特训03 实数（题型归纳）-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

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特训03 实数（题型归纳）
目录：一、数的开方（规律题，无理数的估算，数的开方的应用）；二、实数与数轴；三、新定义下的实数运算。
一、 解答题
一、数的开方（规律题，无理数的估算，数的开方的应用）
1．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
2．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
(1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ；
(2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；
(3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”．
3．先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
4．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
5．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
6．阅读下列材料：
我们可以通过下列步骤估计的大小．
第一步：因为12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．
第二步：通过取1和2的平均数缩小所在的范围：取，
因为1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．
（1）请仿照第一步，通过运算，确定界于哪两个相邻的整数之间？
（2）在1＜＜1.5的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至m＜＜n，使得n－m=．
7．观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1   23=8   33=27   43=64   53=125    63=216    73=343   83=512   93=729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　 　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　 　，验证得19683的立方根是　 　
（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .
请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程．
8．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由,确定的立方根是 位数；
（2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出的立方根是 .
9．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
10．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．
11．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5

(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．
12．对于一个实数 m（m≥0），规定其整数部分为 a，小数部分为 b，如：当 m＝3 时，则 a＝3，b＝0；当 m＝4.5 时，则 a＝4，b＝0.5．
（1）当m=π时，b＝ ； 当 m＝ 时，a＝ ；
（2）当 m＝9 − 时，求 a－b 的值；
（3） 若 a－b＝，则 m＝ ．
二、实数与数轴
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；

（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）

14．【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系：　 　．

15．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”．例如：点，点，由，可得点与互为“距点”．
（1）在点，，中，原点的“距点”是_____(填字母)；
（2）已知点，点，过点作平行于轴的直线．
①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____；
②若直线上存在点的“点”，求的取值范围．
（3）已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围．

16．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．

（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？
（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）
三、新定义下的实数运算
17．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．
例如：，∵，∴1514是“和差数”．
又如：，∵，∴2526不是“和差数”．
(1)判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；
(2)一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，来出所有满足条作的M．
18．若一个四位数的个位数字与千位数字的和的五倍恰好是去掉个位与千位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和五倍数”．例如：，∵，，∴3201是“和五倍数”．又如：，∵，，∴4609不是“和五倍数”．
(1)判断1101，5351是否是“和五倍数”，并说明理由；
(2)一个“和五倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（、、、是整数且，，，），交换的千位数字和个位数字得到新的四位数，记，，当、均为整数时，求出所有满足条件的．
19．对于任意一个四位数，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字为奇数，N的千位上的数字与百位上的数字之差是十位上的数字与个位上的数字之差的3倍，则称这个四位数N为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的十位和千位构成的两位数记为，个位和百位构成的两位数记为，规定：．
例如：，因为，且各个数位上的数字互不相同，个位数字为奇数，故是一个“双减数”，则．
(1)判断是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出的值；
(2)若自然数M为“双减数”，是2的整数倍，且M各个数位上的数字之和能被14整除，求M的值．
20．若一个四位正整数若满足：或，且各个数位上的数字都不为0，我们就称该数是“九天数”，如对于四位数3567，，是“九天数”，对于四位数2353，，是“九天数”，对于四位数2345，∵且，不是“九天数”．
(1)判断2376，6425是不是“九天数”，并说明理由；
(2)若一个“九天数”满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，且这个“九天数”能被3整除．请求出所有满足条件的“九天数”．
21．对于一个各个数位均不为零的四位数M，若M的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M是“整除数”．
例如：M：9176：∵，∴9176是“整除数”．
又如：M：6726：∵，∴6726不是“整除数”
(1)判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；
(2)四位数（，，且a，b，c，d均为整数）是“整除数”，且，记，当为整数时，求出所有满足条件的M．
22．若整数a能被9整除，那么称整数a为“长久数”．例如，因为能被9整除，所以是“长久数”．
(1)判断和是否为“长久数”？请说明理由；
(2)已知三位正整数t的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为1(，其中x，y为自然数），交换其十位上的数字和百位上的数字得到新数，如果s加上t的和是“长久数”，求所有符合条件的三位正整数t．
23．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ______，______；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求的值．
24．若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点” ．例如．
(1)“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字 点”为
(2)若b是a的“十字点”，且a能被7整除，其中b为大于2且小于15的正整数，求a的值．
(3)m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当时，求的值．
25．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．
例如，对于数组：1，2，3，因为，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．

已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．
(1)对数组：1，2，，在1，，这三个数中，可能是______；
(2)对数组：1，2，，若的最大值为，求的值；
(3)已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．
①当，且时，直接写出的最大值；
②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．
26．在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，（，），为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”．
(1)若，则对应的数为 　，下列说法正确的是 　 （填序号）．
①是的“正比点”；
②是的“反比点”；
③是的“正比点”；
④是的“反比点”；
(2)若，且是的“正比点”，求的值；
(3)若，且既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
27．将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
28．一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被整除，则这个多位数就一定能被整除．例如：判断能不能被整除，这个数的末三位数字是，末三位以前的数字所组成的数是，则，能被整除，因此，也一定能被整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被整除．
(1)＝　 　， 　 　（能或不能）被整除．
(2)若两个四位数m，n均为的倍数，且，n的千位数字为，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为．规定，当时，求的最小值．
29．事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．
定义：对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用表示．例如数与 的“二三联合”为．
(1)填空：_________；__________；
(2)若一个两位数，一个三位数 (其中，，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数，当与s的个位数字的3倍的和能被整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．
30．材料分析题：对于任意一个四位正整数M，若千位和十位数字和为7，百位与个位数字和也为7，且各数位上的数字均不相同，那么称这个数M为“奇迹”数，例如：，∵，，∴2354是个“奇迹”数：再例如：，∵，但是数位上有相同数字，∴3443不是一个“奇迹”数．
(1)请判断1364是否为一个“奇迹”数，并说明理由．
(2)证明：任意一个“奇迹”数M都是11的倍数．
(3)若M为“奇迹”数，设．且是14的倍数，请求出所有满足题意的四位正整数M．
31．对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数，令，若为正整数，则称m为“三中全会”数．例如：对于8212，，，∵18是正整数，∴8212是“三中全会”数；对于3216，，，∵不是正整数，∴3216不是“三中全会”数．
(1)请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由；
(2)对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为，若是整数，则称m为“南开全对”数，请求出所有“南开全对”数．