当电动汽车以速度v匀速行驶时，汽车电动机的输出功率P；
（2）当电动汽车的牵引力F与速度v满足怎样的关系时，电动汽车可以以最大速度匀速前行？
（3）若该电动汽车的最大输出功率为Pm，试导出汽车的最大速度vm的表达式；
（4）若电动汽车始终以最大输出功率Pm启动，经过时间t0后电动汽车的速度大小为v0，求该过程中电动汽车克服空气阻力所做的功Wf。
10．（2021·北京海淀·统考一模）静电场可以用电场线和等势面来形象描述，已知静电力常量为k。真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线和等势面分布如图所示。等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2，其电势分别为φ1和φ2，利用电场力做功与电势能改变量间的关系及电势的定义，证明：φ1>φ2。
11．（2021·北京海淀·统考一模）静电场可以用电场线和等势面来形象描述，已知静电力常量为k。类似于磁通量我们可以定义电场的电通量：对于放置于电场中的任意曲面，我们都可以将其划分为无穷多足够小的面元ΔS，每个面元即可视为平面，且穿过该面元的电场也可视为匀强电场，那么电场强度沿着垂直于面元的分量E⊥与ΔS的乘积即为穿过ΔS的电通量，对整个曲面求和就得到了穿过该曲面的电通量，即Φ=ΣE⊥·ΔS。对于电通量，我们也可以将其形象化地理解为穿过某一曲面的电场线的条数，若同一簇电场线先后穿过了两个不同的曲面，则穿过这两个曲面的电通量相等。
（1）利用电通量的定义计算（1）问中穿过等势面S1的电通量大小Φ1；
（2）两个不等量异种电荷所形成的电场并不完全对称，如图所示曲线为从电荷量为+q1的正点电荷出发、终止于电荷量为-q2的负点电荷的一条电场线，该电场线在正点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角为α，在负点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角为β。利用电通量的性质求α与β之间的关系，并据此判断q1和q2的大小关系。（如图所示，已知半径为r，高度为h的球冠面积公式为S=2πrh）
12．（2022·北京海淀·统考一模）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左端连接阻值为R的电阻。电阻为r的导体棒放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒沿导轨以速度v向右做匀速运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。设金属导轨足够长，不计导轨的电阻和空气阻力。
（1）求导体棒中感应电流I的大小；
（2）求导体棒所受拉力F的大小；
（3）通过公式推导验证：在时间内，拉力对导体棒所做的功W等于回路中产生的热量Q。
13．（2022·北京海淀·统考一模）如图所示，粗糙的水平面与光滑的竖直圆轨道在B点相切，圆轨道的半径，D是轨道的最高点，一质量可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆轨道运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数，取重力加速度。求：
（1）物体通过D点时速度的大小；
（2）物体刚进入圆轨道B点时所受支持力的大小；
（3）A与B之间的距离x。
14．（2022·北京海淀·统考一模）电荷的定向移动形成电流。已知电子质量为m，元电荷为e。
（1）两个截面不同的均匀铜棒接在电路中通以稳恒电流，已知电子定向移动通过导体横截面A形A成的电流为。求时间内通过导体横截面B的电子数N。
（2）真空中一对半径均为的圆形金属板P、Q圆心正对平行放置，两板距离为d，Q板中心镀有一层半径为的圆形锌金属薄膜。Q板受到紫外线持续照射后，锌薄膜中的电子可吸收光的能量而逸出。现将两金属板P、Q与两端电压可调的电源、灵敏电流计G连接成如图2所示的电路。
已知单位时间内从锌薄膜中逸出的光电子数为n、逸出时的最大动能为，且光电子逸出的方向各不相同。忽略光电子的重力以及光电子之间的相互作用，不考虑平行板的边缘效应，光照条件保持不变，只有锌金属薄膜发生光电效应。
