苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品课后复习题

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6．2 空间向量的坐标表示
【题型归纳目录】
题型一：空间向量基本定理及其推论
题型二：用基底表示向量
题型三：空间向量基本定理的应用
题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
题型五：空间向量的坐标表示及运算
题型六：空间向量平行的坐标表示及应用
题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
【知识点梳理】
知识点一、空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式．
知识点二、空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
知识点三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
（3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
知识点四、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面．
2、右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3、空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点五、空间直角坐标系中点的坐标
1、空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为．
2、空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴（x轴）的对称点是；
点关于纵轴（y轴）的对称点是；
点关于竖轴（z轴）的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是．
知识点六、空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
②，
或．
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出．
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为．
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①；
②；
③；
（4）向量数量积的坐标运算
若，则

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和．
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
（1）．
（2）．
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②．
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）．
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直．
【典型例题】
题型一：空间向量基本定理及其推论
例1．（2022·广东·高二阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
例2．（2022·河南洛阳·高二期中（理））若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于A，，共面，不能作为空间一组基底，A错误；
对于B，，共面，不能作为空间一组基底，B错误；
对于C，假设共面，则可设
，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，C正确；
对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D错误.
故选：C.
例3．（2022·河南·高二阶段练习（理））若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方法一：只需把，，看作平行六面体从一个顶点出发的三条棱，再利用向量加减法的三角形法则或平行四边形法则，就可以判断出选项A，B，C中的三个向量都不共面，全可以作为空间中的一组基底；选项D，因为，且，所以三个向量共面，不能构成基底，D不符合．故选D．
方法二：选项A：假设，，共面，则存在实数x，y使得，无论x，y取何值，等式均不成立，因此，，三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；
同理可判断选项B，C中的三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；
选项D，假设，，共面，则存在实数x，y使得
，
当，时，等式成立，因此，，三个向量共面，不能构成空间中的一组基底．
故选：D．
题型二：用基底表示向量
例4．（2022·广东·新会陈经纶中学高二阶段练习）三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（　　）

A． B．
C．） D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
【方法技巧与总结】
用基底表示向量时
（1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律．
（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
例5．（2022·河南·南阳华龙高级中学高二阶段练习）如图，四面体的所有棱长均为，分别为线段的中点.若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别为中点，，，
，，，，
.
故选：C.
例6．（2022·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高二期中（理））如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在平行六面体中，是的中点，
所以.
故选：A.
变式1．（2022·广东·江门市第一中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，

因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：D
变式2．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：

点N在BC上，且，∴，
由，，
，
为中点，，，
．
故选：D．
题型三：空间向量基本定理的应用
例7．（2022·山东聊城一中高二阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．

(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【解析】（1）



（2）由题意知，，，，
则，
，


所以
【方法技巧与总结】
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算．
例8．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，为的中点.设.

(1)用表示；
(2)设是棱上的点，且，用表示.
【解析】（1）因为为的中点，，
所以，
所以
（2）因为，
所以



例9．（2022·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 .

【解析】证明：设
则
，
，
，
，
，

又
，同理可证，
这个四面体相对的棱两两垂直.
变式3．（2022·全国·高一）如图所示，已知是平行六面体．

(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【解析】(1)∵是平行六面体，
∴
(2)∵

，

又，
∴，，.
题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
例10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，

(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
【解析】（1）因为，，，
所以点的坐标为，从而．
（2）同理因为，，，易得点的坐标为，所以．
【方法技巧与总结】
（1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
（2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．
例11．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
例12．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．

【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．

则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
题型五：空间向量的坐标表示及运算
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：

(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
【解析】（1）由已知，
则，，
（2）,
.
【方法技巧与总结】
（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．
（2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则．
例14．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）若四边形为平行四边形，且，求顶点D的坐标.
【解析】设，因为四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，所以，即.
例15．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.

