2023年湖北省荆门市中考一模数学试题

这是一份2023年湖北省荆门市中考一模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省荆门市中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列说法中，正确的是（    ）
A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是
2．襄荆高铁（襄阳至荆门）是荆门境内在建的第三条高铁，该项目总投资197.44亿元．将数据“197.44亿”表示为（为整数）的形式，则（    ）
A．2 B．8 C．9 D．10
3．将9.52变形正确的是（　　）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
4．如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6
5．已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（    ）

A．120° B．130° C．140° D．150°
6．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ）

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
7．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于该几何体的三视图有下列说法：①主视图是轴对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图是中心对称图形．其中说法正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，菱形各边的中点分别是，若，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，内接于，的半径为3，点是上的一点，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．关于二次函数，有下列四个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若时，对应的的整数值有4个，则或；
③若抛物线与轴交于两点，且，则或；
④当时，一元二次方程一定有两个实数根．
以上结论，正确的是（    ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④

二、填空题
11．计算：________．
12．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则的取值范围是________．
13．如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆分别与边相切于两点，则图中两个阴影部分面积的和为________．

14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于________．

15．已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为________（用含的代数式表示）．
16．已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为________．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，延长到点，使，连接分别交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．某中学利用课外活动开展“法治和安全”知识学习，并在全校进行了一次竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩
人数
级别

8
及格


中等


良好

32
优秀

请根据所给的信息解答下列问题：
(1)王老师抽取了________名学生的参赛成绩；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在本次竞赛中，发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
20．如图所示，某居民楼后有一个小山坡，其坡度为（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），小区准备在小山坡上加装广告牌．已知广告牌底端到坡底的距离为5.2米，水平地面上居民楼到坡底的距离为1.2米，当太阳光线与水平线成角时，测得广告牌落在居民楼上的影子长为3米．
  
(1)求点所在位置的铅直高度；
(2)求广告牌的高．（参考数据：）
21．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
22．如图，分别与相切于点是的直径，连接．

(1)求证：；
(2)连接，若，求的值．
23．某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，)符合关系式(k为常数)，且得到了表中的数据．
月份(月)
1
2
成本(万元/件)
11
12
需求量(件/月)
120
100
(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第m个月和第个月的利润相差最大，求m．
24．抛物线与轴交于两点，且．

(1)若，当时，求抛物线的解析式；
(2)如图，已知点，在（1）中所求的抛物线上取一点，连接并延长交该抛物线于点．判断的值是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
(3)若的中点坐标为，且，设此抛物线顶点为，交轴于点，直线交轴于点，点为坐标原点，令面积为，请直接写出的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确    
B. 2与互为倒数，故选项B不正确；    
C. 0的相反数是0，故选项C正确；    
D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】将197.44亿写成，根据小数点移动位数即可得出n的值．
【详解】解：197.44亿，
可知，
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是牢记中n的值等于小数点移动位数．
3．C
【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
4．B
【分析】根据统计图中的数据结合中位数和众数的定义，确定a的值即可．
【详解】解：由条形统计图可知，前三次的中位数是8
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数
∴a=8．
故答案为B．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数的定义，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，

根据题意得：∠5=30°，
∵，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果．
【详解】解：由勾股定理得：
∵，，
∴
整理得：
∵
∴的长是方程 的一个正根
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
7．C
【分析】根据几何体，先画出它的三视图，再依据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判定．
【详解】如图所示：

因为主视图不是轴对称图形，故①说法错误；
因为左视图是轴对称图形，故②说法正确；
因为俯视图是中心对称图形，故③说法正确；
所以说法正确的有2个．
故选：C
【点睛】本题考查几何体的三视图，轴对称图形和中心对称图形的定义，关键是要作出几何体的三视图．
8．C
【分析】由中位线的性质可知，结合可得，可判断B选项；由菱形的性质可知，用勾股定理解可验证选项D；先证四边形是平行四边形，再用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可判断选项A；假设成立，则是等边三角形，，与矛盾，可判断选项C．
【详解】解：如图，连接，交于点O，连接，

