江苏省南通市2023届高三三模数学模拟试题

这是一份江苏省南通市2023届高三三模数学模拟试题，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南通市2023届高三三模数学模拟试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若“”为假命题，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为(    ).
A． B． C．1011 D．2022
3．平面向量，满足，，，则最大值是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
4．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（    ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为(    ).
A． B． C． D．
7．已知宽为的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为的细杆能水平地通过拐角，则另外一条走廊的宽度至少是(    ).
A． B． C． D．
8．函数，若方程只有三个根，且，则的取值范围是(    ).
A． B． C． D．

二、多选题
9．直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则(    ).
A．线段最短长度为 B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交 D．不存在，使取得最大值
10．正方体的边长为2，Q为棱的中点，点分别为线段上两动点(含端点)，记直线与面所成角分别为，且，则(    ).
A．存在点使得 B．为定值
C．存在点使得 D．存在点使得
11．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（    ）．
A．曲线W关于直线对称
B．曲线W关于直线对称
C．曲线W上的点的横坐标的取值范围为
D．曲线W上的点的横坐标的取值范围为
12．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数

三、填空题
13．随机变量，则__________.
14．已知函数在R上是增函数，则的最大值为_____________．
15．已知，则__________.

四、双空题
16．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则__________,实数m的取值范围是__________.

五、解答题
17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.
(1)①写出的分布列；
②证明：；
(2)某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
18．如图，在三棱柱中，.

（1）证明：平面；
（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.
（1）求和的通项公式;
（2）设数列的通项公式.
（i）求数列的前项和；
（ii）求.
20．已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
21．双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中．
(1)求的取值范围；
(2)证明：不可能是的三等分线.
22．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，证明：.

参考答案：
1．A
【分析】由题意可得“”为真命题，分离参数即可求解.
【详解】依题意知命题“”为假命题，
则“”为真命题，
所以，则，
解得，所以的取值范围为.
故选：A
2．A
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以

，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
3．B
【分析】设向量，的夹角为，由已知结合向量数量积的定义可得，结合向量夹角的范围可求.
【详解】解：设向量，的夹角为，
，，
，
，且
，
，
，
，
解可得，，即最大值是4．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题．
4．D
【分析】由题知，计算可得结果.
【详解】切比雪夫不等式的形式为：，
由题知，
则的具体形式为.
故选：D.
5．A
【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.
【详解】连接，，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等边三角形，为中点，
所以，又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是边长为的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形中，，连接，
所以，
设过点的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为：，所以此时面积为，
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为.

故选：A．
【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．
6．B
【分析】设出直线方程，通过联立抛物线与直线方程，求出以为直径的圆的圆心和半径，再求出的长度，利用的面积相等表示出的内切圆半径表达式，求表达式最小值即可.
【详解】由题意知，设直线的方程为，.
由得，，故，，.
，
以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到轴的距离为，
故.
设的内切圆半径为，由的面积公式得，，
即，故.
令，则且，
所以，
因为，所以在上单调递增；
当时，.
因此的内切圆直径最小值为.
故选：B
7．D
【分析】根据题意，画出图形，构造函数，利用函数导数解决即可.
【详解】由题意如图，设细杆与另外一条走廊一边的夹角为，

设另一走廊的宽度为，则，
,
所以，
所以，
令，
又，所以在上单调递增，
令，
且，所以在上单调递减，
所以，
故另外一条走廊的宽度至少是
故选：D.
8．D
【分析】利用已知条件，先讨论当时情况成立即得方程一根，然后讨论时，找出函数的奇偶性，利用函数的奇偶性来确定其他两根的关系，即可判断的取值范围.
【详解】由，，
所以，
①当时方程成立
②若时，化为：
，
令，
由定义域关于原点对称，
且，
所以为偶函数，图像关于轴对称，
所以与的两个交点对应的横坐标关于轴对称，
即方程的另外两根一定一正一负，
又，
所以，且，
所以，
故选：D.
9．CD
【分析】求出直线经过的定点，也可知直线斜率一定存在，结合弦长的几何求法可判断A；结合三角形面积公式以及l的位置可判断B；根据定点在圆内可判断C，结合圆周角和弧长之间的关系可判断D.
【详解】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；