a．调整电源两端电压，使灵敏电流计示数恰好为零，求此时电压。
b．实验发现，当大于或等于某一电压值时灵敏电流计示数始终为最大值，求和。
c．保持不变，仅改变的大小，结合（2）a和（2）b的结论，在图3中分别定性画出当时I随变化的图线①和当时I随变化的图线②。
15．（2022·北京海淀·统考一模）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
（1）为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为。
a．已知地球公转轨道半径为，求火星公转轨道半径。
b．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。
（2）火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”，俗称“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。
a．求喷出气体速度u的大小。
b．假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为，求此次“侧手翻”消耗的化学能。
参考答案：
1．（1）；（2），方向竖直向上；（3）；（4），方向斜向左上，并且与水平方向夹角
【详解】（1）根据机械能守恒
得
（2）根据机械能守恒
在C点，由牛顿第二定律
得
根据牛顿第三定律，小球对轨道作用力的大小为，方向竖直向上。
（3）B、C两点动量相反，根据动量定理
得
（4）B到C过程动量的变化量水平向左，即合外力冲量水平向左，则
得
设水平方向夹角为，则
故轨道对小球的冲量的方向斜向左上，并且与水平方向夹角为
2．（1）a．；b．；c．；（2），方向水平向右
【详解】（1）a．根据图2可知图像的斜率为
则随时间变化的规律为
b．根据法拉第电磁感应定律可得
又
联立可得
c．感应电流为
在内，通过导体框某横截面的电荷量为
联立可得
（2）根据楞次定律可知，导体框中感应电流方向为逆时针方向；时，左侧磁场的磁感应强度大小为
则左侧半圆导体框受到的安培力方向水平向右，大小为
右侧半圆导体框受到的安培力方向水平向右，大小为
时导体框受到的安培力的大小为
方向水平向右。
3．（1）；（2）
【详解】（1）根据衰变过程满足质量数和电荷数守恒，核反应方程为
（2）设氦核的质量为，速度大小为，钍核的质量为，速度大小为，根据动量守恒可得
又
联立解得反冲的钍核的动能为
4．分离后卫星的速度增加到7.3×103m/s，火箭壳体的速度为5.5×103m/s．
【详解】设分离后壳体的速度为v′，根据动量守恒定律得
（m1+m2）v=m1（v′+u）+m2v′
代入数据解得
v′=5.5×103m/s
则卫星的速度为5.5×103m/s+1.8×103m/s=7.3×103m/s．
卫星分离后速度v1=7.3×103m/s＞v=7.0×103m/s，将发生“离心现象”，卫星对地面的高度将增大，该过程需克服地球引力做功，万有引力势能将增大，动能将减小，卫星将在某一较高的圆轨道上“稳定”下来做匀速圆周运动．而火箭壳体分离的一速度v′=5.5×103m/s＜v，它的轨道高度不断降低，地球对它的引力做正功，万有引力势能不断减小，动能不断增大，最后将会在大气层中被烧毁．
5．（1）a.不变b.；（2）a.，b.作出图像，如答图1所示，由图像可知，从左到右，随着的增加，相邻度间的电压差（均相等）对应的质量增量逐渐增大；（3）a.、、；b.可以做位移传感器。实际上这是一个可以在高压环境下工作的、精度很高的位移传感器的原理，但对材料的耐压程度要求较高
【详解】（1）a.又图1乙可知
根据
以及
可得
即当开关断开时，电容器带电量不变，当两极板间距d变化时，两板间场强E不变；
b.当电容器A所带电量为q时，每个极板产生的电场强度为
可知下极板对上极板所产生的电场力的大小
（2）a. 根据平衡关系可知
mg=F
又
q=CU
可得
b.因图像是开口向上的抛物线，可知由图像可知，从左到右，随着的增加，相邻度间的电压差（均相等）对应的质量增量逐渐增大；
（3）a.当两板间所加电压为U时，设上极板所受弹簧弹力的变化量为∆F1，所受下极板的电场力为F2，稳定时，根据平衡条件可知
