苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理优秀随堂练习题

7．4 二项式定理

【题型归纳目录】

题型一：二项式定理的正用、逆用

题型二：二项展开式的通项的应用

题型三：求两个多项式积的特定项

题型四：余数和整除的问题

题型五：近似计算

题型六：二项展开式的系数和问题

题型七：二项式系数性质的应用

题型八：三项式及多项式展开问题

【知识点梳理】

知识点一：二项式定理

1、定义

一般地，对于任意正整数，都有：

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数

2、二项式的展开式的特点：

（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；

（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；

知识点二、二项展开式的通顶公式

二项展开式的通项：

公式特点：

（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

（2）字母的次数和组合数的上标相同；

知识点三：二顶式系数及其性质

1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；

②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．

（3）各二项式系数之和为，即；

（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．

知识点诠释：

二项式系数与展开式的系数的区别

二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．

2、展开式中的系数求法的整数且

知识点诠释：

三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．

知识点四：二项式定理的应用

1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．

2、利用赋值法进行求有关系数和．

3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：

4、证明有关的不等式问题：

5、进行近似计算：

【典型例题】

题型一：二项式定理的正用、逆用

例1．（2022·全国·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：

（1）；

（2）．

【方法技巧与总结】

（1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．

（2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

例2．（2022·全国·高二课时练习）化简：．

例3．（2022·全国·高二课时练习）求的展开式．

题型二：二项展开式的通项的应用

例4．（2022·浙江金华·高三阶段练习）二项式的展开式中常数项是_______．

【方法技巧与总结】

求二项展开式的特定项的常用方法

（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）．

（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．

（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

例5．（2022·全国·高二课时练习）（1）求展开式中的前4项；

（2）求展开式中的第8项；

（3）求展开式中的第7项．

例6．（2022·江苏·高二课时练习）已知在的展开式中，第项为常数项．

（1）求；

（2）求含项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

变式1．（2022·全国·高二单元测试）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：

（1）n的值；

（2）展开式中x5的系数；

（3）含x的整数次幂的项的个数．

变式2．（2022·全国·高二课时练习）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：

（1）实数的值；

（2）展开式中第7项的二项式系数和的系数；

（3）展开式中的所有有理项．

变式3．（2022·全国·高三专题练习）写出一个正整数n，使得的展开式中存在常数项，则n可以是___________．（写出一个即可）

题型三：求两个多项式积的特定项

例7．（2023·湖南·模拟预测）的展开式中含项的系数为____________.

【方法技巧与总结】

求多项式积的特定项的方法：“双通法”

所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况．

例8．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为______．（用数字作答）

例9．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和为8，则展开式中的系数为______.

变式4．（2023·云南红河·统考一模）的展开式中的系数为____________．（用数字作答）

变式5．（2023·浙江·校联考模拟预测）展开式中项的系数为________.

题型四：余数和整除的问题

例10．（2023·全国·高三专题练习）若，则被12整除的余数为______.

【方法技巧与总结】

利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

例11．（2023·高二课时练习）除以8的余数是______．

例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）写出一个可以使得被100整除的正整数______.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）若，则被4除得的余数为___________.

变式7．（2023·高三课时练习）若n是正整数，则除以9的余数是____________.

题型五：近似计算

例13．（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到个位的近似值为

A．106 B．107 C．108 D．109

【方法技巧与总结】

二项展开式解决．

例14．（2023·全国·高二专题练习）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ）

A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933

例15．（2023·全国·高二专题练习）已知为正整数，若，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

题型六：二项展开式的系数和问题

例16．（2022·全国·高三专题练习）设，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【方法技巧与总结】

二项展开式中系数和的求法

（1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可．

（2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为，

奇数项系数之和为，

偶数项系数之和为．

例17．（2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校高三期中（理）），则（    ）

A．1 B．3 C．0 D．

例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，设，则（    ）

A． B． C． D．

变式8．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若，则的值是（ 　 ）

A． B．127 C．128 D．129

变式9．（2022·全国·高三专题练习），则（　　）

A．16     B．27     C．43     D．70

变式10．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知．求：

（1）；

（2）；

（3）．

变式11．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和．

变式12．（2022·全国·高三专题练习）设，求下列各式的值．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

