【新高考】第27天——《中档解答题计划》——模拟训练（四）

《2023年高考最后三十天训练计划》第二十七天

《中档解答题计划》——模拟训练（四）

（概率统计—解三角形—立体几何—极坐标参数方程—不等式选讲）

一、基本量计算、是否存在性探索

1.已知等差数列的首项为1，公差，其前项和满足．

（1）求公差；

（2）是否存在正整数，使得．

二、频率分布直方图、分布列、期望

2．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）写出的值；

（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．

三、边角混合式给出条件、锐角三角形、面积最值问题

3．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求证：；

（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．

四、棱柱载体，线线垂直证明、逆向求二面角【结构不良问题】

4．如图在三棱柱中，为的中点，，．

（1）证明：；

（2）若，且满足：_____，（待选条件）．

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值．

①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；

③二面角的大小为；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

《2023年高考最后三十天训练计划》第二十七天

《中档解答题计划》——模拟训练（四）

（概率统计—解三角形—立体几何—极坐标参数方程—不等式选讲）

1.已知等差数列的首项为1，公差，其前项和满足．

（1）求公差；

（2）是否存在正整数，使得．

【解析】：（1）根据题意，等差数列的首项为1，前项和满足，

则有，解可得或，

又由，则；

（2）根据题意，假设存在正整数，使得，

由（1）的结论，，，则，

则有，变形可得，

存在，或，或，时符合题意．

2．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）写出的值；

（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．

【解析】：（1）由频率直方图的性质，，

，

（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，

初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为，

所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有人，

同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为，

学生人数约为人，

所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有，

（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，样本人数为人，

同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，

故的可能取值为：1，2，3，

，，，

的分布列为：

．

3．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求证：；

（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．

【解答】证明：（1），

由正弦定理可得，，

，

，

，

，

为锐角三角形，

，，

，

在，上单调递增，

，即；

（2）解：，

在中，，

由正弦定理可得，，

，

，

为锐角三角形，

，解得，

，

面积的取值范围为．

4．如图在三棱柱中，为的中点，，．

（1）证明：；

（2）若，且满足：_____，（待选条件）．

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值．

①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；

③二面角的大小为；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【解答】（1）证明：在三棱柱中，，，，

△△，，

又为的中点，，

在中，，，，

，、平面，

平面，

又平面，．

（2）解：由（1）知，，

，，、平面，

平面，

选择①③：平面，，，

为二面角的平面角，即，

为等边三角形，即，，

，

又三棱柱的体积为，，即，

取的中点，连接，，过作于点，连接，

平面，平面，为二面角的平面角，

在中，，，

，，，

由于二面角的平面角与二面角的平面角互补，

故二面角的正弦值为．

选择①②：过点作于点，

平面平面，平面平面，

平面，

故直线与平面所成角为，即，

设，，则，即，，

下面的解题步骤与选择①③相同．

选择②③：平面，，，

为二面角的平面角，即，

为等边三角形，即，

过点作于点，则，

又平面平面，平面平面，

平面，

故直线与平面所成角为，即，

设，则，即，

下面的解题步骤与选择①③相同．