2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为米的碳纳米管数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列从左到右的变形，是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知“”，则下列不等式中，不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  已知等腰中，，则的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或或

6.  如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，将点向右平移单位长度，再向上平移个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在边长为的正方形网格中，、、均在正方形格点上，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为直角三角形时，则运动的时间为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

10.  如图，中，，的平分线分别交的外角平分线、和的延长线于，，过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点则下列结论：；；；其中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

13.  已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则______．

14.  如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为______．
 

15.  如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算；
因式分解：．

17.  本小题分
解不等式组，并求出它的非负整数解．

18.  本小题分
为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球，排球，篮球，跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查每位学生仅选一种，并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．








问卷情况统计表：

本次调查的样本容量是______，统计表中______；
在扇形统计图中，“排球”对应的圆心角的度数是______；
若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出平移后的图形．
求的面积．
若点是轴上的一个动点，则的最小值为______ ，此时点的坐标为______ ．

20.  本小题分
如图，点在线段上，，，，平分．
证明：≌；
若，，求的面积．

21.  本小题分
为持续做好疫情防控工作，我校计划购买甲、乙两种额温枪经市场调研得知：购买个甲种额温枪和个乙种额温枪共需元，购买个甲种额温枪和个乙种额温枪共需元．
求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；
我校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共个，其中购买甲种额温枪不超过乙种额温枪请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．

22.  本小题分
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
分组分解法：
例如：
拆项法：
例如：．
仿照以上方法，按照要求分解因式：
用分组分解法；
用拆项法；
已知：、、为的三条边，，求的周长．

23.  本小题分
如图，在等边的边和边上分别取点、，使得，将绕点顺时针旋转，得到图所示的图形．
求证：≌；
如图，若，，且旋转角为时，求的长；
如图，连接，并延长交于点，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：当为顶角时，则；
当为顶角时，则；
当、为底角时，则．
故选：．
此题分为：为顶角、为顶角和、同为底角，再根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求得的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故选：．
利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据的周长为，可得，然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点向右平移单位长度，再向上平移个单位长度正好与原点重合，
，，
，，
点的坐标是．
故选：．
根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

，
，
设点到的距离为，
，
．
故选：．
连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设点到的距离为，根据，即可求出的值．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

在中，，，
，
，
根据勾股定理，得，
当为直角三角形时，分两种情况：
当点运动到点时，，
此时运动时间为，
当点运动到时，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
此时运动时间为，
综上所述，满足条件的运动时间有或，
故选：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得的长，进一步可得的长，当为直角三角形时，分两种情况：当点运动到点时，；当点运动到时，分别求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
 

10.【答案】 

【解析】解：的角平分线和的外角平分线，
，
，
在中，，
，
，
，故本小题正确；
，已证，
，
为的角平分线，
，
在和中，
≌，
，；故正确；
，，
，，
，
，
，
在与中，

≌，
，
又，，
，
，故小题正确；
，，
垂心的定义，
，，
，
，
，
，，
与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
不成立，故本小题错误，
综上所述正确．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
先求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，；
根据直角的关系求出，然后利用“角角边”证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得；
根据，，可得为的垂心，所以，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，有直角三角形斜边大于直角边，，从而得出本小题错误．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数经过点，
，
解得：，
则关于的不等式可以变形为，
由图象得：的解集为．
故答案为：．
首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
 

13.【答案】或 

【解析】解：由题意得：
，
，
或，
故答案为：或．
利用完全平方公式可分解为，然后去括号进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设交于，连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
所以，
所以，
在中，
，
所以，
故答案为：．
分析：
设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故AB．
本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到是线段的垂直平分线．
 

15.【答案】 

【解析】解：方法一：将绕点顺时针旋转得到，

则此时，，三点在同一直线上，
，，
，
随着点运动，总有，，
总有≌，即，，三点在同一直线上，
的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
中，，，，
，，即为的中点，
，，
，为的中位线，
；
方法二：取的中点，连接，，，则，

，，
，
为等边三角形，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
为等边三角形，
，，
，
≌，
，
当时，最小，
，
，
．
故答案为：．
方法一：将绕点顺时针旋转得到，则此时，，三点在同一直线上，得出的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．
方法二：取的中点，连接，，，则，证明≌，得出，当时，最小，由直角三角形的性质求出的长，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再算乘法，最后加减运算；
原式化为，再提取公因式，最后用平方差公式分解因式．
本题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方，提公因式法与公式法的综合运用，掌握计算与分解因式的区别是解题关键．
 

17.【答案】解：解得：，
解得：，
不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为，． 

【解析】【先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出负整数解．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了．
 

18.【答案】解：
 
该校最喜欢“乒乓球”的学生人数：人，
答：该校最喜欢“乒乓球”的学生人数为人． 

【解析】

【分析】
本题考查扇形统计图及相关计算、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，掌握这几个知识点的应用，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
本次调查的样本容量用篮球的人数所占的百分比；乒乓球人数本次调查的样本容量排球人数篮球人数跳绳人数；
“排球”对应的圆心角的度数：这部分的比值；
该校最喜欢“乒乓球”的学生人数：总体样本的比值．
【解答】
解：本次调查的样本容量是：人；
乒乓球人数：人；
故答案为：，；
“排球”对应的圆心角的度数：；
故答案为：；
见答案．  

19.【答案】   

【解析】解：平移后，
，；如图：

三角形面积；
作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，根据最短路径可知，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
所以直线的解析式为，
当时，，解得，
此时点坐标为，
故答案为：；．
利用点和点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出的坐标和的坐标，然后描点即可得到为所作；
利用割补法求解即可；
作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后利用待定系数法法求出直线的解析式，再计算出自变量为对应的函数值即可得到点坐标．
本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：由知≌，
，
又平分，
，，
垂直平分，
，．
，
，
即的面积是． 

【解析】根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立；
根据中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出≌需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
 

21.【答案】解：设每个甲种额温枪元，每个乙种额温枪元，根据题意得：
，
解得：．
答：每个甲种额温枪元，每个乙种额温枪元；
设购买个甲种额温枪，则购买个乙种额温枪，总费用为元，
根据题意得：．
，
，即且为整数．
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，元．
答：买个甲种额温枪，个乙种额温枪总费用最少，最少为元． 

【解析】设每个甲种额温枪元，每个乙种额温枪元，根据题意得关于和的二元一次方程组，解方程组即可；
设购买个甲种额温枪，则购买个乙种额温枪，总费用为元，根据题意写出关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案．
本题考查了一次函数和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：


；




．
、、为的三条边，，
，
，
，
，
的周长为． 

【解析】读懂题意，利用分组法分解因式；读懂题意，利用拆项法分解因式；
把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再计算三角形的周长．
本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质．
 

23.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌；

解：由知：，
，
，
过点作于点．

旋转角为，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
；

由可知：≌，
，，
又，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先证是等边三角形，由“”可证≌；
由等腰直角三角形的性质可求，在中，可求的长，即可求解；
由全等三角形的判定和性质可得，，由平行线的性质可求，，由直角三角形的性质可求，即可求，，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键．