2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则的余角等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在科幻小说三体中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，相交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处，开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是(    )

A. 两点之间线段最短
B. 点到直线的距离
C. 垂线段最短
D. 两点确定一条直线

6.  一副三角板摆放如图所示，直角边与直角边相交于点，斜边，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  有一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的底边长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

8.  某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示：

根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是(    )

A. 支撑物的高度为，小车下滑的时间为
B. 支撑物的高度越大，小车下滑时间越小
C. 若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间
D. 若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次至少减少

9.  一个长方形的面积为，它的一条边长为，则它的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图在正方形的边上有一点，连接点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象当时，的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  若，，则______．

12.  如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为______

13.  若，则的值为______ ．

14.  某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过元以上者，超过元的部分按折优惠”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为元的办公用品件，则应付货款元与商品件数的关系式是______ ．

15.  如果可以写成一个多项式的平方的形式，那么的值是______ ．

16.  如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点小明发现，无论怎祥变动的形状和大小，的度数是定值．这个定值为______．

17.  如图，在中，点是的中点，连接，点在上，且，于点若，，则的面积为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  先化简再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
．

20.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法，在边上找一点并连接，使得不写作法，保留作图痕迹

21.  本小题分
如图，，，，试说明．
证明：，，已知
，______
______ ______ ，______
，已知
______ ______ ，______
，______
两直线平行，同位角相等

22.  本小题分
某天，小鹿和小明约好去小明家，小鹿骑车从家出发，小明担心小鹿走错路，于是从家骑车出发去接小鹿，骑行一段时间后，小鹿自行车发生故障，只得在原地等待，没过多久，碰到小明，于是小明载着小鹿一起回家，之后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半在这过程中，小鹿，小明两人离小鹿家的距离与所用时间之间的关系如图所示请根据图中信息，回答下列问题：
点的实际意义是：______ ；
相遇后，两人还要多少分钟到达小明家？

23.  本小题分
在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点．
若，，则 ______ ；
当点在线段上运动时，求证：．

24.  本小题分
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图所示的正方形．
观察图，直接写出，，三者的等量关系式；
根据的结论解答问题：如图，正方形与边长分别为、若，，求图中阴影部分的面积和．
 

25.  本小题分
汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、黄河并列，舍称“江海河汉”每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是秒．
当 ______ 秒时，灯射线第一次平分，此时灯射线记为射线，当 ______ 秒时，灯射线第一次与射线垂直；
若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______ ；填“平行”或“垂直”
若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的余角．
故选：．
根据余角的定义即可求解．
本题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，
，
，
．
故选：．
利用余角的关系，求得，由对顶角相等，即可求得．
本是考查了互余两角的关系，对顶角相等，掌握互余的两个角的和是是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解： ，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处，开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是：垂线段最短，
故选：．
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
，
，
，
，
故选：．
由题意可知，则由平行线的性质可得，从而可求的度数．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：当为等腰三角形的底边长时，则这个等腰三角形的底边长为；
当为等腰三角形的腰长时，底边长，、、不能构成三角形．
故选：．
分为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由图表可知，当时，，故A不符合题意；
B、支撑物高度越大，小车下滑时间越小，故B不符合题意；
C、若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间，故C不符合题意；
D、若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次不一定减少，故D符合题意．
故选：．
根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：这个长方形的另一条边长为，
则它的周长为，
故选：．
根据长方形的面积公式求出另一条边长，再根据长方形的周长公式即可得．
本题考查了多项式除以单项式的应用、整式加法的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
当点在点时，，解得：，
当点在点时，，解得：，即，，
当时，如下图所示：

此时，，，
当时，，
故选：．
当点在点时，，解得：，当点在点时，，解得：，即，，当时，，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
因为和是同底数的幂，所以根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法，此题逆用了同底数幂的乘法法则，是考试中经常出现的题目类型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由翻折的性质可知：，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意，设，易证，构建方程即可解决问题．
本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
根据多项式乘多项式，再利用多项式相等的条件求出与的值，然后代入求值即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，

，
应付货款元与商品件数的函数关系式是：，
故答案为：．
根据题意可得，所以应付货款超过的按折优惠后的部分，进行计算即可解答．
本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：可以写成一个多项式的平方的形式，
，
故答案为：．
根据完全平方式求解即可．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：．
利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．
本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
，且，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
根据，点是的中点，求出和的长度，进而求出三角形的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出．
本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比．
 

18.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题关键．
 

19.【答案】解：

；


；



． 

【解析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
先算乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；
先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：如图：点即为所求．
 

【解析】作，得到等边三角形即可．
本题考查了复杂作图，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】垂直定义      同位角相等，两直线平行      内错角相等，两直线平行  平行于同一条直线的两条直线平行 

【解析】解：，已知，
垂直定义，
同位角相等，两直线平行，
已知，
内错角相等，两直线平行，
平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，同位角相等．
故答案为：垂直定义；；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
根据垂直定义求出，根据平行线的判定得出，，根据平行公理得出，即可得出答案．
本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
 

22.【答案】小明和小鹿出发分钟时相遇 

【解析】解：由图象可知，点的实际意义是：小明和小鹿出发分钟时相遇，
故答案为：小明和小鹿出发分钟时相遇；
相遇前，小鹿骑行距离为千米，用时分钟，
相遇前小鹿的速度：千米分钟，
相遇后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半，
相遇后两人的速度为千米分钟，
分钟，
相遇后，两人还要分钟到达小明家．
由图象结合实际意义解答即可；
先求出相遇前小鹿相遇，根据相遇后，骑行速度变为之前小鹿骑行速度的一半可得两人骑行的速度；根据相遇后剩余的路程除以变化后的速度可得答案．
本题考查一次函数的应用，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
．
平分，
．
．
又，
；
故答案为：；
证明：，
．
平分，
．
．
，
．
．
，
即．
首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
根据第小题的思路即可推导这些角之间的关系．
此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得：；
由可得：，
，，
，
或舍去，
图中阴影部分的面积和的面积的面积






，
图中阴影部分的面积和为． 

【解析】利用面积法进行计算，即可解答；
利用的结论可得：，从而求出，然后根据已知并结合图形可得图中阴影部分的面积和的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握面积法是解题的关键．
 

25.【答案】    平行 

【解析】解：，
，
平分，
，
此时灯转动时间为：秒；
，
，
，
此时灯转动时间为：秒；
故答案为：；．


两灯同时转动，秒时，灯转动的角度为：，灯转动的角度为：，
，
此时灯发出的射线，灯发出的射线，
，
，
，
，
，
即秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行；
故答案为：平行．

解：设灯转动秒后，两灯光束互相平行；
当时，根据题意得：
，
解得：；
当时，根据题意得：
，
解得：；
当时，根据题意得：
，
解得：不合题意；
综上分析可知，当灯转动秒或秒，两灯的光束互相平行．
先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出，再求出转动时间即可；
先算出两个灯旋转秒后旋转的角度，判断出秒后、两灯发出的射线与、的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可；
设灯转动时间为秒，根据灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可．
本题主要考查了平行线的判定和性质和一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题．