∆F1=F2
根据胡克定律
根据（1）的结论可知
即
这是关于d的三次方程，可通过图像确定其解的个数，如图
在F-d坐标系只分别做出方程左端
的图像（图中的b1、b2和b3）和右端
的图像（图中曲线a）两个图像的交点的个数反映了方程解的个数，即上极板平衡位置的个数N；
直线b1和曲线a相交，表明方程有2个解，即上极板平衡的个数为N=2；
直线b2和曲线a相切，表明方程有两1个解，即上极板平衡的个数为N=1；
直线b3和曲线a相离，表明没有交点，即上极板平衡的个数为N=0；
综上所述，上极板平衡位置个数N=0、1、2。
b.可以做位移传感器。实际上这是一个可以在高压环境下工作的、精度很高的位移传感器的原理，但对材料的耐压程度要求较高。
6．（1）；（2）受力图见解析，；（3）
【详解】（1）根据公式
解得斜坡AB的长度为
（2）滑块经过C点时受到重力和支持力，示意图如下
由B到C，列动能定理
到达C点时根据牛顿第二定律
联立解得
（3）过C点后滑块做平抛运动，落地时竖直方向的速度为
所以滑块落到DE上时所受重力的瞬时功率为
7．（1）；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子在匀强电场中加速的过程，根据动能定理有
解得
（2）粒子在磁场中运动的半径
粒子在匀强磁场中运动时间t的大小
（3）粒子在偏转电场中做匀加速曲线运动，运动轨迹如图所示，根据运动的合成分解及几何关系，在x方向有
R+Rcs60°=v0t
在y方向有
Rsin60°＝at2
根据牛顿第二定律有
Eq=ma
联立解得
则粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量
8．（1）；（2）
【详解】(1)导体棒从静止开始运动，设导体棒运动速度为v，根据反电动势的公式及闭合电路欧姆定律有导体棒中的电流
由牛顿第二定律有
解得导体棒运动的加速度为
(2)设从开始到导体棒速度恰稳定时所需时间为，则对导体棒根据动量定理
而当速度最大时，此时加速度为零，由上一问结论有
那么电源消耗的电能为
解得
9．（1）kv3；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）当电动汽车以速度v匀速行驶时，根据牛顿第二定律有
解得
所以汽车电动机的输出功率为
（2）当汽车以最大速度匀速前行时，牵引力和阻力等大反向，即
（3）当汽车达到最大速度行驶时，牵引力和阻力等大反向，即
所以汽车的最大输出功率为
解得
（4）根据动能定理可得
解得
10．见解析
【详解】将正点电荷+q沿电场线从等势面S1移动至S2过程中电场力做功
根据电场力做功与电势能改变量之间的关系
根据电势的定义
可得
11．（1）；（2）
【详解】（1）根据电通量的定义可得
（2）分别以点电荷+q1和-q2为中心，取一半径为r的很小的球面，球面处的电场可近似视为点电荷电场。穿出2α角所对的球冠面的电场线应完全穿入2β角所对的球冠面，两个球冠面上的电通量相等。球冠面积可以分别表示为
根据电通量相等可得
即
由于，因此。
12．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律可得，导体棒产生的感应电流大小为
（2）导体棒匀速运动，所受拉力与安培力等大、反向，可得导体棒所受拉力大小为
联立解得
（3）在时间内，拉力对导体棒所做的功为
回路中产生的热量为
对比可得
W=Q
即在时间内，拉力对导体棒所做的功W等于回路中产生的热量Q。
13．（1）2m/s；（2）60N；（3）2m
【详解】（1）物体恰好能通过D点，则
解得
（2）从B点到D点，由机械能守恒定律
在B点
解得
FN=60N
（3）从A到B由动能定理可知
解得
x=2m
14．（1）；（2）a．，b．，c．
【详解】（1）根据
可得单位时间通过导体横截面A的电子数为
因为单位时间通过导体横截面A的电子数与通过导体横截面B的电子数相等
所以时间Δt内通过导体横截面B的电子数为
（2）a．以具有最大动能且沿垂直金属板运动的电子为研究对象，若其刚到达P板时速度刚好减小到0，则不会有电子经过灵敏电流计G，此为I为零的临界情况，意味着U<0。
根据动能定理，光电子由Q板到P板的过程中，有
得