【解析】由图可得，设
因为，所以，所以
所以，解得，即
变式4．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出，C，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【解析】(1)点在z轴上，且，
所以点的坐标是．
同理，点C的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．
(2)；
；
；
．
变式5．（2022·全国·高二专题练习）在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
【解析】（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
题型六：空间向量平行的坐标表示及应用
例16．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（理））已知向量，，且与互相平行，则实数k的值为（    ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，即，解得．
故选：D．
【方法技巧与总结】
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行．
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标．
（3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行．
例17．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）若与共线，则（    ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为与共线，
所以，即，即，解得.
故选：A
例18．（2022·河北沧州·高二期中）已知则（    ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】D
【解析】由可得
∵，故，
∴，，
∴，
故选：D
变式6．（2022·广西·浦北中学高二期中）已知空间向量，若空间向量与平行，则的坐标可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两向量平行，对应坐标成比例，
因为，
故选：.
题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
例19．（2022·福建·高二阶段练习）已知空间三点，，，．
(1)求以为边的平行四边形的面积；
(2)若，且，点是的中点，求的值．
【解析】（1）
，，
，
，
.
（2）点是的中点，
，
，



.
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标．
例20．（2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校高二期中（理））已知空间三点，求：
(1)向量，的模；
(2)向量，夹角的余弦值．
【解析】（1）由于，
所以，故；
，故．
（2）由（1）得：．
例21．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习（理））已知向量，，，，.
(1)求，，；
(2)求与所成角的余弦值.
【解析】（1），故，即，
故，，，即，，
，故，，故
（2），，与所成角的余弦值为：

变式7．（2022·上海市南洋模范中学高二期中）已知空间中的三点，，.
(1)求的面积；
(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．
【解析】（1）由题设，，则，
所以，故在中，
故的面积为.
（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，
所以，即，
所以，可得，
当它们反向共线，即且时，有，无解，
综上，.
变式8．（2022·广西·钦州市第四中学高二期中）已知向量，．
(1)求；
(2)求在方向上的投影．
【解析】（1）由已知可得，
因此，.
（2）由题意可知，在方向上的投影为.
变式9．（2022·广东广州·高二期中）如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出四点的坐标；
(2)求．
【解析】（1），，
则，，，，
，为中点，.
（2）由（1）得：，，
.
变式10．（2022·上海·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，，，．
(1)若，求的坐标；
(2)求三角形的面积．
【解析】（1）若，则，，
由，即，可得，故.
（2）由题设，，则，，
所以，，故，
所以三角形的面积.
变式11．（2022·河北沧州·高二阶段练习）已知空间三点，设．
(1)若A，B，C三点共线时，求t的值；
(2)若时，当向量与互相垂直，求k的值．
【解析】（1）由题设，
．
由A，B，C三点共线，知，∴．
（2）因为，
，
因为向量与互相垂直，
即．
即，所以或．
变式12．（2022·广东·广州思源学校高二阶段练习）在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．

(1)求与的坐标；
(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．
【解析】（1）在长方体中，已知，
依题意，，
所以，.
（2）在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图，

即向量在平面上的投影向量为，而，，
所以向量在平面上的投影向量的坐标为.
变式13．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【解析】（1）如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，

则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）因为，所以
因为，且,
所以；
（3）因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.
变式14．（2022·辽宁·大连二十四中高二阶段练习）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．

(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，．
则，，
所以．
（2）由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．
题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
例22．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为:，AD是边BC上的高，则AD的长为__________．
【答案】
【解析】因为，
则，，因为点在边上，
设
且
由AD是边BC上的高可得，解得
所以
则
故答案为:
【方法技巧与总结】
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤

例23．（2022·上海青浦·一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．
【答案】
【解析】依题意，，，
，而，则，
所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.
故答案为：
例24．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习（文））设，若，则______.
【答案】
【解析】，
由于，所以，
所以，
解得.
故答案为：
变式15．（2022·广西柳州·高二期中）已知，，则线段中点的坐标为________．
【答案】
【解析】设中点坐标为，
则，，，
∴中点坐标为．
故答案为：
变式16．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．
【答案】
【解析】依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，即，
所以向量的坐标为．
故填：．
题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例25．（2022·全国·高二课时练习）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

【解析】以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得 ，
所以点Q的坐标为，因为，所以＝λ，
所以，故λ＝－4.

【方法技巧与总结】
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解．
（2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
例26．（2022·全国·高二课时练习）正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
【解析】解:如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
因为＝(m，n，0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，又∥，
所以＝＝，解得m＝1，n＝，
所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.

