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数学7.3组合精品当堂检测题
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这是一份数学7.3组合精品当堂检测题，文件包含73组合八大题型解析版docx、73组合八大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
7．3组合
【题型归纳目录】
题型一：组合概念的理解
题型二：简单的组合问题
题型三：组合数公式的应用
题型四：多面手问题
题型五：分组、分配问题
题型六：与几何有关的组合应用题
题型七：隔板法
题型八：分堆问题
【知识点梳理】
知识点一：组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．
知识点二：组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
知识点三：组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
知识点四、组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”：
【典型例题】
题型一：组合概念的理解
例1．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；
(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？
(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
【解析】(1)因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题．
(2)因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题．
(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题．
(4)因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题．
(5)因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题．
【方法技巧与总结】
排列、组合辨析切入点
（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．
（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
例2．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为.
（2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为
（3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为
（4）组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为
（5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.
例3．（2022·全国·高二课时练习）给出下列问题：
（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
【解析】（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.
（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.
（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题.
（5）命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.
（6）命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.
题型二：简单的组合问题
例4．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为__________．
【答案】36
【解析】根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，所以有种.
故答案为：36
【方法技巧与总结】
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
例5．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
【解析】（1）所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种；
（2）所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种．
例6．（2022·全国·高二课时练习）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
【解析】解:(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.
当取红球个时，取法有种；
当取红球个和白球个时，.取法有种.
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.
(2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.
第一种，红球个和白球个，取法有种;
第二种，红球个和白球个，取法有种,
根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.
题型三：组合数公式的应用
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求正整数n的值；
（2）已知，求正整数n的值．
【解析】（1）由得，，又，
所以，解得，
所以正整数n为8．
（2）由，得，
整理得，
因为，所以，所以，，
整理得，解得或（舍去），即
【方法技巧与总结】
（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．
（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．
（3）计算时应注意利用组合数的两个性质：
①；②．
例8．（2023·高二课时练习）可能的值的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】为使有意义，首先需
解得，又，所以的可能取值为，
但时结果相同.
故选:C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
【答案】B
【解析】因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
变式1．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.
【答案】466
【解析】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案为：466
变式2．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）______．
【答案】30
【解析】，，所以，
故答案为：30
变式3．（2023·高三课时练习）已知，则_________.
【答案】2或3
【解析】，
，又，
所以或.
故答案为：2或3.
变式4．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）若，则的值为__________.
【答案】20
【解析】，
，即，
，
，
故答案为：20.
变式5．（2023·高二课时练习）计算：______．
【答案】16
【解析】
故答案为：16.
变式6．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知，则___________.
【答案】或
【解析】由组合数的性质可得，故或.
故答案为：或.
变式7．（2023·高二课时练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【解析】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因为，，
所以左边
右边．
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．
将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，
从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，
依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．
由加法原理知共有种取法．
所以．
变式8．（2023·高二课时练习）解下列方程或不等式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由题意可得：.
原方程可化为：，即，
所以，
所以，
解得：．
（2）由已知得解得，．
由，即，
所以，所以，解得或，
所以原不等式的解集为:．
题型四：多面手问题
例10．（2022·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
【方法技巧与总结】
有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
例11．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
【答案】92
【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、，
①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若和两人只去一人参加比赛，
(i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若和两人均去参加比赛，
(i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种，
综上所述，不同的选派方法共有种.
故答案为：92.
例12．（2022·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法．
题型五：分组、分配问题
例13．（2022·湖南·高二期中）某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（ ）
A．72 B．90 C．84 D．18
【答案】A
【解析】将6个班级平均分到附近的3个植树点植树共有：种分配方案，甲、乙两班在同一植树点共有：种分配方案，
∴甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数共有：90-18=72种分配方案．
故选：A．
【方法技巧与总结】
“分组”与“分配”问题的解法
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有 9 名采样工作人员全部分配到 3个采样点，每个采样点分配 3人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．280 B．1680 C．5040 D．10080
【答案】B
【解析】分配方法有种.