b．当U＞0时，若从锌膜边缘平行Q板射出的动能最大的光电子做匀变速曲线（类平抛）运动，刚好能到达P板边缘时，则所有电子均能到达P板，此时电源两端电压为U。设电子的初速度为v、运动时间为t，电流的最大值为
I=ne
根据牛顿第二定律，光电子运动的加速度为
平行于金属板方向的运动有
垂直于金属板方向的运动有
光电子最大动能与初速度关系为
联立可得
c．结合上述结论，可定性画出I随U变化的图线如答下图所示。
15．（1）a．，b．；（2）a．，b．
【详解】（1）a．设太阳质量为M，地球质量为m1，火星质量为m2，根据万有引力定律结合圆周运动规律，有
联立可得
b．设地球、火星绕日公转的角速度分别为ω1、ω2，有
根据运动关系
解得
（2）a．喷出气体的质量为
喷出气体前探测器与所喷出气体组成的系统初动量
喷出气体后探测器末动量为
喷出气体前后p1、p2方向垂直，建立如图所示Oxy直角坐标系。
喷出气体速度u在x、y方向上的分量分别为ux、uy，根据动量守恒定律有
x方向有
y方向有
喷出气体速度满足
联立可得
b．探测器与所喷出气体组成的系统
喷气前总动能
喷气后总动能
消耗的化学能
联立可得
一、解答题
1．（2023·北京海淀·统考一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为的竖直圆轨道平滑相接，点和点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为的小球（可视为质点）从弧形轨道上距点高的点静止释放，先后经过点和点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度。
（1）求小球通过点时的速度大小。
（2）求小球通过点时，小球对轨道作用力的大小和方向。
（3）求小球从点运动到点的过程中，其所受合力冲量的大小。
（4）若小球从点运动到点的过程中所用时间为，求轨道对小球的冲量大小和方向。
2．（2023·北京海淀·统考一模）如图1所示，将一硬质细导线构成直径为的单币圆形导体框，并固定在水平纸面内。虚线恰好将导体框分为左右对称的两部分，在虚线左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图2所示，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向。已知圆形导体框的电阻为。
（1）若虚线右侧的空间不存在磁场，求：
a．随时间变化的规律；
b．导体框中产生的感应电动势大小；
c．在内，通过导体框某横截面的电荷量。
（2）若虚线右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小恒为，如图3所示。求时导体框受到的安培力的大小和方向。
3．（2023·北京海淀·统考一模）反冲是大自然中的常见现象。静止的铀核放出动能为的粒子后，衰变为钍核。计算中不考虑相对论效应，不考虑核子间质量的差异。
（1）请写出上述过程的核反应方程；
（2）求反冲的钍核的动能。
4．（2023·北京海淀·统考一模）用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为，最后一节火箭壳体的质量为。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为。试分析计算：分离后卫星的速度增加到多大？火箭壳体的速度是多大？分离后它们将如何运动？
5．（2023·北京海淀·统考一模）电容是物理学中重要的物理量。如图1甲所示，空气中的平行板电容器充满电后与电源断开，仅改变电容器两极板间的距离，电容器的电容也随之变化。多次实验后，得到图1乙所示图像：一条斜率为的直线。
（1）已知电容器所带电荷量为；
a．请你分析判断，当板间距变化时，两极板间的电场强度如何变化。
b．求下极板对上极板所产生的电场力的大小。
（2）用电容器制成静电天平，如图2甲所示：将电容器置于空气中，下极板保持固定，上极板接到天平的左端。当电容器不带电时，天平恰好保持水平平衡，其两极板间的距离为。当天平右端放置一个质量为的砝码时，需要在电容器的两极板间加上电压，使天平重新水平平衡。已知重力加速度为。
a．写出砝码质量与两极板间所加电压的关系式；