例27．（2022·上海·高二专题练习）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为______．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，且点在直线上，
所以，所以存在实数使得，
设，则，所以，
可得，即，
又因为，所以，
因为，，
所以，可得，
所以点，
故答案为：
变式17．（2022·全国·高二单元测试）已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，且点在直线上，
所以，所以存在实数使得
设，则，
所以，
可得，即，
又因为，所以，
因为，，
所以，可得，
所以点．
故答案为：．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·广东茂名·高二期末）若向量，，则（    ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】解析：由题意，得，
.
故选：D.
2．（2022·湖北·襄阳市第一中学高二阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
，
所以.
故选：A

3．（2022·河南·南阳华龙高级中学高二阶段练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：；
设向量在基底下的坐标为，
则，
即，，解得：，
向量在基底下的坐标为.
故选：C.
4．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知向量，，则为（    ）
A．0 B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】由题可得，
故选:A.
5．（2022·重庆·高二阶段练习）已知向量，且与互相平行，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，，
因为与平行，
若，则，，
若，则，无解．
综上，，
故选：D．
6．（2022·浙江·湖州中学高二期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
，，
.
故选：C.
7．（2022·江苏·苏州中学高二期末）如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
．
故选：B．
8．（2022·浙江台州·高二期中）已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】

如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点，，，
则，，
，
当或，或时，最大，为1.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·福建福州·高二期中）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ）
A．若，且，则
B．和的夹角的余弦值
C．若与互相垂直，则的值为2；
D．若与轴垂直，则，应满足
【答案】BD
【解析】依题意，，，
对于A，因为，所以，又，所以，解得，所以或，A不正确；
对于B，，B正确；
对于C，因与互相垂直，则，
解得或，C不正确；
对于D，因为，轴的一个方向向量，
依题意，即，D正确；
故选：BD
10．（2022·辽宁·凤城市第一中学高二期中）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
D．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
【答案】BC
【解析】对于A，，，是非零向量，当时，若，则成立，显然不成立，A不正确；
对于B，假设，不共线，则，可分别作为三棱锥底面边对应的向量，

显然向量与不共面，即存在向量与向量，构成空间的一组基底，与已知矛盾，假设是错的，因此，B正确；
对于C，，，是空间的一组基底，且，而，
由空间向量基本定理得，，，四点共面，C正确；
对于D，向量，，是空间的一组基底，而，即，，共面，
因此，，不能构成空间的一组基底，D不正确.
故选：BC
11．（2022·福建省福州格致中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．不能构成空间的一个基底
B．
C．平面
D．直线与直线所成角为
【答案】BCD
【解析】对于A：假设共面，
则存在唯一的实数，使得，
又，
所以
所以共面，这与不共面明显矛盾，
所以不共面，故A错误；
对于B：因为，
所以

，
所以，故B正确；
对于C：因为，

，所以，所以，
又为菱形，所以，
因为，，，平面，
所以平面，故C正确；
对于D：因为
，
所以，
所以，
所以直线与直线所成角为，故D正确；
故选：BCD

12．（2022·山东·青岛二中高二期中）已知空间中三点，，，则（    ）．
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】ABC
【解析】，则，故A正确；
，则，所以，故B正确；
，则，故C正确；
因为，，，所以向量不共线，则A，B，C三点不共线，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）空间向量，满足，且，则______.
【答案】
【解析】由，可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
14．（2022·广东·惠州市华罗庚中学高二阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，
∵点E在直线AB上，
∴，
又∵，则，
∴，
故点E的坐标为.
故答案为：
15．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为____________．
【答案】
【解析】因为，，
所以，，，
所以向量在方向上的投影数量为.
故答案为：.
16．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可设，，,
由，得，
，
，
所以



（当且仅当，时等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·安徽·安庆市外国语学校高二阶段练习）已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值．
【解析】（1）由已知可得，，
．
（2），
，
，，
即，解得．
18．（2022·上海·高二专题练习）如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．

(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
【解析】（1）


，
∴；
（2），
，
，
，
，
即MN的长为.
19．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题：

(1)以为基底表示；
(2)若，，，求的值．
【解析】（1）

；
（2）

.
20．（2022·辽宁·高二期中）已知空间三点，，．
(1)若点（异于点）在直线上，且，求点的坐标；
(2)求的面积．
【解析】（1）设，，
∵ 点（异于点）在直线上，
∴，
则，
，
，
，
，
，
，
，
（2）由（1）知，
，
，
．
21．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【解析】（1）如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，

则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）因为，所以
因为，且,
所以；
（3）因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.
22．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F分别是的中点，G是上的点，.

（1）试确定点G的位置；
（2）求夹角的余弦值.
【解析】（1）由题意，平面平面，
平面平面，平面
平面，又平面


以C为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，不妨设



故G是的中点.
（2）
，又