2022-2023学年贵州省铜仁市石阡县九年级（下）第五次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省铜仁市石阡县九年级（下）第五次质检数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如左图所示的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  “以节为媒兴文旅，佛顶迎春引客来”石阡县坪山乡佛顶山村一年一度的佬“敬雀节”举行期间，佛顶山村共计接待游客超万人次，实现旅游综合收入万元数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，，尺规作图痕迹可求出(    )

A.
B.
C.
D.

5.  函数中，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若∽，且：：，则与的面积比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

8.  在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为，由此可以推算出约为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  爱好运动的芮芮同学利用“微信运动”，连续记录了天的行走步数单位：万步，分别为：，，，，若这组数据的众数为，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，矩形的面积为，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数表达式是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，对于抛物线：与直线：为常数，针对的不同取值，三人的说法如下，
甲：无论为何值，与轴总有两个交点；
乙：无论为何值，与不会有交点；
丙：无论为何值，与总有两个交点．下列判断正确的是(    )

A. 只有甲错 B. 只有丙对 C. 甲、乙、丙都对 D. 甲、乙、丙都错

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是______ 投影填“平行”或“中心”

14.  如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是______ ．

15.  我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为______ ．

16.  如图，在平行四边形中，以为直径的与边的中点交于点，与对角线交于点，作，垂足为若，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
二次函数的一次项系数是______ ，它的图象开口向______ ；
某同学化简时出现了错误，她的解答过程如下：解：原式第一步第二步第三步；该同学的解答过程从第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ；请写出此题正确的解答过程，并求出当时原代数式的值．

18.  本小题分
为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生，对这些学生完成课后作业所用时间单位：小时进行了调查，并将调查结果分为，，，，五组同时，将调查的结果绘成了如下不完整的统计图表．

请你根据以上信息，解答下列问题：
表格中的 ______ ，扇形统计图中的 ______ ；
此次调查后，最终有甲、乙、丙、丁四名同学在完成时间和正确率上被评为“校级优秀作业”，现从这四名同学中挑选两名同学参加全市举行的“优秀作业”展评，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．

19.  本小题分
近几年来，新能源汽车已然成为汽车工业发展的主流趋势某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装生产开始后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

20.  本小题分
如图，在菱形中，于点，于点．
求证：；
分别延长、交于点，若，，求线段的长．

21.  本小题分
如图，是反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，且，一次函数的图象与轴交于点．
求，的值；
有一点，过点作轴的平行线，分别交一次函数和反比例函数的图象于点，，试判断线段与的倍数关系，并说明理由．

22.  本小题分
如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．
求无人机的高度结果保留根号；
求的长度结果精确到，参考数据：，，，．

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．

如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长；
若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长结果保留根号

25.  本小题分
如图，在中，，是线段上一动点不与、重合，连接，将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接点和点分别是边，的中点．
【问题发现】

如图，若，当点是边的中点时，______，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
【解决问题】
如图，若，当点是边上任意一点时不与、重合，上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
如图，若，，，在点运动的过程中，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用减去，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的上面看可得图形如下：
．
故选：．
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：万，
．
故选：．
根据科学记数法的定义即可得．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为，其中，为整数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
平分，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由得到，
解得：，表示在数轴上，如图所示：
，
故选B．
根据负数没有算术平方根求出的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求出，即可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形和平行线的性质的应用，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：∽，且：：，
，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
解得：．
故可以推算出约为．
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数为，
，
，
这组数据的中位数是，
故选：．
根据众数的定义，判断，再将这组数据从小到大排列，最中间的数是这组数据的中位数，即第个数为这组数据的中位数．
本题考查了众数和中位数的定义，根据众数的定义判断的值是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：
，
，
，
故选：．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，轴于，如图，
四边形为矩形，点为对角线的交点，
．
，
反比例函数的解析式为．
故选：．
过点作轴于，轴于，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义求解．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
令，则，
，
当时，，此时抛物线与轴只有一个交点，
甲的说法不正确；
令，
则，
，
，
又无论为何值，，
，
即，
无论为何值，与总有两个交点，
乙的说法不正确，丙的说法正确，
故选：．
利用二次函数的性质，抛物线与直线的交点的性质对三人的说法进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，抛物线与直线的交点，利用的值进行判断是解决此类问题常用的方法．
 