b．分析判断，将图2乙所示理想电压表上的电压值改标为质量值，从左到右，相邻刻度间的质量差将如何变化。
（3）如图3所示，将电容器的下极板保持固定，上极板由一劲度系数为的轻质绝缘弹簧悬挂住。当两极板均不带电时，极板间的距离为。当两极板间的电势差为时，两极板间的距离变为，两极板始终保持水平正对。
a．请讨论上极板平衡位置可能的个数的情况。
b．（选做）请在老师的帮助下，结合教材，指出一种可能的应用。
6．（2021·北京海淀·统考一模）如图所示，竖直面内有一轨道ABC，倾角为θ的AB部分与半径为R的圆弧BC部分平滑连接，轨道C端切线沿水平方向。竖直台阶CD高度为h。一质量为m、可视为质点的滑块，由A处静止滑下，加速度为a，到达B处时速度大小为v，通过圆弧轨道BC后，由C处水平抛出，经一段时间后落到水平地面DE上。空气阻力可忽略不计。
（1）求斜坡AB的长度L；
（2）若不计BC段的阻力，画出滑块经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小；
（3）滑块落到DE上时所受重力的瞬时功率P。
7．（2021·北京海淀·统考一模）如图所示，空间分布着方向平行于纸面、宽度为d的水平匀强电场。在紧靠电场右侧半径为R的圆形区域内，分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为-q的粒子从左极板上A点由静止释放后，在M点离开加速电场，并以速度v0沿半径方向射入匀强磁场区域，然后从N点射出。MN两点间的圆心角∠MON=120°，粒子重力可忽略不计。
（1）求加速电场板间电压U0的大小；
（2）求粒子在匀强磁场中运动时间t的大小；
（3）若仅将该圆形区域的磁场改为平行于纸面的匀强电场，如图所示，带电粒子垂直射入该电场后仍然从N点射出。求粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量ΔEk的大小。
8．（2021·北京海淀·统考一模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图所示的装置：无限长平行光滑金属导轨相距L，导轨平面水平，电源电动势为E，内阻不计。垂直于导轨放置一根质量为m的导体棒MN，导体棒在两导轨之间的电阻为R，导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为B，导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势E反，此时闭合回路的电流大小可用来计算。求：
（1）导体棒运动的速度大小为v时，导体棒的加速度a的大小；
（2）导体棒从开始运动到稳定的过程中电源释放的总电能E电的大小；
9．（2021·北京海淀·统考一模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。质量为m的电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，阻力与车速的关系可认为f=kv2，其中k为已知常数。则
（1）当电动汽车以速度v匀速行驶时，汽车电动机的输出功率P；
（2）当电动汽车的牵引力F与速度v满足怎样的关系时，电动汽车可以以最大速度匀速前行？
（3）若该电动汽车的最大输出功率为Pm，试导出汽车的最大速度vm的表达式；
（4）若电动汽车始终以最大输出功率Pm启动，经过时间t0后电动汽车的速度大小为v0，求该过程中电动汽车克服空气阻力所做的功Wf。
10．（2021·北京海淀·统考一模）静电场可以用电场线和等势面来形象描述，已知静电力常量为k。真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线和等势面分布如图所示。等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2，其电势分别为φ1和φ2，利用电场力做功与电势能改变量间的关系及电势的定义，证明：φ1>φ2。
