2023年高考第三次模拟考试卷-数学（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用B卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

13．（5分）  14．（5分）  15．10（5分）    16．①③④（5分）

17．【解析】（1）由

得：，（2分）

当时，数列为各项为的常数列，不是等比数列；

当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.   （5分）

（2）当时，，

由（1）知：数列是以为首项，为公比的等比数列，（6分）

，即，（7分）

当时，，

又满足，.（10分）

18．【解析】（1）在中，由，得，（2分）

由正弦定理，得，因为，

因此，即，（4分）

而，，有，即有，且显然，（5分）

于是，解得，

所以.（6分）

（2）令，四边形内角和为，由（1）的结论知：，（7分）

在中，由正弦定理得：，即有，

在中，，则，（9分）

又，则有，即，，

因为，则，于是，即，

又，（11分）

因此，，

所以的面积.（12分）

19．【解析】（1）当时，.证明如下：

将该几何体补全为正四棱柱，连接BM，

如下图所示：

由题意可知底面ABCD为正方形，则，且，

因为平面AEH，，所以平面，（2分）

又平面EFGH，平面平面，

所以.

又，所以H为GM的中点，所以E为MF的中点.

因为，，

所以四边形BCGM为平行四边形，所以，（4分）

因为，所以.

因为，，

所以，所以，

所以，即，所以.

所以当时，.（5分）

（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DG所在直线为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）得，（7分）

设平面的法向量为，

则，

令，则，

故平面的法向量为，（8分）

设平面的法向量为，

则，

令，则，

则平面的法向量为（10分）

∴，（11分）

∵平面与平面所成角为锐角，

∴平面与平面所成角的余弦值为.（12分）

20．【解析】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.

令，先建立y关于t的线性回归方程.

由于，（2分）

，

该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，

因此y关于年份数x的回归方程为  （3分）

所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为

.

所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.（4分）

（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，

则，，，

，，.（6分）

（i）由全概率公式得，

，

所以该航班准点放行的概率为0.778. （8分）

（ii），

，

，（11分）

因为，

所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大. （12分）

21．【解析】（1）依题意，离心率，，解得，，

故双曲线的方程为.（3分）

（2）方法一：设，，直线PQ为，代入双曲线方程，

得：，则且，，

∴，∵，（5分）

∴，

∴直线AP方程为，令得：，∴，（7分）

∵直线PQ为，令得：，即，

设线段MN的中点坐标为，则，，

∵过点P的切线方程为：，（9分）

要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，即证点P处的切线经过线段MN的中点T.

∵，

，

所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN. （12分）

方法二：设，，则，.

由题意可知，点M在直线PA上，且纵坐标为，（4分）

设，由可得：，整理得：

，∴，（6分）

同理可得，（8分）

设线段MN的中点坐标为，

则，，

又∵过点P的切线方程为：，要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，

即证点P处的切线经过线段MN的中点T，∵，（11分）

∵，，

∴，

所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN. （12分）

22．【解析】（1）证明：设，则，仅当时取等号，

所以是增函数，且，当时，，即；（2分）

当时，，即．

综上，当时，；当时，．（4分）

（2）证明：①由题意，得，，

则，．

令，则，．

因为时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点，且．（6分）

要有两个不同的零点，首先必须，即，

而当时，，所以需满足，

则当时，在区间内有一个零点；

又，则在区间内又有一个零点．

综上，若关于x的方程有两解，则．（8分）

②由①可知，由，得，

即，即．

因为，所以由（1），得，

即，整理，得①．

因为，所以同理可得②     （10分）

由①②，同构函数，则，．

因为，，，所以方程有两个不等正实根，

设，则且，则有，，

所以，即．   （12分）