故选：
例15．（2023·全国·高二专题练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A
【解析】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
变式9．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（ ）
A．800 B．842 C．864 D．888
【答案】C
【解析】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，
（1）从四人中选一人连排三天夜班，
若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；
若形如□▲▲▲□排列：共有种；
若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；
因此，选一人连排三天夜班共有132种．
（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，
形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．
（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．
故满足题意的排夜班方式的种数为．
故选：C.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
【答案】D
【解析】由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故选:D.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．540
【答案】A
【解析】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为（种）
故选：A
变式12．（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【解析】由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李､小明之外的三人分为两组，有种分法，再将小李､小明分进两组，有种分法，
最后将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，所以共计有种.
故选：B
题型六：与几何有关的组合应用题
例16．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220 B．200 C．190 D．170
【答案】C
【解析】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
例17．（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【解析】（1）正方体顶点任取个点，共有种选法，其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，故三棱锥共有个.
（2）四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，每一种情况，剩余4个点对应4个四棱锥，故共有个.
（3）正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有个
例18．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面．
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
【解析】（1）3个点确定一个平面，且任意4点不共面，所以从10个点中任选3个点即可构成一个平面，因此所有的平面个数为（个）；
（2）任意4点不共面，所以从10个点中任选4个点即可构成一个四面体，因此所有的四面体个数为（个）；
变式13．（2022·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，
则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.
故选：D.
变式14．（2022·湖北·高三开学考试）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
【答案】D
【解析】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
变式15．（2022·全国·高三专题练习）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
【答案】A
【解析】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，
根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，
故选：A.
题型七：隔板法
例19．（2022·全国·高三专题练习）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【答案】C
【解析】由题设，多项式展开式各项形式为且，
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.
故选：C
例20．（2022·江苏·吴县中学高二期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B
【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有，
故选：B.
例21．（2022·全国·高三专题练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16 B．18 C．27 D．28
【答案】B
【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种.
故选：B
变式16．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解有（ ）
A．组 B．136组 C．190组 D．68组
【答案】C
【解析】根据题意，对于方程，
将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空，
从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，
即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值，
则有.
方程的非负整数解有190组.
故选：C
变式17．（2022·河北·辛集中学高二阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
题型八：分堆问题
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
故答案为：.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】（1）6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
变式18．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【解析】（1）先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.
（2）由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（ ）
A．680种 B．720种 C．744种 D．768种
【答案】C
【解析】当甲乙丙中有1人参加时：种顺序；
当甲乙丙中有2人参加时：种顺序；
当甲乙丙中有3人参加时：种顺序；
综上所述：共有种顺序.
故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
【答案】C
【解析】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
3．（2023·山东菏泽·统考一模）为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（ ）
A．9种 B．11种 C．15种 D．30种
【答案】C
【解析】若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，
然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有种分工方法；
若丙不是美工，则丙一定是总负责人，
此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法；
综上，共有种分工方法，
故选：C．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（ ）
A．132种 B．112种 C．96种 D．84种
【答案】C
【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有种不同的安排方法，后续项目分两类：
①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有种不同的安排方法；
②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法.
（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法，
所以，一共有种不同的安排方法.
故选：C.
5．（2023秋·广西北海·高二统考期末）2022年11月11日下午，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》二十条．后疫情时代，北海市某中学为了广大师生能够更好地掌握关于新冠疫情防控注意事项，准备组织一次主题宣讲活动．特从某医院的3名医生和4名护士中，选出3人参加“新冠疫情防疫宣讲”主题活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．25 C．31 D．34
【答案】C
【解析】根据题意，从3名医生和4名护士中，选出3人，有种选法．
若入选的3人没有医生，即全部为护士的选法有种，
则有种不同的选取方案．
故选：C.
6．（2023·全国·模拟预测）某大学生在刚开学时制订了一个季度的读书计划：从4本不同的哲学书和6本不同的心理学书中选4本阅读，且至少要选1本哲学书和1本心理学书.则该大学生这个季度不同的选书方法有（ ）
A．672种 B．210种 C．194种 D．336种
【答案】C
【解析】由题意，
选书的方法可以分三类：
①1本哲学书和3本心理学书；
②2本哲学书和2本心理学书；
③3本哲学书和1本心理学书.