菱形各边的中点分别是，
， ，
，，
，
，
故B选项结论正确，不合题意；
由菱形的性质可知，
，
，，
，
，
故D选项结论正确，不合题意；
，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，
，
故A选项结论正确，不合题意；
由已知条件可知，
若，则是等边三角形，
则，与矛盾，
因此不成立，
故C选项结论错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推导论证．
9．A
【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，再由，可得，可证得是等边三角形，从而得到，在中，可得到的长，即可求解．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助性构建等边三角形是解题的关键．
10．D
【分析】二次函数的对称轴为，即可判断①；当时，，当时，，当时，，分当时，，当时，，进行求解即可判断②；当时，，则，分当时，当时，，当时，当时，，求解即可判断③；由，分情况讨论即可判断④．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
，，故①正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，对应的整数值有4各，分别是，
∴，
∴，
当时，，对应的整数值有4各，分别是，
∴，
∴，
综上，时，对应的的整数值有4个，则或；故②错误；
当时，，则，
当时，抛物线与轴交于两点，，
∴当时，，
∴，
解得：，
当时，抛物线与轴交于两点，，
∴当时，，
∴，
解得：
∴若抛物线与轴交于两点，且，则或，故③正确；
对于一元二次方程，，
若一元二次方程一定有两个实数根，则
当时，，即；
当时，，即；故④正确．
综上，正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，并根据题目条件灵活应用是解题的关键．
11．0
【分析】先计算负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
【详解】解：


，
故答案为：0．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算．
12．/
【分析】根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，即可求解．
【详解】解：由不等式组，得，
∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，
∴，
解得，
∵一次函数不经过第三象限，
∴且，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
13．/
【分析】连接，，可证四边形是正方形，设，则，证明，通过对应边成比例求出r，则阴影部分面积之和等于减去，再减去和所包含扇形的面积之和．
【详解】解：如图，连接，，

以为圆心的半圆分别与边相切于两点，
，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
，
，
和所包含扇形的面积之和为：，
图中两个阴影部分面积的和为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积计算等知识点，解题的关键是证明，求出半径r．
14．-12
【分析】设C（a，），根据AC与BD的中点坐标相同可得点D坐标，代入解析式可得k关于a的不等式，由BC=2AB=可求出a的值，进而得出k值．
【详解】设C（a，），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（，）=（，），
解得：，，即D（，），
∴=，即，
∵BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），
∴AB=，BC=，
∴BC2=（0-a）2+=，
∴，
∴，
解得：，
∵,
∴，
∴,
故答案为：-12
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质、中点坐标公式及解方程，熟练掌握相关性质是解题关键．
15．
【分析】设BC上的高为x，则BC=a﹣x，△ABC的面积为S，S=x（a﹣x），根据二次函数的顶点坐标，可得出x的值，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，可得△CBE是直角三角形，根据勾股定理求出CE的长，从而得出周长的最小值．
【详解】解：设BC上的高为x．
∵边BC的长与BC边上的高的和为a，∴BC=a﹣x，设△ABC的面积为S，∴S=x（a﹣x）=﹣x2+ax．
∵当△ABC面积最大时，∴x=a，∴BC=a，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，当点A与点F重合时，△ABC周长的最小值，∴BG=GE=AD=a，∴BE=a．
∵直线l∥BC，∴∠EBC=∠EGA=90°，∴CE==a，∴△ABC的最小周长=a．
故答案为a．

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是一道二次函数的综合题，还考查了二次函数的解析式以及顶点的运用，轴对称的应用，正确运用轴对称是解题的关键．
16．
【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
…，
∴的值每6个一循环，
∵



