广西壮族自治区玉林市2023届高三二模数学（文）试题

广西壮族自治区玉林市2023届高三二模数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．从O地到A地的距离为1.5km，从A地到B地的距离为2km，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．在长方体中，AB＝2，，若从该长方体内随机选取一点P，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

9．若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．若x，y满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．某市市场监督管理局组织开展市本级食品安全监督抽检，涉及粮食加工品（252批次），食用油（240批次），调味品（180批次），乳制品（198批次）等20类食品（共2712批次），要从这2712批次食品中按照品类分层抽检452批次样品，则乳制品类要被抽检______批次样品．

14．写出一个半径为1，且与圆外切的圆的标准方程：______．

三、双空题

15．设等差数列的前n项和为，，，则______，使为整数的正整数n的值的个数为______．

四、填空题

16．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，平面ABC，，AB＝3，，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，则AE＋DE的最小值为______．

五、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

18．如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.

(1)证明：平面平面.

(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.

19．2016～2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示．

(1)不考虑价格因素，求广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）．

(2)现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y（单位：元）与农村居民人均可支配收入x（单位：元）是否存在较好的线性关系．设广西2016年城镇居民人均可支配收入为元，农村居民人均可支配收入为元，2017年对应的数据分别为，，2018年对应的数据分别为，，2019年对应的数据分别为，，2020年对应的数据分别为，．根据图中的五组数据，得到y关于x的线性回归方程为．试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95，并判断y与x之间是否存在较好的线性关系．

参考数据：，，．

附：样本的相关系数，

线性回归方程中的系数，．

20．已知函数．

(1)设a＝0．

①求曲线在点处的切线方程．

②试问有极大值还是极小值？并说明理由．

(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．

21．已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆交于两点.过点作的垂线交椭圆于另一点，再过点作斜率为的直线交椭圆于另一点.

(1)若为该椭圆的上顶点，求点的坐标；

(2)证明：直线的斜率为定值.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．

(1)求C的极坐标方程；

(2)若直线与C相交于A，B两点，P为直线上的动点，求的最小值．

23．已知正数a，b，c满足．

(1)若，证明：．

(2)若，求的最小值．

参考答案：

1．D

【分析】利用复数的运算法则计算即可.

【详解】因为，所以，即，则．

故选：D

2．C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.

【详解】依题意，，，所以.

故选：C

3．B

【分析】根据等比数列的定义与性质计算即可.

【详解】因为，，所以公比，所以．

故选：B

4．A

【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.

【详解】因为双曲线C：，

所以，

由题意可知，则，

由双曲线的定义知，.

故选：A

5．B

【分析】根据，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】由题意可得：，

∵，

故.

故选：B.

6．C

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解.

【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得的坐标为．

设抛物线的标准方程为，则，解得．

故该抛物线的焦点到准线的距离为．

故选：C

7．D

【分析】根据题意，在空间中，满足的点P的轨迹为以A为球心，1为半径的球面，利用几何概型的概率计算公式即可求解.

【详解】在空间中，满足的点P的轨迹为以A为球心，1为半径的球面，所以在该长方体内，满足的点P构成个球，根据几何概型可知，的概率为．

故选：D.

8．C

【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.

【详解】若，则，

则是偶函数，故A错误；

若，则,则是偶函数，故B错误；

若，则，则是奇函数，故C正确；

若，则，

则是偶函数，故D错误.

故选：C

9．B

【分析】对函数求导，根据题意可得对恒成立，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】依题意得对恒成立，

即对恒成立．

因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，

所以，解得．

故选：B.

10．C

【分析】画出可行域，平移直线，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，求出的取值范围.

【详解】，满足约束条件，表示的平面区域，如图阴影部分所示：

联立，解得，即，

由图易得目标函数过点时，取最大值，没有最小值.

∴目标函数的取值范围是.

故选：C.

11．A

【分析】由时，求得，根据题意、结合三角函数的性质，得到，解得，进而求得的最小正周期.

【详解】因为函数，由，可得，

因为，当时，可得，

要使得在区间 内恰好存在两个不同的，使得，

则满足，解得，

所以的最小值为，则的最小正周期的最大值为．

故选：A.

12．C

【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解.

【详解】若，则，

因为，

所以，

因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，

所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明.

13．33

【分析】根据分层抽样的性质即可计算求解.

【详解】依题意可得乳制品类要被抽检样品的批次为．

故答案为：33.

14．（答案不唯一，方程满足且即可）

【分析】设所求圆的方程为，根据两圆外切可得a，b关系，随意取一组值即可.

【详解】依题意可设所求圆的方程为，根据两圆外切得两圆的圆心距为，即．

令，则，所求圆的方程可以为.

