2023年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考二模数学试题

2023年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（　　）

A． B．2 C． D．

2．下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (      )．

A． B． C． D．

4．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（     ）

A． B． C． D．

5．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ）

A．7 B．5 C． D．6

6．如果将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）

A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝x2+1 D．y＝（x+1）2﹣1

7．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（    ）

A．500sinα米 B．米 C．500cosα米 D．米

8．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中3个红球、6个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（  ）

A． B．

C． D．

10．如图，中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，，，那么下列各式正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．将用科学记数法表示为______．

12．在函数中，自变量x的取值范围是______．

13．计算2的结果为____．

14．把多项式2x3﹣8x分解因式的结果是_____．

15．不等式组的解集为____________．

16．二次函数的最大值是______．

17．一个扇形的面积是，扇形的半径是，则此扇形的圆心角是______°．

18．如图，切于点A，过点O且交于点B、C，若，，则的正切值为______．

19．是等腰直角三角形，若，则斜边上的高为______．

20．如图，在矩形中，E是中点，G是上一点，且，于点F，若，，则折痕的长为______．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．

22．图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：

(1)在图1中以为边作面积为8的等腰三角形（点C在小正方形的顶点上）；

(2)在图2中以为边作平行四边形（点D、E在小正方形的顶点上），且，并直接写出平行四边形的面积．

23．为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)求本次抽样的学生人数是多少；

(2)通过计算将条形统计图补充完整；

(3)该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？

24．如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且BF＝CE．

（1）求证：AE＝AF；

（2）如图2，连接AD交EF于M，连接BM、CM，若∠BAC＝60°，△ABD的面积为4，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为1的三角形．

25．某校准备买一批文具盒发放给优秀学生，购买时发现，该文具盒可以打九折，如果用360元购买该文具盒，打折后购买的数量比打折前多10个．

(1)求打折前每个文具盒的售价是多少元？

(2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买文具盒与笔记本共90件，笔记本每本原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不超过360元，则至少要买文具盒多少个？

26．如图，四边形内接于，点D为弧的中点．

(1)求证：；

(2)若为的直径，连接并延长交于点E，过点D、E作的垂线、垂足分别为点F、G，求证：；

(3)在（2）的条件下，与交于点H，若，，求的长．

27．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，．

(1)如图1，求直线的解析式；

(2)如图1，点为上一点，轴，且，连接，设点的纵坐标为，的面积为，求与的函数解析式；

(3)如图2，在（2）的条件下，连接，连接并延长交于点，将线段沿翻折交直线于点，若，求点的坐标．

参考答案：

1．C

【分析】根据倒数的定义求解即可．

【详解】解：的倒数是．

故选C．

【点睛】本题考查求一个数的倒数．掌握两个数乘积是1的数互为倒数是解题关键．

2．C

【分析】根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方，整式的减法，进行计算判断即可．

【详解】解：A中，错误，故不符合要求；

B中，错误，故不符合要求；

C中，正确，故符合要求；

D中，错误，故不符合要求；

故选：C．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方，整式的减法．解题的关键在于正确的运算．

3．A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．

【详解】解：A.是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，

B. 既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意，

C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意，

D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意，

故选A

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

4．D

【详解】试题分析：根据三视图中，从左边看得到的图形是左视图,因此从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选D

考点：简单组合体的三视图

5．D

【分析】直接将点代入反比例函数解析式计算k的值即可．

【详解】解：将点代入反比例函数得：，

解得，

故选D．

【点睛】本题考查反比例函数系数的求解，方法为函数图像上的点可代入解析式得到方程，正确的计算是解题的关键．

6．B

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．

【详解】抛物线的顶点坐标为，

向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为，

∴平移后的抛物线的解析式为．

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据规律利用点的变化确定函数解析式是解题的关键．

7．A

【详解】

，

.

故选A.

