河北省保定市第十三中学2022_2023学年八年级下学期期中数学试卷

河北省保定市第十三中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则下列不等式成立的是(    )

A． B． C． D．

3．下列命题的逆命题是真命题的是（    ）

A．对顶角相等 B．有两边相等的三角形是等腰三角形

C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等

4．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，首先应该假设这个三角形中（    ）

A．每个内角都大于 B．每个内角都小于

C．有一个内角大于 D．有一个内角小于

5．若能使不等式成立，则“”所代表的数可能是(    )

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段通过平移得到线段，点A与点相对应，若点的坐标为，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，分别平分，于点D，，的面积为36，则的周长为（    ）

A．48 B．36 C．24 D．12

8．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，当，，三点共线时，的值为(    )

A． B． C． D．

9．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数是（    ）

A． B． C． D．或

10．如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，连接，交于点，连接，若，则的度数是(    )

A． B． C． D．

11．若不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，直线与的交点的横坐标为，根据图象信息，下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．当时，

13．在方程组中，若未知数x，y满足，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

14．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以a的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．则下列说法错误的是（    ）

A．平分 B．点D在的垂直平分线上

C． D．若，则

15．春节期间，百货商场进行促销活动，某种商品的进价为100元，出售时标价140元，要保证利润不低于，则最多可打（    ）

A．七折 B．七五折 C．八折 D．八五折

16．如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．现有以下结论：

①；

②；

③平分；

④；

⑤．

其中正确的结论有(    )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

17．一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______．

18．如图，将绕点B顺时针旋转，使点C落在斜边上的点D处，连接，已知．

（1）旋转角______°．

（2）______°．

19．（1）已知，，则y的取值范围是______．

（2）已知，若，则x的取值范围是______；设，则a的取值范围是______．

三、解答题

20．已知是关于x的一元一次不等式．

(1)求m的值．

(2)求出原一元一次不等式的解集．

21．解不等式组并把解集表示在数轴上．

22．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，．

(1)请求出点的坐标．

(2)将沿轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积．

23．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．

(1)画出关于原点成中心对称的．

(2)画出绕点C逆时针旋转得到的．

(3)在x轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过元购买足球和篮球共个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价元，篮球单价元．

(1)学校至多可购买多少个足球？

(2)受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按(1)问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了元，求的值．

25．如图，在中，点在边的延长线上，，的平分线与外角的平分线交于点，过点作，垂足为．

(1)求的度数．

(2)若，，，且，求的面积．

26．(1)如图1，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，猜想，，之间的数量关系并说明理由．

(2)如图2，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)如图3，在等边中，为内的一点，，，将绕点逆时针旋转得，连接．若，求，的长．

参考答案：

1．D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

2．A

【分析】先将不等式两边都乘以，进而逐项判断即可求解．

【详解】解：∵

∴

∴

无法判断与的大小，

故选：A．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．B

【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可．

【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；

B、逆命题为：等腰三角形中有两边相等，是真命题，符合题意；

C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题意；

D、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的定义等等，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键．

4．A

【分析】找出必有一个内角小于或等于的反面即可．

【详解】解：必有一个内角小于或等于的反面为：每一个内角都大于．

故选：A．

【点睛】本题考查了反证法，准确找出命题的反面是解题关键．

5．D

【分析】设“”表示，则，得出，即可求解．

【详解】解：设“”表示，则

解得：

∵

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

6．B

【分析】先根据点A及其对应点的坐标得出线段平移的方向和距离，再根据点的坐标的平移规律求解即可．

【详解】解：由的对应点的坐标为，知线段向左平移4个单位，向上平移2个单位可得到线段，

∴点的对应点的坐标为，

故选：B．

【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

7．C

【分析】过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．

【详解】解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，

∵平分，，，

∴，

∵平分，，，

∴，

∴的面积的面积的面积的面积

，

∴，

即的周长为24．

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8．A

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，等边对等角得出，根据三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，即可求解．

【详解】解：∵在中，，，，

∴，则，

∵将绕点C顺时针旋转得到，

∴，，，

∵，

∴，

∵，，三点共线，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的形状，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

9．D

【分析】根据题意分类讨论，当顶角为钝角时，当顶角为锐角时，分别画出图形，根据等腰三角形的定义，以及直角三角形的两锐角互余即可求解．

【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，

∵，，

∴，

此时顶角的度数为．

②如图2，等腰三角形为钝角三角形，

∵，，

∴．

此时顶角的度数为，

故选：D．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．

10．B

【分析】根据已知，可得，根据是的中点，利用等腰三角形的三线合一得出，根据等腰三角形的形状以及三角形内角和定理，由，，求得，进而即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

11．D

【分析】先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有4个整数解，求出实数a的取值范围．

【详解】解：不等式组的解集为，

∵不等式组有且只有4个整数解，

∴这4个整数解为，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围，熟知确定不等式组解集的方法，根据题意确定好不等式组的整数解是解题关键，注意在确定a的取值范围时要注意界点的取舍．

12．C

【分析】根据一次函数的图象和性质可得；；根据两直线与y轴交点的情况，可判断C选项；直线与的交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方可判断D选项．