于是该大学生这个季度不同的选书方法有：
，
∴有194种不同的方法。
故选：C.
7．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．容融同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国朋友，则这3个节气中含有“立春”的选法种数为（ ）
A．2024 B．1771 C．276 D．253
【答案】D
【解析】3个节气中含有“立春”，则从剩下的23个里面选2个即可，
则选法种数为.
故选：D.
8．（2023·四川南充·校考模拟预测）某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等首歌曲中任意选首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】依题意可知，甲、乙需要从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，
甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有种
故选：C.
二、多选题
9．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【解析】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
10．（2023春·江西·高二校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法.
【答案】BD
【解析】对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少1本的方法数为 种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；
故选：BD.
11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（ ）
A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法
B．九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法
C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法
D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同的分法
【答案】ABC
【解析】对于A，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有种不同的分法，故A正确；
对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有种不同的分法，故B正确；
对于C，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有种不同的分法，故C正确；
对于D，可以分11类情况：
①“1，2，6型”有；②“1，3，5型”；
③“1，4，4型”；④“1，7，1型”；⑤“1，8，0型”；
⑥“2，2，5型”；⑦“2，3，4型”；⑧“2，7，0型”；
⑨“3，3，3型”；⑩“3，6，0型”；
⑪“4，5，0型”，
所以有种不同的分法，故D错误．
故选：ABC．
12．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
13．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
【答案】AD
【解析】对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，
有种安排方法，故A正确；
对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，
若实验室安排2人，则有种安排方法，
所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；
对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，
则有种安排方法，故C错误；
对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.
故选：AD.
14．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从到达处的走法种数为20
B．甲从必须经过到达处的走法种数为9
C．甲乙两人能在处相遇的走法种数36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162
【答案】AB
【解析】A：从到达只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为种，正确；
B：从到的走法有，再到达的走法有，共有种，正确；
C：由上，甲经过的走法有9种，同理乙经过的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误；
D：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点，，，中的一个，而在、相遇各有1种走法，在，相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有种，错误.
故选：AB
三、填空题
15．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知集合，集合，则以集合为定义城，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】分以下两种情况讨论：
①将集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为；
②将集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为.
由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高二专题练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的方案为____________种．
【答案】3
【解析】甲、乙都入选，则要从剩余的3名同学中选出1名同学，故方案数有种.
故答案为：3
17．（2023·全国·高二专题练习）从3名骨科､4名脑外科和5名内科医生中选派4人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科､脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________（作数字作答）
【答案】270
【解析】第一类:有2名骨科医生，1名脑外科医生，1名内科医生，
则不同的选派方案为种;
第二类:有1名骨科医生，2名脑外科医生，1名内科医生，
则不同的选派方案为种;
第三类:有1名骨科医生，1名脑外科医生，2名内科医生，
则不同的选派方案为;
由分类计数原理得，不同的选派方案种数是60+90+120=270.
故答案为:270.
18．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.
【答案】280
【解析】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.
满足条件的分组方法种数为.
故答案为：280.
19．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）党的二十大报告指出，建设教育强国是民族复兴的伟大基础工程.某师范院校为了支持乡村教育振兴计划，拟委派10名大学生到偏远山区支教，其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5个乡村小学，每校2人，则不同的研究生分配情况有______种（用数字作答）.
【答案】120
【解析】如果其中2个研究生分配到相同的学校则有种；
如果3个研究生分配到不同的的学校则有种；
所以不同的研究生分配情况有(种).
故答案为：120.
20．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）2022年12月某机构关于中国新国货品牌“金榜题名”颁奖典礼准备以线上直播的形式举办，并邀请榜单中的五家企业发言，则在之前发言（不一定相邻，下同），且在之后发言的方法种数为__________.（用数字作答）
【答案】20
【解析】第一步：从5个位置中选3个排A、B、C，有种排法，
第二步：剩下的2个位置排D、E，有种排法，
根据分步乘法原理，总共有种发言的方法.
故答案为：20.
21．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种摆放方法．
【答案】36
【解析】记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．
故答案为：36.
22．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．
【答案】20
【解析】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，
则有种方案.