13.【答案】平行 

【解析】解：太阳光的光线可以看成平行光线，
晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与相交于点，
方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，
方程的解为，
故答案为：．
根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可．
本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
这个三角形的面积为；
故答案为：．
利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦--秦九韶公式计算三角形的面积．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，设与交于点，

是直径，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
设，则，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，设与交于点，由圆周角定理得，则，可得，再说明，利用∽，得，表示出的长，进而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用∽表示出的长是解题的关键．
 

17.【答案】  上  一  完全平方公式用错 

【解析】解：二次函数的表达式为，
一次项系数，二次项系数，
二次函数的图象开口向上，
故答案为：；上．
，
解答过程从第一步开始出现错误，完全平方公式用错，
故答案为：一；完全平方公式用错；
正确解答为：
原式

，
当时，原式．
根据二次函数表达式找出一次项系数和二次项系数，再根据二次项系数判断函数图象开口方向；
根据完全平方公式可判断第一步出现错误，再利用完全平方公式重新计算即可．
本题考查了二次函数的表达式及其图象与性质，完全平方公式及整式的化简求值，熟练掌握二次函数的表达式及其图象与性质，完全平方公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：组人占总数的，
调查的总人数为：人，
人，
，
；
故答案为：，；
列表如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为．
根据组的人数人，占总人数的，求出总人数，再用总人数乘以组所占的百分比即可求出，用组的人数除以总人数即可求得；
用列表法或树状图法列出所有等可能出现的结果，再找出选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，根据概率公式求解即可．
本题考查了扇形统计图和统计表的应用，用树状图法或列表法求概率，从统计图表中获取信息是解题的关键．
 

19.【答案】解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 

【解析】设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
．
于点，于点，
．
在与中，
，
≌，
，
，即；
解：四边形是菱形，
，，
．
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据菱形的性质可知，再根据，，可证得≌，则有，问题得解；
根据菱形的性质以及可证得是等腰直角三角形，再由勾股定理可求出，从而可求出答案．
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质．证明≌是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：是反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，且，
，即．
又图象位于第一象限，
，
．
一次函数的图象经过点，
，
解得．
．
理由：如图，过点作轴的平行线与两函数图象分别交于点，，

设，．
一次函数和反比例函数的表达式分别为，．
将代入，代入，
解得，，
，，
，，
． 

【解析】利用面积求出的值，将点坐标代入一次函数求出；
设，，将分别代入，，得，，得到点，的坐标，求出，，进而得到数量关系．
此题考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数的比例系数与面积的关系，正确掌握一次函数与反比例函数的综合关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，
，
在中，，
，
无人机的高度是；
过点作于点，则四边形是矩形，

，，
在中，，
，
，
，
隧道的长度约为． 

【解析】利用即可求出的长；
过点作于点，则四边形是矩形，得到再解直角三角形求得，进而利用即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形并解直角三角形，体现了数学中的方程思想与数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，即，
为直径，
是的切线；
解：如图，连接、交于点，连接，

是直径，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是的中位线，
，
，，，
，


． 

【解析】连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，进而得出，得出≌，得出，由平行线的性质得出，继而得出，即可证明是的切线；
连接、交于点，连接，由圆周角定理得出，，由，，得出是等腰直角三角形，，，
进而得出，由三角形中位线的性质得出，继而得出，，，求出，利用，将有关数据代入计算，即可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，扇形面积的计算，掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，扇形的面积公式，三角形面积公式等知识是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，解得，
木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．

在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
矩形的周长为．
，且，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．

如图是画出的切割方案：

在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
，
拼接后的矩形的长边长为． 

【解析】根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：设，
，，
是等边三角形，
，
点是边的中点，点是边的中点，
与重合，，，
，
由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，，
，
点是的中点，
，，
，
故答案为：，；
上述两个结论均成立，理由如下：
如图，连接、，
，，
为等边三角形，
是中点，
，
，
在中，，
，，
同理可得，，
，，
∽，
，，
，
综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为；
如图，连接、，
，，
是等腰直角三角形，
，，
同得：，∽，
，
，
是的中点，
，
，
，
当时，最小，
此时是等腰直角三角形，则，
即的最小值为．
设，证是等边三角形，得，，，则，再证是等边三角形，得，，则，然后由等边三角形的性质得，，即可得出结论；
连接、，证为等边三角形，则，再证∽，得，，则；
连接、，同得，∽，则，，再求出，当时，最小，此时是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及垂线段最短等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．