11．（2021·北京海淀·统考一模）静电场可以用电场线和等势面来形象描述，已知静电力常量为k。类似于磁通量我们可以定义电场的电通量：对于放置于电场中的任意曲面，我们都可以将其划分为无穷多足够小的面元ΔS，每个面元即可视为平面，且穿过该面元的电场也可视为匀强电场，那么电场强度沿着垂直于面元的分量E⊥与ΔS的乘积即为穿过ΔS的电通量，对整个曲面求和就得到了穿过该曲面的电通量，即Φ=ΣE⊥·ΔS。对于电通量，我们也可以将其形象化地理解为穿过某一曲面的电场线的条数，若同一簇电场线先后穿过了两个不同的曲面，则穿过这两个曲面的电通量相等。
（1）利用电通量的定义计算（1）问中穿过等势面S1的电通量大小Φ1；
（2）两个不等量异种电荷所形成的电场并不完全对称，如图所示曲线为从电荷量为+q1的正点电荷出发、终止于电荷量为-q2的负点电荷的一条电场线，该电场线在正点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角为α，在负点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角为β。利用电通量的性质求α与β之间的关系，并据此判断q1和q2的大小关系。（如图所示，已知半径为r，高度为h的球冠面积公式为S=2πrh）
12．（2022·北京海淀·统考一模）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左端连接阻值为R的电阻。电阻为r的导体棒放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒沿导轨以速度v向右做匀速运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。设金属导轨足够长，不计导轨的电阻和空气阻力。
（1）求导体棒中感应电流I的大小；
（2）求导体棒所受拉力F的大小；
（3）通过公式推导验证：在时间内，拉力对导体棒所做的功W等于回路中产生的热量Q。
13．（2022·北京海淀·统考一模）如图所示，粗糙的水平面与光滑的竖直圆轨道在B点相切，圆轨道的半径，D是轨道的最高点，一质量可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆轨道运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数，取重力加速度。求：
（1）物体通过D点时速度的大小；
（2）物体刚进入圆轨道B点时所受支持力的大小；
（3）A与B之间的距离x。
14．（2022·北京海淀·统考一模）电荷的定向移动形成电流。已知电子质量为m，元电荷为e。
（1）两个截面不同的均匀铜棒接在电路中通以稳恒电流，已知电子定向移动通过导体横截面A形A成的电流为。求时间内通过导体横截面B的电子数N。
（2）真空中一对半径均为的圆形金属板P、Q圆心正对平行放置，两板距离为d，Q板中心镀有一层半径为的圆形锌金属薄膜。Q板受到紫外线持续照射后，锌薄膜中的电子可吸收光的能量而逸出。现将两金属板P、Q与两端电压可调的电源、灵敏电流计G连接成如图2所示的电路。
已知单位时间内从锌薄膜中逸出的光电子数为n、逸出时的最大动能为，且光电子逸出的方向各不相同。忽略光电子的重力以及光电子之间的相互作用，不考虑平行板的边缘效应，光照条件保持不变，只有锌金属薄膜发生光电效应。
a．调整电源两端电压，使灵敏电流计示数恰好为零，求此时电压。
b．实验发现，当大于或等于某一电压值时灵敏电流计示数始终为最大值，求和。
c．保持不变，仅改变的大小，结合（2）a和（2）b的结论，在图3中分别定性画出当时I随变化的图线①和当时I随变化的图线②。
15．（2022·北京海淀·统考一模）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
（1）为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为。
a．已知地球公转轨道半径为，求火星公转轨道半径。
b．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。
（2）火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”，俗称“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。
a．求喷出气体速度u的大小。