故答案为：20.
7．3组合
【题型归纳目录】
题型一：组合概念的理解
题型二：简单的组合问题
题型三：组合数公式的应用
题型四：多面手问题
题型五：分组、分配问题
题型六：与几何有关的组合应用题
题型七：隔板法
题型八：分堆问题
【知识点梳理】
知识点一：组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．
知识点二：组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
知识点三：组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
知识点四、组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”：
【典型例题】
题型一：组合概念的理解
例1．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；
(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？
(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
【解析】(1)因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题．
(2)因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题．
(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题．
(4)因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题．
(5)因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题．
【方法技巧与总结】
排列、组合辨析切入点
（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．
（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
例2．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为.
（2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为
（3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为
（4）组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为
（5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.
例3．（2022·全国·高二课时练习）给出下列问题：
（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
【解析】（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.
（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.
（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题.
（5）命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.
（6）命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.
题型二：简单的组合问题
例4．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为__________．
【答案】36
【解析】根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，所以有种.
故答案为：36
【方法技巧与总结】
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
例5．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
【解析】（1）所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种；
（2）所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种．
例6．（2022·全国·高二课时练习）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
【解析】解:(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.
当取红球个时，取法有种；
当取红球个和白球个时，.取法有种.
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.
(2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.
第一种，红球个和白球个，取法有种;
第二种，红球个和白球个，取法有种,
根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.
题型三：组合数公式的应用
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求正整数n的值；
（2）已知，求正整数n的值．
【解析】（1）由得，，又，
所以，解得，
所以正整数n为8．
（2）由，得，
整理得，
因为，所以，所以，，
整理得，解得或（舍去），即
【方法技巧与总结】
（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．
（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．
（3）计算时应注意利用组合数的两个性质：
①；②．
例8．（2023·高二课时练习）可能的值的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】为使有意义，首先需
解得，又，所以的可能取值为，
但时结果相同.
故选:C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
【答案】B
【解析】因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
变式1．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.
【答案】466
【解析】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案为：466
变式2．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）______．
【答案】30
【解析】，，所以，
故答案为：30
变式3．（2023·高三课时练习）已知，则_________.
【答案】2或3
【解析】，
，又，
所以或.
故答案为：2或3.
变式4．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）若，则的值为__________.
【答案】20
【解析】，
，即，
，
，
故答案为：20.
变式5．（2023·高二课时练习）计算：______．
【答案】16
【解析】
故答案为：16.
变式6．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知，则___________.
【答案】或
【解析】由组合数的性质可得，故或.
故答案为：或.
变式7．（2023·高二课时练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【解析】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因为，，
所以左边
右边．
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．
将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，
从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，
依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．
由加法原理知共有种取法．
所以．
变式8．（2023·高二课时练习）解下列方程或不等式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由题意可得：.
原方程可化为：，即，
所以，
所以，
解得：．
（2）由已知得解得，．
由，即，
所以，所以，解得或，
所以原不等式的解集为:．
题型四：多面手问题
例10．（2022·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
【方法技巧与总结】
有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
例11．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
【答案】92
【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、，
①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若和两人只去一人参加比赛，
(i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若和两人均去参加比赛，
(i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种，
综上所述，不同的选派方法共有种.
故答案为：92.
例12．（2022·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法．
题型五：分组、分配问题
例13．（2022·湖南·高二期中）某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（ ）
A．72 B．90 C．84 D．18
【答案】A
【解析】将6个班级平均分到附近的3个植树点植树共有：种分配方案，甲、乙两班在同一植树点共有：种分配方案，
∴甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数共有：90-18=72种分配方案．
故选：A．
【方法技巧与总结】
“分组”与“分配”问题的解法
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有 9 名采样工作人员全部分配到 3个采样点，每个采样点分配 3人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．280 B．1680 C．5040 D．10080
【答案】B
【解析】分配方法有种.