【详解】解：∵直线与y轴的交点在原点上方，∴，故选项A不符合题意；

∵直线过二、四象限，∴，故选项B不符合题意；

由图象可知，，∴，故C符合题意；

当时，直线在直线的上方，

∴，即，故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．

13．A

【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解．

【详解】解：，

①②，得，

∴，

又∵，

∴，

解得，

故选：A．

【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值．

14．D

【分析】由作图可得：平分，可判断A；证明，可判断B；按照角平分线的作法，得，可判断C；过D作于F，求得，，

求得可判断D，从而可得答案．

【详解】解：∵，，

∴，

由作图可得：平分，故选项A不符合题意；

∵，

∴，

∴D在的垂直平分线上，故选项B不符合题意；

按照角平分线的作法，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，

∴，故选项C不符合题意；

过D作于F，

∵，，

∴，

∵，

∴，，

，

∴．故选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

15．B

【分析】设该商品打x折销售，利用利润售价进价，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可得出该商品最多可打七五折．

【详解】解：设该商品打x折销售，

依题意得：，

解得：，

∴该商品最多可打七五折．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

16．C

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据同位角相等，两直线平行可得，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义，判断出①正确；

根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，判断出②正确；

根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义整理可得，判断出⑤正确；

根据三角形的外角性质与角平分线的定义表示出，然后整理得到 ，判断出④正确；再根据两直线平行，内错角相等可得，与不一定相等，所以与不一定相等，判断出③错误．

【详解】解：平分，

，

，，

，

，

，

平分，

，

，

，故①正确；

，

，

平分，，

，

，故②正确；

，

，

是的平分线，

，故⑤正确；

，故④正确；

平分，

，

， ，

与不一定相等，

与不一定相等，

故③错误．

综上所述，结论正确的是①②④⑤共4个．

故选：C．

【点睛】本题考查三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

17．17

【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．

【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm；

当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；

故三角形的周长是17cm．

故答案为：17．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要进行分类讨论．

18．         

【分析】根据将绕点B顺时针旋转，使点C落在斜边上的点D处，可得，，，即得，从而，据此即可求解．

【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转，使点C落在斜边上的点D处，

∴，，，

∴；

∴，

∴，

故答案为：，．

【点睛】本题考查直角三角形中的旋转变换，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．

19．              

【分析】（1）由，得，再得到，解之即可；

（2）推出，同（1）可求得x的取值范围；把代入求得，同（1）即可求解．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

故答案为：；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；．

【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．

（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可．

【详解】（1）解：根据题意，解得，，

所以．

（2）解：原一元一次不等式为，

移项得，

合并同类项得，

解得．

【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．

21．，数轴见解析

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

在数轴上表示表示不等式的解集如下，

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

22．(1)

(2)

【分析】（1）由题知，，，利用勾股定理计算的长，从而得出的坐标；

（2）设平移后的，将代入直线的表达式，可解出的值，从而可得平移的距离，再计算扫过的面积．

【详解】（1）解：，，

，，

，

，

．

（2）解：设，将代入，得，

解得，

，，

线段扫过的区域是以为底，为高的平行四边形，其面积为．

【点睛】本题考查了一次函数与几何的应用，利用平移的性质作图分析扫过的区域的形状是解决本题的关键．

23．(1)见解析

(2)见解析

(3)点P的坐标为．

【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可；

（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案；

（3）作出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可得出答案．

【详解】（1）解：如图，即为所求．

；

（2）解：如图所示；

（3）解：点P如图所示，点P的坐标为．

【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键．还本题考查了轴对称变换．

24．(1)学校至多可购买个足球

(2)的值为

【分析】（1）设学校购买个足球，则购买个篮球，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；

（2）根据购买足球节省的钱数购买篮球多花的钱数节余钱数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】（1）解：设学校购买个足球，则购买个篮球，

根据题意得：，

解得：．

答：学校至多可购买个足球．

（2）根据题意得：

解得：．

答：的值为．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出不等式与方程是解题的关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）过点作于点，作于点，得出是的角平分线，根据三角形的外角的性质可得，，进而得出，即可求解；

（2）过点作于点，作于点，由（1）可知：，根据，且，得出，根据即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作于点，

是的平分线，是的平分线，

∴，，

∴

∴是的角平分线，

∴

，

∵，

∴，即

∴

（2）解：如图，过点作于点，作于点，

由（1）可知：，

，且，则

．

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

26．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）

【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质可得出，利用勾股定理即可得，利用证明，即可得出结论；

（2）将绕点顺时针旋转，得到，证明，利用勾股定理证明即可；

（3）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形即可，先求出，再用勾股定理即可求出结论．

【详解】解：（1）猜想：；

理由：如图1，将绕点顺时针旋转得到，

，

，，，，

在中，，

，

，

即，

，

又，，

，

，

即

，

∵，

（），

，

；

（2）结论：．

理由：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，

，

，，，

，，

，

，

，，

，且，，

（）

，，

，

，

，

，

；

（3）如图3中，

将绕点逆时针旋转得，

，，

，，，

为等边三角形，

，

，

为等边三角形，

，

，，，

，

为等边三角形，

，

，

又，

，

，

在中，．

【点睛】本题查旋转的知识，全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，解题关键是正确添加辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题．