8．B

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】解：因为袋中共有9个球，红球有3个，

摸出的球是红球的概率为．

故选：B．

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．

9．B

【分析】利用该药品经过两次降价后的价格=原价×（1一降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：

100（1﹣x）2=81．

故选B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．D

【分析】根据平行线截线段成比例，相似三角形的判定和性质判断即可．

【详解】解：∵DE∥BC，

∴，故选项A不正确；

∵EF∥AB，

∴△FEC∽△BAC，

∴，

∴，故选项B不正确；

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠DAE=∠FEC，∠AED=∠C，四边形DEFB为平行四边形，

∴△ADE∽△EFC，DE=BF，BD=EF，

∴，故选项C不正确，选项D正确．

故选：D．

【点睛】此题考查了平行线截线段成比例，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握平行线截线段成比例，相似三角形的判定和性质．利用数形结合思想求解．

11．

【分析】根据科学记数法定义：将一个数写成叫做科学记数法，直接求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

，

故答案为：；

【点睛】本题考查科学记数法定义：将一个数写成叫做科学记数法．

12．

【分析】让分母不为0列式求值即可．

【详解】解：由题意得：，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查求函数自变量的取值；解题的关键是掌握分式有意义，分母不为0．

13．．

【分析】先将二次根式分母有理化、化为最简二次根式，再进行二次根式的加减法计算．

【详解】原式=2×+2=3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式分母有理化、二次根式加减混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

14．2x（x+2）（x﹣2）

【分析】先提取公因式2x，再运用平方差公式分解因式即可．

【详解】解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2），

故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．

【点睛】本题考查分解因式，能够熟练应用乘法公式进行分解因式是解决本题的关键．

15．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【详解】解：

由①得，，

由②得，

故此不等式组的解集为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．

【分析】利用二次函数的性质即可求出结果．

【详解】解：∵，

∴二次函数的图象开口向下，

∴当时，二次函数的最大值为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的最值，熟记对于二次函数，当时，，y有最小值h；当时，，y有最大值h．

17．

【分析】根据扇形面积公式即可求得这个扇形的圆心角的度数．

【详解】设这个扇形的圆心角为，

由题意得，

解得，，

故答案为：．

【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．

18．

【分析】利用切线得到直角三角形，再利用勾股定理求出半径，最后求出的正切值即可．

【详解】解：如图连接，

切于点，

，

在中，代入，，，

得，

解得，

，

故答案为．

【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数值，利用各项知识点得到可计算边长关系进行正确的计算是解题的关键．

19．4或/或4

【分析】分为腰或底两种情况，根据等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半求解即可．

【详解】解：当为腰时，底边的长为，则斜边上的高为；

当为底时，则斜边上的高为．

故答案为：4或

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理，正确掌握“等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半”是解答本题的关键．