，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键．
17．，
【分析】先通分括号内的式子，计算减法，然后计算括号外的除法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，等量代换可得，通过证明，即可得出；
（2）由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解： 四边形是平行四边形，
，，
由（1）知，
，
，
，，
，
，即，
解得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，第一问的关键是证明，第二问的关键是证明，解法不唯一．
19．(1)80
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据“优秀”等次人数及所占百分数可得抽取学生的总数；
（2）先求出“中等”“良好”等次人数，再补充条形统计图；
（3）利用列表法或画树状图法求解．
【详解】（1）解：由所给的统计图、表，可知“优秀”等次有32人，占比为，
因此抽取学生总数为：，
故答案为：80；
（2）解：“中等”等次人数为：，
“良好”等次人数为：，
条形统计图补充完整后如下所示：

（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有16种等可能的情况，其中两个班同时选中同一套试卷的情况有4种，
，
即两个班同时选中同一套试卷的概率是．
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、列表法或画树状图法求概率等知识点，解题的关键是将所给统计图、表中的信息进行关联．
20．(1)2米
(2)9米

【分析】（1）过点D作于点E，延长PQ，交AB于点G．根据题意和作图可知四边形为矩形，，则米，．由得到，可设米，则米，在中利用勾股定理解得，即可得到答案；
（2）由（1）可知米，米，得到米．根据得到，求得米，得米，利用即可得到广告牌的高．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点E，延长PQ，交AB于点G．

根据题意和作图可知四边形为矩形，，
∴米，．
∵，即，
故设米，则米，
在中，，即，
解得：，
∴米；
即点所在位置的铅直高度为2米；
（2）由（1）可知米，米，
∴米．
∵，
∴，即，
解得：米，
∴（米），
∴（米）．
答：广告牌的高为9米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，解不等式即可求解；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
∴，
解得：，
（2）∵，
即：
∴，
又∵，
∴，
∴
解得：或（舍去）
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接、，由切线的性质可得，由切线长定理可得及，再利用互余关系及三角形内角和，可得结论；
（2）作，交延长线于点，连接，得出，根据得出，，设，则，则得出，在中得出，在中，根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）证明：连接、，

与、相切，
，
由切线长定理得：，
（），
．
，


（2）作，交延长线于点，连接，

由（）得，


，
，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
在中，，  
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，解直角三角形，正确的添加辅助线是解题的关键．
23．(1)，不可能；(2)不存在；(3)1或11.
【分析】(1)根据每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，结合表格，用待定系数法求y与x之间的函数关系式，再列方程求解，检验所得结果是还符合题意；
(2)将表格中的n，对应的x值，代入到，求出k，根据某个月既无盈利也不亏损，得到一个关于n的一元二次方程，判断根的情况；
(3)用含m的代数式表示出第m个月，第(m+1)个月的利润，再对它们的差的情况讨论．
【详解】解：(1)由题意设，由表中数据，得，
解得．
∴．
由题意，若，则．
∵x＞0，
∴．
∴不可能．
(2)将n=1，x=120代入，
得120=2-2k+9k+27．解得k=13．
将n=2，x=100代入也符合．
∴k=13．
由题意，得，求得．
∴，即．
∵，
∴方程无实数根．
∴不存在．
(3)第m个月的利润为；
∴第(m+1)个月的利润为
．
若W≥W′，W-W′=48(6-m)，m取最小1，W-W′=240最大．
若W＜W′，W′-W=48(m-6)，m+1≤12，m取最大11，W′-W=240最大．
∴m=1或11．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用．
24．(1)
(2)是常数，
(3)

【分析】（1）将代入，得，解方程组求出b和c的值即可；
（2）作轴，轴，垂足分别为P，Q，由勾股定理得，根据点M在抛物线上，得，求出，同理可得，再证明，得到，整理得，即可求出，是常数；
（3）由A、B坐标和抛物线顶点可得b与c的等量关系，由c的取值范围可得的取值范围，用含c的代数式表示，通过取值范围求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解方程组，
得，
∴抛物线的解析式是；
（2）的值是常数，
如图，作轴，轴，垂足分别为P，Q，

在中，，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，是常数；
（3）抛物线的顶点P为，
∵抛物线与轴交于两点，的中点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入可得点D坐标为，
由点在直线上，可得直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，时，取最小值为1，
当时，取最大值为5，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了的是二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，相似三角形的判定和性质，掌握配方法求二次函数的最值．