2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，地球上的海洋面积约为，该数字用科学记数法表示为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图：将一个长方形纸片，沿着折叠，使、点分别落在点，处．若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  一种测温枪原来的价格为元把，连续两次降价后，价格下降了设平均每次降价的百分率为，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一个定点，点是函数上一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会(    )

A. 逐渐增大
B. 先减后增
C. 逐渐减小
D. 先增后减

8.  已知，，，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在如图所示的方格纸中，点、、、、、均为小正方形的顶点．先从、、中任意取两点，再从、、中任取一点画三角形，则所画三角形是直角三角形的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，，点是边上一动点，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的解集为______ ．

12.  若，且，为相邻的整数，则 ______ ．

13.  如图，的半径为，四边形内接于，连接，若，，则劣弧的长为______ ．

14.  我们把由锐角三角形三边上的高产生的三个垂足连接组成的三角形称为该三角形的垂三角形．
若该锐角三角形为边长为的等边三角形，则该三角形的垂三角形的周长是______ ．
若该锐角三角形为腰长为，底边长为的等腰三角形，则该三角形的垂三角形的周长是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
和顶点为网格线的交点，以及过格点的直线．
将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的三角形；
画出关于直线对称的三角形；
填空：______．

18.  本小题分
合肥新桥国际机场出港大厅有一幅“黄山胜景”的壁画．聪聪站在距壁画水平距离米的地面，自点看壁画上部的仰角为，看壁画下部的仰角为，求壁画的高度．参考数据：，，精确到十分位

19.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，以为直角边的的斜边轴于点．
求、的值；
求的面积．

20.  本小题分
如图，为的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是的切线．
求证：；
如图，取弧的中点，连接，，若，，求弦的长．
 

21.  本小题分
学校在入团积极分子中开展了党史、团史知识竞赛，按成绩分成，分分，分分，分分，分以下五个等级，并根据成绩绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：

该校入团积极分子的人数为______，扇形统计图中等级所在扇形的圆心角的度数为______．
这次竞赛成绩的中位数在哪个等级？直接写出结果
已知这次竞赛成绩为等级的人中男、女生各名，若从等级中任选名学生参加市级相关知识竞赛，求其中至少有名女生的概率．

22.  本小题分
某企业投入万元只计入第一年成本生产某种产品，按网上订单生产并销售生产量等于销售量经测算，该产品网上每年的销售量万件与售价元件之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件．
求该产品第一年的利润万元与售价之间的函数关系式；
该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入只计入第二年成本后，其他成本下降元件．求该产品第一年的售价；若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？

23.  本小题分
如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，．

如图，当在边上且时，则的度数为______ ．
如图，当在延长线上时，设与延长线交于，求的长．
连接，当直线恰好经过点时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
比小的数是．
故选：．
根据两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案．
本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟知有理数大小比较方法“两个负数比大小，绝对值大的反而小”．
 

2.【答案】 

【解析】解：  ，即．
故答案为：．
科学记数法的一般形式为：，在本题中应为，的指数为．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
B、有三项，不能用平方差公式分解，故不合题意；
C、是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
D、能用平方差公式分解因式，故符合题意；
故选：．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，
根据折叠前后角相等可知，，
，
，
解得，
．
故选：．
根据折叠前后对应角相等可知．
本题考查图形的翻折变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意可得：，
故选：．
根据两次降价后，价格下降了列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据平均变化率表示出变化后的量，经过两次变化后的数量关系为．
 

7.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
轴于点，点是轴正半轴上的一个定点，
四边形是个直角梯形，
四边形的面积，
是定值，
四边形的面积是个增函数，即点的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐增大．
故选：．
由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函数关系式．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选项A错误；
，
，
故选项C错误；
，
，
，
，
，
故选项B中的结论正确；
，
，
故选项D中的结论错误．
故选：．
根据等式的性质对已知条件化简即可得到正确选项．
本题考查的是等式的性质，根据等式的性质得到，，的大小关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中所画三角形是直角三角形的有、这种情况，
所以所画三角形是直角三角形的概率是，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是直角三角形的情况，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接，，