20．

【分析】证明，推出，，再证明，推出，设，在和中，利用勾股定理求解即可．

【详解】解：连接，

∵矩形中，E是中点，，

∴，，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，，

∵，，，

∴，

∴，

设，则，，

在中，由勾股定理得，

解得，即，

在中，由勾股定理得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

21．． ．

【分析】分别化简代数式和x的值，代入计算．

【详解】原式=．

∵x=4sin45°﹣2cos60°=，

∴原式=．

22．(1)见解析

(2)见解析，12

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，画出图形，即可；

（2）根据题意，画出平行四边形，即可．

【详解】（1）解：如图，即为所求；

理由：根据题意得：，

∴是等腰三角形，

；

（2）解：平行四边形即为所求．

理由：根据题意得：，

取格点F，则，

∴，

．

【点睛】本题主要考查了锐角三家函数，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

23．(1)本次抽样的学生人数为人；

(2)；

(3)九年级大约共有名学生的数学成绩达到优秀；

【分析】（1）根据两种图形中差的数值及比例即可得到抽样人数；

（2）利用总人数减去优良差的即可得到中的，在图中补充即可得到答案；

（3）利用学校总人数乘以优秀的占比即可得到答案；

【详解】（1）解：由图像可得，

（人），

答：本次抽样的学生人数为人；

（2）解：由（1）得，

（人），

∴条形统计图补充如图所示，

；

（3）解：由样本估计总体：（人）

答：九年级大约共有200名学生的数学成绩达到优秀．

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图结合问题，解题的关键是根据共有量解出样本容量．

24．（1）证明见解析；（2）、、和．

【分析】（1）根据题意利用“HL”，易证，即得出．再次利用“HL”即可证明，即得出．

（2）根据（1）可证明．再根据，即推出是等边三角形．设，则．根据，即可求出．在中，，即得出，，最后利用三角形面积公式即可求出．由全等的性质可知．再由同底等高的三角形面积相等即可最后确定、、和面积相等．

【详解】解：（1）如图，连接AD．

∵，

∴．

∵点D是BC的中点，

∴．

∴在和中，，

∴，

∴，

∴在和中，，

∴，

∴．

（2）∵，

∴，即．

∵，

∴是等边三角形，三角形AEF为等边三角形；

∴∠AFE=∠ABC=60°

∴EF//BC

设，则，

∴，

∴．

∵在中，，

∴，，

∴．

∵，

∴．

又∵和、和同底等高，

∴、、和面积相等．

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

25．(1)

(2)至少购进文具盒70个

【分析】（1）设打折前每个文具盒售价x元，根据题意列出关于x的分式方程，进行求解即可；

（2）设要买文具盒a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可．

【详解】（1）解：设打折前每个文具盒售价x元，

，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，

答：打折前每个文具盒的售价是4元；

（2）解：设要买文具盒a个，

，

解得：，

答：至少购进文具盒70个．

【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，明确题意，列方程和不等式是解题的关键．

26．(1)见详解；

(2)见详解；

(3)；

【分析】（1）根据点D为弧的中点得到，结合圆内接四边形对角互补即可得到答案；

（2）根据直径得到，根据过点D、E作的垂线、垂足分别为点F、G得到，即可得到，即可得到证明；

（3）根据点D为弧的中点，得到，根据勾股定理列式求出半径，再证明，即可得到答案；

【详解】（1）证明：∵点D为弧的中点，

∴，

∴，

∵四边形内接于，

∴，

∴；

（2）证明：∵过点D、E作的垂线、垂足分别为点F、G，

∴，

∵连接并延长交于点E，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（3）解：∵点D为弧的中点，

∴，

∴，

解得：，

在与中，

，

∴，

∴，

∴；

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键件是根据圆的性质得到三角形全等的条件及求出半径．

27．(1)

(2)与的函数解析式

(3)

【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，，可求出的坐标，用待定系数法求解即可；

（2）用含的式子表示出，的长，点到的距离为，根据三角形的面积公式即可求解；

（3）根据折叠的性质，角的正切，三角形相似的判定和性质，一次函数的解析式，两点间的距离公式，计算求解．

【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，，

∴，，

∴，

解得，，

∴直线的解析式为．

（2）解：点为上一点，设点的纵坐标为，，

∴，则，

∵轴，且，

∴，点到的距离为，

∴．

∴与的函数解析式．

（3）过点C作于点Q，

∵，

∴， ，

∵点的纵坐标为，，

∴，，

∴，，

∴，

∵轴，且，

∴，点到的距离为，

∴，

设所在直线的解析式为，把点代入得，

，

∴所在直线的解析式为，

∵，，设所在直线的解析式为，

∴，

解得，，

∴所在直线的解析式为，

∵交于点，

∴，

解得，，

∴，

过点E作于点F，交于点N，

则，

∵轴，，

∴四边形是矩形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴，，

∵沿翻折交直线于点，设与交于点M，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴，

设的解析式是，

∴，

解得，

∴的解析式是，

∴，

解得，

∴．

【点睛】本题考查了一次函数的解析式和性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的综合运用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的综合运用是解题的关键．