变式13．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若，则的值是（    ）

A．1 B．2 C． D．

变式14．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

变式15．（多选题）（2022·广东佛山·高三期中）设，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

题型七：二项式系数性质的应用

例19．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足．求：

（1）展开式中二项式系数最大项的项；

（2）展开式中系数最大的项；

（3）展开式中所有有理项．

【方法技巧与总结】

（1）二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论．

①当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

②当为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

（2）展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项．

例20．（2022·江苏·高二阶段练习）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79．

（1）求的值；

（2）若展开式中的常数项为，试问展开式中系数最大的项是第几项？

例21．（2022·全国·高二课时练习）已知的展开式中，二项式系数和为256．

（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；

（2）求展开式中系数最小的项．

变式16．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．

（1）求展开式中的一次项；

（2）求展开式中系数最大的项．

变式17．（2022·全国·高二课时练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项．

题型八：三项式及多项式展开问题

例22．（2023·全国·高三专题练习）若的展开式中的系数为35，则正数（    ）

A． B．2 C． D．4

【方法技巧与总结】

通项法

例23．（2023·全国·模拟预测）展开式的常数项为（    ）

A．1 B．15 C．60 D．76

例24．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知的展开式中的系数为，则实数（    ）

A． B． C． D．

变式18．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数为（    ）

A．60 B． C．120 D．

变式19．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（    ）

A．120 B．160 C．180 D．210

变式20．（2023·全国·高三专题练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（    ）

A． B． C．100 D．160

变式21．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）的展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．80 D．161

【同步练习】

一、单选题

1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（    ）

A．200 B．280 C． D．

2．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知，则（    ）

A．34 B．30 C． D．

3．（2023春·北京·高三校考阶段练习）在的展开式中，第四项为（    ）

A．160 B． C． D．

4．（2023·安徽宿州·统考一模）设，若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

5．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ）

A．5 B． C．10 D．

6．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中x2的系数为10，则n=（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）二项式的展开式所有项的系数和为243，则展开式中的常数项为（    ）

A．10 B．20 C．30 D．50

8．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）

A．60 B．15 C．120 D．30

二、多选题

9．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项为160

B．第3项二项式系数最大

C．所有项的二项式系数和为

D．所有项的系数和为

10．（2023秋·广西桂林·高二统考期末）在的展开式中，下列说法错误的是（    ）

A．常数项是20 B．第4项的二项式系数最大

C．第3项是 D．所有项的系数的和为0

11．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）

A．

B．的展开式中项的系数为56

C．奇数项的二项式系数和为128

D．的展开式中项的系数为56

12．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）若，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，则__________．

14．（2023·河南·校联考模拟预测）二项式的展开式中的系数为________．

15．（2023·全国·模拟预测）已知，写出满足条件①②的一个n的值______．

①，；②，，1，2，…，n．

16．（2023·山东临沂·统考一模）的展开式中常数项为_______．

四、解答题

17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在二项式的展开式中，

(1)若，求展开式中的有理项；

(2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求：

①二项展开式中的各项的二项式系数之和；

②二项展开式中的各项的系数之和．

18．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知展开式的二项式系数和为128，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

19．（2023春·江西·高二校联考开学考试）已知展开式中前三项二项式系数之和为46.

(1)求的值.

(2)请求出展开式的常数项.

20．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）已知，其中，且的系数是．

(1)求a的值；

(2)计算：（i）；

（ⅱ）

（以上结果可保留幂的形式）

21．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在问题中，并对其求解.

条件1：展开式第二项与第六项的二项式系数相等；

条件2：所有项的系数和为4096.

问题：在的展开式中，______.

(1).求n的值及二项式系数最大的项；

(2).若，求.

22．（2023·高二单元测试）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；

条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；

条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项；

(3)展开式中所有项的系数之和．