故选：
例15．（2023·全国·高二专题练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A
【解析】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
变式9．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（ ）
A．800 B．842 C．864 D．888
【答案】C
【解析】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，
（1）从四人中选一人连排三天夜班，
若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；
若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；
若形如□▲▲▲□排列：共有种；
若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；
因此，选一人连排三天夜班共有132种．
（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，
形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．
（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．
故满足题意的排夜班方式的种数为．
故选：C.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
【答案】D
【解析】由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故选:D.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．540
【答案】A
【解析】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为（种）
故选：A
变式12．（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【解析】由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李､小明之外的三人分为两组，有种分法，再将小李､小明分进两组，有种分法，
最后将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，所以共计有种.
故选：B
题型六：与几何有关的组合应用题
例16．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220 B．200 C．190 D．170
【答案】C
【解析】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
例17．（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【解析】（1）正方体顶点任取个点，共有种选法，其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，故三棱锥共有个.
（2）四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，每一种情况，剩余4个点对应4个四棱锥，故共有个.
（3）正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有个
例18．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面．
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
【解析】（1）3个点确定一个平面，且任意4点不共面，所以从10个点中任选3个点即可构成一个平面，因此所有的平面个数为（个）；
（2）任意4点不共面，所以从10个点中任选4个点即可构成一个四面体，因此所有的四面体个数为（个）；
变式13．（2022·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，
则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.
故选：D.
变式14．（2022·湖北·高三开学考试）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
【答案】D
【解析】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
变式15．（2022·全国·高三专题练习）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
【答案】A
【解析】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，
根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，
故选：A.
题型七：隔板法
例19．（2022·全国·高三专题练习）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【答案】C
【解析】由题设，多项式展开式各项形式为且，
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.
故选：C
例20．（2022·江苏·吴县中学高二期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B
【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有，
故选：B.
例21．（2022·全国·高三专题练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16 B．18 C．27 D．28
【答案】B
【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种.
故选：B
变式16．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解有（ ）
A．组 B．136组 C．190组 D．68组
【答案】C
【解析】根据题意，对于方程，
将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空，
从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，
即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值，
则有.
方程的非负整数解有190组.
故选：C
变式17．（2022·河北·辛集中学高二阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
题型八：分堆问题
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
故答案为：.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】（1）6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
变式18．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【解析】（1）先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.
（2）由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（ ）
A．680种 B．720种 C．744种 D．768种
【答案】C
【解析】当甲乙丙中有1人参加时：种顺序；
当甲乙丙中有2人参加时：种顺序；
当甲乙丙中有3人参加时：种顺序；
综上所述：共有种顺序.
故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
【答案】C
【解析】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
3．（2023·山东菏泽·统考一模）为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（ ）
A．9种 B．11种 C．15种 D．30种
【答案】C
【解析】若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，
然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有种分工方法；
若丙不是美工，则丙一定是总负责人，
此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法；
综上，共有种分工方法，
故选：C．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（ ）
A．132种 B．112种 C．96种 D．84种
【答案】C
【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有种不同的安排方法，后续项目分两类：
①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有种不同的安排方法；
②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法.
（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法，
所以，一共有种不同的安排方法.
故选：C.
5．（2023秋·广西北海·高二统考期末）2022年11月11日下午，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》二十条．后疫情时代，北海市某中学为了广大师生能够更好地掌握关于新冠疫情防控注意事项，准备组织一次主题宣讲活动．特从某医院的3名医生和4名护士中，选出3人参加“新冠疫情防疫宣讲”主题活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．25 C．31 D．34
【答案】C
【解析】根据题意，从3名医生和4名护士中，选出3人，有种选法．
若入选的3人没有医生，即全部为护士的选法有种，
则有种不同的选取方案．
故选：C.
6．（2023·全国·模拟预测）某大学生在刚开学时制订了一个季度的读书计划：从4本不同的哲学书和6本不同的心理学书中选4本阅读，且至少要选1本哲学书和1本心理学书.则该大学生这个季度不同的选书方法有（ ）
A．672种 B．210种 C．194种 D．336种
【答案】C
【解析】由题意，
选书的方法可以分三类：
①1本哲学书和3本心理学书；
②2本哲学书和2本心理学书；
③3本哲学书和1本心理学书.
于是该大学生这个季度不同的选书方法有：
，
∴有194种不同的方法。
故选：C.