b．假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为，求此次“侧手翻”消耗的化学能。
参考答案：
1．（1）；（2），方向竖直向上；（3）；（4），方向斜向左上，并且与水平方向夹角
【详解】（1）根据机械能守恒
得
（2）根据机械能守恒
在C点，由牛顿第二定律
得
根据牛顿第三定律，小球对轨道作用力的大小为，方向竖直向上。
（3）B、C两点动量相反，根据动量定理
得
（4）B到C过程动量的变化量水平向左，即合外力冲量水平向左，则
得
设水平方向夹角为，则
故轨道对小球的冲量的方向斜向左上，并且与水平方向夹角为
2．（1）a．；b．；c．；（2），方向水平向右
【详解】（1）a．根据图2可知图像的斜率为
则随时间变化的规律为
b．根据法拉第电磁感应定律可得
又
联立可得
c．感应电流为
在内，通过导体框某横截面的电荷量为
联立可得
（2）根据楞次定律可知，导体框中感应电流方向为逆时针方向；时，左侧磁场的磁感应强度大小为
则左侧半圆导体框受到的安培力方向水平向右，大小为
右侧半圆导体框受到的安培力方向水平向右，大小为
时导体框受到的安培力的大小为
方向水平向右。
3．（1）；（2）
【详解】（1）根据衰变过程满足质量数和电荷数守恒，核反应方程为
（2）设氦核的质量为，速度大小为，钍核的质量为，速度大小为，根据动量守恒可得
又
联立解得反冲的钍核的动能为
4．分离后卫星的速度增加到7.3×103m/s，火箭壳体的速度为5.5×103m/s．
【详解】设分离后壳体的速度为v′，根据动量守恒定律得
（m1+m2）v=m1（v′+u）+m2v′
代入数据解得
v′=5.5×103m/s
则卫星的速度为5.5×103m/s+1.8×103m/s=7.3×103m/s．
卫星分离后速度v1=7.3×103m/s＞v=7.0×103m/s，将发生“离心现象”，卫星对地面的高度将增大，该过程需克服地球引力做功，万有引力势能将增大，动能将减小，卫星将在某一较高的圆轨道上“稳定”下来做匀速圆周运动．而火箭壳体分离的一速度v′=5.5×103m/s＜v，它的轨道高度不断降低，地球对它的引力做正功，万有引力势能不断减小，动能不断增大，最后将会在大气层中被烧毁．
5．（1）a.不变b.；（2）a.，b.作出图像，如答图1所示，由图像可知，从左到右，随着的增加，相邻度间的电压差（均相等）对应的质量增量逐渐增大；（3）a.、、；b.可以做位移传感器。实际上这是一个可以在高压环境下工作的、精度很高的位移传感器的原理，但对材料的耐压程度要求较高
【详解】（1）a.又图1乙可知
根据
以及
可得
即当开关断开时，电容器带电量不变，当两极板间距d变化时，两板间场强E不变；
b.当电容器A所带电量为q时，每个极板产生的电场强度为
可知下极板对上极板所产生的电场力的大小
（2）a. 根据平衡关系可知
mg=F
又
q=CU
可得
b.因图像是开口向上的抛物线，可知由图像可知，从左到右，随着的增加，相邻度间的电压差（均相等）对应的质量增量逐渐增大；
（3）a.当两板间所加电压为U时，设上极板所受弹簧弹力的变化量为∆F1，所受下极板的电场力为F2，稳定时，根据平衡条件可知
∆F1=F2
根据胡克定律
根据（1）的结论可知
即
这是关于d的三次方程，可通过图像确定其解的个数，如图
在F-d坐标系只分别做出方程左端
的图像（图中的b1、b2和b3）和右端
的图像（图中曲线a）两个图像的交点的个数反映了方程解的个数，即上极板平衡位置的个数N；
直线b1和曲线a相交，表明方程有2个解，即上极板平衡的个数为N=2；
直线b2和曲线a相切，表明方程有两1个解，即上极板平衡的个数为N=1；
直线b3和曲线a相离，表明没有交点，即上极板平衡的个数为N=0；
综上所述，上极板平衡位置个数N=0、1、2。
b.可以做位移传感器。实际上这是一个可以在高压环境下工作的、精度很高的位移传感器的原理，但对材料的耐压程度要求较高。
6．（1）；（2）受力图见解析，；（3）
【详解】（1）根据公式
解得斜坡AB的长度为
（2）滑块经过C点时受到重力和支持力，示意图如下
由B到C，列动能定理
到达C点时根据牛顿第二定律
联立解得
（3）过C点后滑块做平抛运动，落地时竖直方向的速度为
所以滑块落到DE上时所受重力的瞬时功率为
