第8章 概率单元综合能力测试卷-高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版选择性必修第二册）

第8章 概率单元综合能力测试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（    ）

A．3,1 B．11,1 C． D．

【答案】B

【解析】由原样本数据集中，而新数据集为，

所以新数据集中，.

故选：B

2．为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ）

附：若，则，．

A．该校学生体育成绩的方差为10

B．该校学生体育成绩的期望为85

C．该校学生体育成绩的及格率小于85%

D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%

【答案】C

【解析】因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确；

因为60分及以上为及格，

所以，C正确；

因为90分及以上为优秀，所以，D不正确.

故选：C.

3．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知事件A发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为,

事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，

故,

故选：D

4．已知随机变量的分布列如表，若，则（    ）

A． B．4 C．6 D．12

【答案】C

【解析】由分布列的性质可得：，解得，

∵，解得.

故选：C.

5．已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示：

其中，若，且，则（    ）A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】A

【解析】因为，所以；，因为，所以，.

故选：A.

6．设随机变量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】随机变量，∴， 解得，

∴ ，则.

故选：D．

7．下列说法正确的是（    ）

A． B．是可能的

C． D．

【答案】B

【解析】由，当，则，A错误；

当A或B为不可能事件时，，C错误；

B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确；

D：由，故错误.

故选：B

8．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设“向右下落”， “向左下落”，则，

因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，

而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，

对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确；

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（    ）．

A．事件A与事件C是独立事件 B．事件A与事件B是互斥事件

C． D．

【答案】BD

【解析】根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，则A发生C必定不能发生，

∴,故A、C不为独立事件，为互斥事件，即A错误；

∴，即C错误；

若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A、B为互斥事件，即B正确；

则，若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，则，即D正确.

故选：BD

10．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．若事件，满足，，则

B．设随机变量服从正态分布，若，则

C．若事件，满足，，，则与独立

D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5

【答案】AC

【解析】对于A：因为，∴，故A正确．

对于B：因为，，则，，故B错误．

对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确．

对于D：男生成绩设为，∴，

，

∴．

女生成绩设为，∴，

，

∴．

所以，

则，故D错误．

故选：AC

11．新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（    ）

A．每100人必有1人患有新冠

B．若，则事件与事件相互独立

C．若，某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999

D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001

【答案】BD

【解析】因为表示每100人大约有1人患有新冠，故选项A错误；

因为，所以，又因为，

由条件概率的计算公式可得：，

若，则，

因为，所以事件与事件相互独立，

则事件与事件相互独立，故选项B正确；

由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率，

故选项C错误；

某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，因为，

所以，故选项D正确，

故选：BD

12．国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组3人.第一关每小组的3个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问题，若第二关该小组回答问题过关，可获得500元奖励.已知甲､乙､丙3人为一组，甲､乙､丙各自过第一关的概率分别为，若该小组第一关仅1人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有2人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有3人过关，该小组过第二关的概率为，则（    ）

A．甲､乙､丙3人至少有1人在第一关过关的概率为

B．若甲､乙､丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为

C．设甲､乙､丙这一组进入第二关的人数为，则

D．甲､乙､丙这一组获得500元奖励的概率为

【答案】BCD

【解析】设“甲､乙､丙3人至少有1人在第一关过关”，则，故A错误；

设“甲在第一关过关”，则，则，所以若甲､乙､丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为，B正确；

设“甲､乙､丙3人有人进入第二关”，其中，

则

，所以，C正确；

设“甲､乙､丙这一组获得500元奖励”，

，D正确.

故选：BCD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______．

【答案】

【解析】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，

所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，

而，，故.

故答案为：

14．设某车间的A类零件的厚度L（单位：）服从正态分布，且．若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于的个数的方差为______．

【答案】16

【解析】依题意，得，

若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于14mm的个数服从，

所以.

故答案为：16.

15．某工厂从其所生产的某种配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且X落在区间内的配件个数为1359，则可估计所抽取的这批配件共有______万个．附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】1

【解析】因为X服从正态分布，所以，，

则

．

因为X在区间内的个数为1359，故可估计所抽取的这批配件共有1万个．

故答案为：1

16．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．

【答案】

【解析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,

，，，

设任取一件产品，取到的是次品为事件，则

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球.

(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求分布列；

(2)求从乙盒取出1个红球的概率.

【解析】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，

所以

分布列如下：

所以.

（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，

此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为；

(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，

此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；

(iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，

此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；

所以从乙盒取出1个红球的概率为.

18．（12分）

2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．

(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；

(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・

【解析】（1）甲队进入决赛的概率为，

乙队进入决赛的概率为，

丙队进入决赛的概率为，因为，

所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大；

（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，

解得，或，因为，所以；

（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，

的可能取值为、、、，

，

，，

，

所以的分布列为：

19．（12分）

抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望．

【解析】（1）设事件A为第1次取出的是一次性筷子，事件B为第2次取出的是非一次性筷子，

则．

其中，，

所以．

（2）记取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）为X，则，

，

，

，

X的分布列为

X的数学期望．

20．（12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布；

(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由.

【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，

10，11的概率分别为，

从而，

，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

（2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，

当时，

当时，

因为，

可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，

故应选．

21．（12分）

为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：

①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；

②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；

③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．

假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．

(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．

【解析】（1）（每次扑出点球）．

的所有可能取值为0，1，2，3，4．∴．

．

．

．

．

∴的分布列

∴．

（2）若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为，，，，．分别记前3轮比分为，，，，且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为A，B，C，D，E．

．

．

．

．

．

故（甲队恰在第4轮取得胜利）．

∴甲队恰在第4轮取得胜利的概率为．

22．（12分）

年月日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源．从全市中小学生中随机抽取了名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者．

(1)统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；

(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取名，设这名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望．

【解析】（1）由题意得：，，，，，

，，

.

（2），，则，

可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.