7．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．容融同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国朋友，则这3个节气中含有“立春”的选法种数为（ ）
A．2024 B．1771 C．276 D．253
【答案】D
【解析】3个节气中含有“立春”，则从剩下的23个里面选2个即可，
则选法种数为.
故选：D.
8．（2023·四川南充·校考模拟预测）某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等首歌曲中任意选首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】依题意可知，甲、乙需要从剩余5首歌曲中选两个，丙是从剩余4首歌曲中选1个，
甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有种
故选：C.
二、多选题
9．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【解析】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
10．（2023春·江西·高二校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法.
【答案】BD
【解析】对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少1本的方法数为 种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；
故选：BD.
11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（ ）
A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法
B．九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法
C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法
D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同的分法
【答案】ABC
【解析】对于A，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有种不同的分法，故A正确；
对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有种不同的分法，故B正确；
对于C，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有种不同的分法，故C正确；
对于D，可以分11类情况：
①“1，2，6型”有；②“1，3，5型”；
③“1，4，4型”；④“1，7，1型”；⑤“1，8，0型”；
⑥“2，2，5型”；⑦“2，3，4型”；⑧“2，7，0型”；
⑨“3，3，3型”；⑩“3，6，0型”；
⑪“4，5，0型”，
所以有种不同的分法，故D错误．
故选：ABC．
12．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
13．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
【答案】AD
【解析】对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，
有种安排方法，故A正确；
对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，
若实验室安排2人，则有种安排方法，
所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；
对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，
则有种安排方法，故C错误；
对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.
故选：AD.
14．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从到达处的走法种数为20
B．甲从必须经过到达处的走法种数为9
C．甲乙两人能在处相遇的走法种数36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162
【答案】AB
【解析】A：从到达只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为种，正确；
B：从到的走法有，再到达的走法有，共有种，正确；
C：由上，甲经过的走法有9种，同理乙经过的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误；
D：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点，，，中的一个，而在、相遇各有1种走法，在，相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有种，错误.
故选：AB
三、填空题
15．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知集合，集合，则以集合为定义城，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】分以下两种情况讨论：
①将集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为；
②将集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为.
由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高二专题练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的方案为____________种．
【答案】3
【解析】甲、乙都入选，则要从剩余的3名同学中选出1名同学，故方案数有种.
故答案为：3
17．（2023·全国·高二专题练习）从3名骨科､4名脑外科和5名内科医生中选派4人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科､脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________（作数字作答）
【答案】270
【解析】第一类:有2名骨科医生，1名脑外科医生，1名内科医生，
则不同的选派方案为种;
第二类:有1名骨科医生，2名脑外科医生，1名内科医生，
则不同的选派方案为种;
第三类:有1名骨科医生，1名脑外科医生，2名内科医生，
则不同的选派方案为;
由分类计数原理得，不同的选派方案种数是60+90+120=270.
故答案为:270.
18．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.
【答案】280
【解析】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.
满足条件的分组方法种数为.
故答案为：280.
19．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）党的二十大报告指出，建设教育强国是民族复兴的伟大基础工程.某师范院校为了支持乡村教育振兴计划，拟委派10名大学生到偏远山区支教，其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5个乡村小学，每校2人，则不同的研究生分配情况有______种（用数字作答）.
【答案】120
【解析】如果其中2个研究生分配到相同的学校则有种；
如果3个研究生分配到不同的的学校则有种；
所以不同的研究生分配情况有(种).
故答案为：120.
20．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）2022年12月某机构关于中国新国货品牌“金榜题名”颁奖典礼准备以线上直播的形式举办，并邀请榜单中的五家企业发言，则在之前发言（不一定相邻，下同），且在之后发言的方法种数为__________.（用数字作答）
【答案】20
【解析】第一步：从5个位置中选3个排A、B、C，有种排法，
第二步：剩下的2个位置排D、E，有种排法，
根据分步乘法原理，总共有种发言的方法.
故答案为：20.
21．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种摆放方法．
【答案】36
【解析】记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．
故答案为：36.
22．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．
【答案】20
【解析】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，
则有种方案.
故答案为：20.
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