7．（1）；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子在匀强电场中加速的过程，根据动能定理有
解得
（2）粒子在磁场中运动的半径
粒子在匀强磁场中运动时间t的大小
（3）粒子在偏转电场中做匀加速曲线运动，运动轨迹如图所示，根据运动的合成分解及几何关系，在x方向有
R+Rcs60°=v0t
在y方向有
Rsin60°＝at2
根据牛顿第二定律有
Eq=ma
联立解得
则粒子从M点运动到N点过程中，动能的增加量
8．（1）；（2）
【详解】(1)导体棒从静止开始运动，设导体棒运动速度为v，根据反电动势的公式及闭合电路欧姆定律有导体棒中的电流
由牛顿第二定律有
解得导体棒运动的加速度为
(2)设从开始到导体棒速度恰稳定时所需时间为，则对导体棒根据动量定理
而当速度最大时，此时加速度为零，由上一问结论有
那么电源消耗的电能为
解得
9．（1）kv3；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）当电动汽车以速度v匀速行驶时，根据牛顿第二定律有
解得
所以汽车电动机的输出功率为
（2）当汽车以最大速度匀速前行时，牵引力和阻力等大反向，即
（3）当汽车达到最大速度行驶时，牵引力和阻力等大反向，即
所以汽车的最大输出功率为
解得
（4）根据动能定理可得
解得
10．见解析
【详解】将正点电荷+q沿电场线从等势面S1移动至S2过程中电场力做功
根据电场力做功与电势能改变量之间的关系
根据电势的定义
可得
11．（1）；（2）
【详解】（1）根据电通量的定义可得
（2）分别以点电荷+q1和-q2为中心，取一半径为r的很小的球面，球面处的电场可近似视为点电荷电场。穿出2α角所对的球冠面的电场线应完全穿入2β角所对的球冠面，两个球冠面上的电通量相等。球冠面积可以分别表示为
根据电通量相等可得
即
由于，因此。
12．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律可得，导体棒产生的感应电流大小为
（2）导体棒匀速运动，所受拉力与安培力等大、反向，可得导体棒所受拉力大小为
联立解得
（3）在时间内，拉力对导体棒所做的功为
回路中产生的热量为
对比可得
W=Q
即在时间内，拉力对导体棒所做的功W等于回路中产生的热量Q。
13．（1）2m/s；（2）60N；（3）2m
【详解】（1）物体恰好能通过D点，则
解得
（2）从B点到D点，由机械能守恒定律
在B点
解得
FN=60N
（3）从A到B由动能定理可知
解得
x=2m
14．（1）；（2）a．，b．，c．
【详解】（1）根据
可得单位时间通过导体横截面A的电子数为
因为单位时间通过导体横截面A的电子数与通过导体横截面B的电子数相等
所以时间Δt内通过导体横截面B的电子数为
（2）a．以具有最大动能且沿垂直金属板运动的电子为研究对象，若其刚到达P板时速度刚好减小到0，则不会有电子经过灵敏电流计G，此为I为零的临界情况，意味着U<0。
根据动能定理，光电子由Q板到P板的过程中，有
得
b．当U＞0时，若从锌膜边缘平行Q板射出的动能最大的光电子做匀变速曲线（类平抛）运动，刚好能到达P板边缘时，则所有电子均能到达P板，此时电源两端电压为U。设电子的初速度为v、运动时间为t，电流的最大值为
I=ne
根据牛顿第二定律，光电子运动的加速度为
平行于金属板方向的运动有
垂直于金属板方向的运动有
光电子最大动能与初速度关系为
联立可得
c．结合上述结论，可定性画出I随U变化的图线如答下图所示。
15．（1）a．，b．；（2）a．，b．
【详解】（1）a．设太阳质量为M，地球质量为m1，火星质量为m2，根据万有引力定律结合圆周运动规律，有
联立可得
b．设地球、火星绕日公转的角速度分别为ω1、ω2，有
根据运动关系
解得
（2）a．喷出气体的质量为
喷出气体前探测器与所喷出气体组成的系统初动量
喷出气体后探测器末动量为
喷出气体前后p1、p2方向垂直，建立如图所示Oxy直角坐标系。
喷出气体速度u在x、y方向上的分量分别为ux、uy，根据动量守恒定律有
x方向有
y方向有
喷出气体速度满足
联立可得
b．探测器与所喷出气体组成的系统
喷气前总动能
喷气后总动能
消耗的化学能
联立可得
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