的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
10．ABD
【分析】根据题意，作出图形，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，，由已知可推出，由此可判断A；结合数量积的坐标表示判断B；结合两点间的距离公式判断C；利用空间向量垂直的坐标表示判断D.
【详解】如图所示，在正方体中，以D为原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则，，
设，，其中，
作，，
可知平面，平面，
则，，，，
所以，，，
则，，
由知，，，
则，即，从而，
对于A，若，即，解得，满足题意，故A正确；
对于B，，为定值，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，，，
若，则，结合，
解得，，故D正确；
故选：ABD
11．BD
【分析】由特殊值结合对称性判断A；设点在曲线W上，证明点在曲线W上，从而判断B；，解不等式判断CD.
【详解】由，得．
对于A：因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确．
对于B：设点在曲线W上，则，
，
所以点在曲线W上，所以曲线W关于直线对称，B正确．
对于CD：由，得，解得或，C不正确，D正确．
故选：BD.
12．ABD
【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.
【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则
,
若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
,
所以,
即,故A正确;
由A，,
则,
即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,
所以是以为公比的等比数列,故B正确.
由B知,是等比数列,
所以,
即,
若最初有个桃子,即,
所以,故C错误;
根据题意:,
因为以为公比的等比数列,
所以,
化简得,
因为,且为正整数,
所以,
即必有的倍数,故D正确.
故选:ABD.
13．/
【分析】先求出，在求出，最后即可算出的值.
【详解】因为随机变量，
所以，
所以，
所以标准差，
故答案为：.
14．
【分析】对求导，由为上的增函数可知恒成立，由二次函数的性质可得，△，从而可得，两边同乘可得，利用换元法及二次函数的性质即可求得的最大值．
【详解】因为函数在上是增函数，
所以恒成立，
所以，△，
又，所以，
则由△，可得，两边同时乘以，
可得，
令，，则，
当时，取得最大值，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的基本性质以及最值的求法．
15．
【分析】先根据，得到，再由，
令 ，两边相加求解.
【详解】解： 因为，
所以，
令，得，
又，即，
令 ，两边相加得：，
故答案为：
16． /
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的表达式，根据其对称中心可求得，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数的图象关于点对称，
，即，
因为，则，
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即，且，；
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即且，故；
综上可得，，.
故答案为：；
【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m的范围，即可确定答案.
17．(1)①答案见解析；②证明见解析
(2)应该投资，理由见解析

【分析】（1）由题意，，，列出分布列即可；
列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；
（2）由（1），分析即得解
【详解】（1）①由题意，
故
分布列如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10











②，
记，
，
作差可得，，
则，即证.
（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应该投资.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.
（2）解法1通过作辅助线，找到直线与平面所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面的一个法向量，然后按公式计算即可.
【详解】（1）    证明：如图，连接

由，所以为等边三角形
因为，
所以，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解法1：如图，设E为的中点，连结，作于F.

因为平面，，所以平面，
又平面，所以.
在中，，
D为的中点，所以，又，所以平面.
因为，所以平面，所以，
又因为平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为.
在中，，
所以，所以.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
解法2：如图，以C为原点，以射线分别为x，y轴正半轴，建立空间直角坐标系，

则

因此，
.
设平面的法向量为，
由，得
可取.
设直线与平面所成角为，
则.
因此，直线与平面所成角的正弦值是.
【点睛】方法点睛：
证明线面平行的方法：（1）根据线线平行得到线面平行（线面平行判定定理）；（2）根据面面平行得到线面平行；（3）向量法；
线面角的一般求法；（1）根据定义找到线面角；（2）向量法.
19．（1），；（2）（i）；（ii）
【分析】（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式；
（2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和；
将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可．
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，是和的等比中项，
所以，即，
解得，因为是各项均为正数的等差数列，
所以，
故，
因为，所以，
两式相减得：，
当时，，，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）（i）解：，
所以
.
（ii）解：当为奇数时，
设
，
当为偶数时，
设，
，
所以，
故，
所以.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，以及运用分组求和法、裂项相消法和错位相减法求和，属于中档题．
20．(1)
(2)

【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；
（2）先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.
【详解】（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
.
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求得点，求出直线BE的方程，将该直线的方程与双曲线C的方程联立，求出点F的坐标，由可得出，进而可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围；
（2）计算得出，可得出，计算出，可得出，由此可证得结论成立.
【详解】（1）由题设得，、，
设点，由题意可得，

即，即，得，
则，
直线BE的斜率为，
所以直线BF的方程是，即，
联立，消去y可得，
直线BF与双曲线C有2个交点，则，
因为满足方程，
由韦达定理得，
解得，所以，得已经成立，
因此只需，因为，可得，
所以，
因为，所以，所以，可得，
所以的取值范围是；
（2）证明：由（1）可知，


，
所以，即，则，
因为，则，
则，
所以，因此AE不可能是的三等分线..
【点睛】难点点睛：本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系以及圆锥曲线中的综合问题，属于难题，解答时要明确题意，明确解题的思路，但难点在于计算的复杂性，并且计算量很大，并且基本上都是关于字母参数的运算，因此要十分有耐心才可以.
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）首先求出在处的切线方程，由此可构造函数，利用导数判断其单调性，从而证明，再分别令，采用累加法即可证明结论.
【详解】（1）由可得，
故，而，
曲线在处的切线方程为，
即.
（2）设在处的切线斜率为k，
由（1）得，
且，故在处的切线方程为，
设，
则，，
设，
因为 ，所以，仅在时取等号，
故在上单调递增，且，
故当时，，当时，，
故，即，
分别令 ，满足，
则
，
令，则，
即.
【点睛】关键点睛：要证明不等式，可分析观察其结构特点，可猜想到累加法，但关键的一步在于能想到和切线相关的不等式，即，因此需要先求得在处的切线方程，继而构造函数，利用其单调性或最值证明该不等式即可.