2022-2023学年安徽省安庆市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省安庆市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中没有算术平方根的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  面积是的正方形的边长是(    )

A. 整数 B. 无理数 C. 有理数 D. 分数

3.  下列各组数中，互为相反数的一组是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

4.  若，则下列等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  是指大气中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果不等式组的解集是，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：






请你猜想的展开式中所有系数的和是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  如果，那么________．

12.  不等式的解集是______ ．

13.  已知，则的值为______ ．

14.  任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数：其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数，则称无理数的“雅区间”为例如：，所以的“雅区间”为．
无理数的“雅区间”是______ ；
若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

17.  本小题分
为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为：：，甲种风景树每棵元若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？

18.  本小题分
已知，，求：
的值；
的值．

19.  本小题分
试证明代数式的值与的值无关．
若的展开式中不含和的项，求，的值．

20.  本小题分
已知：关于、的方程组：．
求这个方程组的解；用含有字母的代数式表示
若这个方程组的解满足为非负数，为负数，求字母的取值范围．

21.  本小题分
先观察下列等式，再回答问题
；
；
．
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想____________．
____________．
请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含的式子表示的等式为正整数．

22.  本小题分
用“”和“”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．
观察图形，寻找规律，并填写下表：

求出第个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图的大正方形．

观察图，请你用两种方法表示出图的总面积．
方法：______；
方法：______；
请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式：______．
已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求的值．
用一张型纸板和一张型纸板，拼成图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：负数没有算术平方根，
A、，
有算术平方根，
B、的算术平方根是，
有算术平方根，
C、，
有算术平方根，
D、，
没有算术平方根．
故选：．
根据负数没有算术平方根进行判断即可．
本题考查了算术平方根的性质，正数有个算术平方根，负数没有算术平方根，的算术平方根为它本身，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：正方形的面积是，
正方形的边长为，
是无理数，
故选：．
根据正方形的边长是面积的算术平方根即可得到正确解答．
本题考查了正方形的面积，无理数的概念，求一个数的算术平方根，理解无理数的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
B.，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
C.，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
D.和互为相反数，故本选项符合题意；
故选：．
根据算术平方根的定义得出，，即可判断选项A；根据立方根求出，，即可判断选项B；求出，，即可判断选项C；，即可判断选项D．
本题考查了二次根式的性质与化简，立方根等知识点，能熟记立方根的定义和二次根式的性质是解此题的关键，注意：．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
选项符合题意；
，
，
，
选项不符合题意；
，，
，
，
选项不符合题意；
，
，
，
，
，
，
选项不符合题意．
故选：．
利用不等式的基本性质即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，正确计算是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
故A选项错误，
B、，
故B选项错误，
C、，
故C选项正确，
D、，
故D选项错误．
故选：．
根据幂的乘方积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
，用科学记数法表示时，的指数是负，中前面有个零，则用科学记数法表示时，的指数是用科学记数法表示时，，．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

8.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故选：．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得为非负整数展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
本题考查了完全平方公式、展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．
【解答】
解：，展开式共有项，系数和，
，展开式共有项，系数和，

展开式共有项，系数和为．
所以的展开式中所有系数的和是：
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式求解即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据平方根和立方根的概念求解即可．
本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，的立方根是．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得，
去括号的：，
移项，合并同类项得：，
化系数为得：．
故答案为：．
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为的顺序解出不等式即可．
本题主要考查了解不等式的步骤及不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，

故答案为：．
根据完全平方公式求出，，进而可以得出答案．
本题考查完全平方公式，非负数的性质，正确求出，是解题的关键．
 

14.【答案】  或 

【解析】

解：，
的“雅区间”是，
故答案为：．
是“雅区间”，
和是相邻的两个整数，
又，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，
符合条件的和有，；，；
当，时，将，代入得，；
当，时，将，代入得，；
的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值．
本题考估算无理数的大小，正确根据新定义结合相关知识分析题意是解题关键．  

15.【答案】解：原式． 

【解析】先计算立方根、平方根、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握平方根和立方根的定义、负整数指数幂及零指数幂是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
由得，，
由得，，
故原不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集，属较简单题目．
 

17.【答案】解：甲、乙、丙三种风景树的价格之比为：：，甲种风景树每棵元，
乙种风景树每棵元，丙种风景树每棵元，
设丙种风景树为棵，根据题意可得：，
解得：，
的最大值为棵，
即丙种风景树最多可以购买棵，
答：丙种风景树最多可以购买棵． 

【解析】根据题意找出各量之间的数量关系，再利用各量之间的数量关系列出不等式即可解答．
本题考查了不等式与实际问题，审清题意，找出各量之间的数量关系是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，





；
，，




． 

【解析】同底数幂乘法运算法则的逆用，幂的乘方的运算法则的逆用即可得到正确解答；
同底数幂除法运算法则的逆用，幂的乘方的运算法则的逆用即可得到正确解答．
本题考查了同底数幂除法运算法则的逆用，同底数幂乘法运算法则的逆用，幂的乘方运算法则的逆用，掌握逆用幂的乘方运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：

，
代数式的值与无关；
原式的展开式中，含的项是：，
含的项是：，
由题意得：，
解得． 

【解析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断；
先把原式展开，从中找出和项，再让它的系数为，从而得到，的方程组，解方程组求解即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，得：，
，得：，
，
将 带入式，得，
这个方程组的解为：；
方程组的解满足为非负数，为负数，
，，
即，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集是，
字母的取值范围是． 

【解析】利用加减消元法求出、的值即可；
根据、的值的正负情况列出不等式组，然后求出两个不等式的解集，再求其公共部分即可．
本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

21.【答案】    

【解析】解：；
；
；
；
；
故答案为：，，，；
按照上面各等式反映的规律，用含的式子表示的等式为：
．
由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案；
用字母表示第一个自然数，然后根据的分析写出反映规律的等式即可．
本题二次根式的性质与化简及数字的变化规律，根据例子找出其中的数字变化的规律是解决问题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：由可知，第一行：中，中，中，中，
中，中，
第二行：中，中，中，中，
中，中，
所以表格中填写：第一行：，；第二行：，．
故答案为：，；，；

第一个图形中甲种植物的株数，第二个图形中甲种植物的株数，第三个图形中甲种植物的株数，
第个图形中甲种植物的株数，
第一个图形中乙种植物的株数，第二个图形中乙种植物的株数，第三个图形中乙种植物的株数，
第个图形中乙种植物的株数．
由，两边同时开平方，得，这个方程的正整数解不存在，
不存在方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的倍．
通过观察图形总结规律即可得到答案；
通过观察图形，进行总结，可以得到第个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
根据总结得到的规律代入数值计算即可．
此题主要考查了规律型图形变化类的问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
 

23.【答案】解：；；
由题意得，，，
；
由题意得图中阴影部分的面积为：，
当，时，
图中阴影部分的面积为：． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用．
由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式；
由题意得，，，利用完全平方公式变形可求得此题结果；
由题意得到阴影部分面积为：，再将已知条件代入即可解得此题结果．
【解答】
解：用两种方法表示出图的总面积为和，
关于，的等式，
故答案为；；；
见答案；
见答案．