故答案为：（答案不唯一）

15．          5

【分析】第一空，由等差数列的概念先计算首项及公差，再根据等差数列的前n项和计算即可；

第二空，先得，再分解因数即可.

【详解】本题考查等差数列，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．

设公差为d，则，，

则，，

所以．若为整数，则n＋6＝7，8，14，28，56，即n＝1，2，8，22，50，故满足条件的n的值有5个．

故答案为：；5.

16．

【分析】根据题意，设，，则，，，，作出将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面时的平面图形，利用两角和的正弦公式得到，进而求解即可.

【详解】因为平面ABC，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，则．因为平面ABC，平面，所以，则PB＝5，．设，，，，，．如图，将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面，此时，

过A作于H，则AE＋DE的最小值为．

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；

（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.

【详解】（1）已知，由余弦定理可得，

即，又由正弦定理，得，

角A，B为△ABC中内角，所以.

（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，

①②③

已知，，求证.

证明：，中，，

解得.

①③②

已知，，求证.

证明：，所以中，.

②③①

已知，，求证：.

证明：，在中，由余弦定理，

，所以

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设与交于点，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可得答案；

（2）过作于，由面面垂直的性质定理可得为直线与平面所成的角，由求出、，再求圆锥体积可得答案.

【详解】（1）设与交于点，连接，

因为，为底面圆两条互相垂直的直径，所以为底面圆的圆心，

所以为圆锥的高，所以底面圆，

因为底面圆，所以，

又，，平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面；

（2）过作于，连接.

由（1）知平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以为直线与平面所成的角，则，

因为，所以，所以，

则，所以，

故该圆锥的体积为.

19．(1)

(2)，y与x之间存在较好的线性关系.

【分析】（1）根据表中数据计算人均可支配收入的年增长率即可；

（2）求出，再由已知求出，根据相关系数公式求出，

【详解】（1）因为广西2020年农村居民人均可支配收入为14815元,广西2019年农村居民人均可支配收入为13676元，

所以广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率为.

（2）

y关于x的线性回归方程为，所以，

所以，

，

所以，

所以，

故y与x之间存在较好的线性关系.

20．(1)①y＝－3x＋1；②有极大值，没有极小值，理由见解析

(2)．

【分析】（1）①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；

（2）法一、分离参数得，构造函数判定其单调性及极（最）值，即可得出结果；法二、半分离参数，将问题转化为，两函数在上有两个交点，利用导数的几何意义，结合图象分析即可.

【详解】（1）因为a＝0，所以，．

①由及，

得曲线在点处的切线方程为：y－（－2）＝－3（x－1），

即y＝－3x＋1．

②令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，没有极小值．

（2）法一、

由，得，

则．设函数，则．

令函数，易知在上单调递减，且，

所以当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，

则．由，，得，

故a的取值范围是．

法二、

由，得，

则．设函数，则．

设直线与曲线切于点，则，

整理得．令，易知其为增函数，且，所以a＝1．

直线y＝a（x＋1）过定点，当该直线经过点时，．

数形结合可知，当且仅当时，直线y＝a（x＋1）与函数的图象恰有两个交点，即在上恰有两个零点，

故a的取值范围是．

【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的处理方式常有：分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离参数，将问题转化为一个简单的含参函数与另一个简单的函数的交点问题.

21．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1) 设直线的方程为，代入点坐标得，代入椭圆方程求解即可；

(2) 设，可得直线的方程，代入椭圆方程可得点坐标，同理可得点的坐标，由，可得，再由斜率公式即可得的值，从而得证.

【详解】（1）解：设直线的方程为，因为点的坐标为，

所以.

将代入，得，

解得或，

所以点的横坐标为，纵坐标为.

故点的坐标为；

（2）证明：设，直线的方程为，

代入，得，

则，，

可得点的坐标为.

设，直线的方程为，

代入，得，

则，，

可得点的坐标为.

由，得.

因为，所以，则，

则.

故直线的斜率为定值.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．(1)

(2)

【分析】（1）先求出C的普通方程，再根据即可得解；

（2）先分别求出直线和直线的普通方程，联立直线和C的普通方程，求出两点的坐标，设，再根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由，得，

所以，即

所以C的极坐标方程为；

（2）的普通方程为，

由直线的极坐标方程为，得其普通方程为，

联立，解得或，

即直线与C的交点坐标为，不妨取，

设，

则，

所以当时，取得最小值.

23．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，利用柯西不等式可得，再结合已知解关于的一元二次不等式即可得证；

（2）利用基本不等式可求得的范围，构造函数，利用导数求出其最小值即可得解.

【详解】（1）由，得，

因为，

所以，当且仅当时取等号，

又，

所以，

即，解得，

所以；

（2）若，则，即，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

令，则，

所以函数在上递增，则，

因为，

所以的最小值为．