，，，
，，
点是的中点，
，
，
将线段绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短，可知：当时，有最小值，
，，
，
故选：．
先解直角三角形，由“”可证≌，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短，可知：当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明三角形全等，用转化的思想思考问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
不等式的两边都除以得：，
故答案为：．
移项得出，不等式的两边都除以，即可求出答案．
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故答案为：．
由可求，的值，再计算的值．
本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与相邻的两个平方数的整数．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，
，
，
，
的半径为，
劣弧的长为，
故答案为：．

连接，，利用同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形内角和求出，再利用同弧所对的圆周角相等得到，最后利用弧长公式计算即可．
本题考查了弧长公式、圆周角定理；解题的关键是利用圆周角定理求出．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图，，，，为高，
，，分别为各边中点，
，
垂三角形的周长是；
故答案为：；

如图：，，，，
，

，，
设，由勾股定理得，
解得：，即，
设与交于点，
在和中，，
≌，
，又，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
的周长，
故答案为：．
画出等边三角形，根据等边三角形的性质可得结果；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得与的关系，与的关系，证明∽，根据相似三角形的性质，可得的长，根据三角形的周长，可得答案．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，最后求出三角形的周长．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】首先计算零指数幂、乘方和立方根，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解． 

【解析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
 

17.【答案】如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
 

【解析】

依据平移的方向和距离，即可得到平移后的三角形；
依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的三角形；
由图可得，，
故答案为：．
【分析】
依据图中与互余，即可得到．
本题考查作图轴对称变换以及平移变换的知识，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．  

18.【答案】解：过点作于点，则，
在中，
，
，
在中，，
，
米，
答：壁画的高度为米 

【解析】过点作于点，根据，得出，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形仰角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

19.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，
将、分别代入和得，
，
解得，，，；
轴，，
设点，
，，，
是以为直角边的直角三角形，

，即，
解得，
，
，，
的面积． 

【解析】将、分别代入和求解即可；
设点，然后根据勾股定理求出的值，进而得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
此题考查了反比例函数和一次函数综合题，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

20.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
即，
，
，
，
，
，
；
解：连接交于，如图，
是直径，
，
，
为弧的中点，
，
，
，
，
在中，，
即弦的长为． 

【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，即，由于，，从而可得到；
连接交于，如图，先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理，由为弧的中点得到，所以，则，所以，然后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
 

21.【答案】   

【解析】解：、、、这四组的频数之和为人，
所以该校入团积极分子的人数为人，
，
故答案为：，；
将这名学生的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都在组，因此中位数在组，
从男女中任意选取人，所有可能出现的结果情况如下：

共有种等可能出现的结果，其中一男一女的有种，
所以其中至少有名女生的概率为．
求出、、、这四组的频数之和，再根据频率进行计算即可；求出组所占的百分比即可；
根据中位数的定义进行判断即可；
利用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出至少有名女生的概率．
本题考查列表法树状图法求简单随机事件的概率，频数分布表，中位数以及扇形统计图，理解频率，掌握列表法求概率的方法是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：；
该产品第一年利润为万元，
，
解得：，
答：该产品第一年的售价是元．
第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过万件，
，
解得，
设第二年利润是万元，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，又，
时，有最小值，最小值为万元，
答：第二年的利润至少为万元． 

【解析】根据总利润每件利润销售量投资成本，列出式子即可；
构建方程即可求出该产品第一年的售价；
根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，
．
由对称性知，
．
故答案为：
如图，，，
，
当落在延长线上时，，

．
由对称性得，，
，
得，
．
如图，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，

，
．
，，
≌，
．
如图，点在边上时，

，，
，．
，
∽，
，
，
．
综上所述，的长为或．
由知，，可知，从而得出答案；
根据对称性得，，则，得，可得；
当在边上时，若直线过点，利用证明≌，得，当点在边上时，利用∽，则，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键．