理科数学-2022年高考考前押题密卷(全国乙卷)(全解全析)

这是一份理科数学-2022年高考考前押题密卷(全国乙卷)(全解全析)，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前

2022 年高考考前押题密卷(全国乙卷) 理科数学·全解全析
一、选择题(本题共 12 个小题，每小题 5 分．满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)
1. 答案 B 解析 由题意，得集合 A＝{x∈R|x2＋x－6≥0}＝{x|x≤－3 或 x≥2}，集合 B＝{x∈R|lg(x－
1)<0}＝{x|1 2. 答案 C 解析 设 z＝bi，b∈R 且 b≠0，则 1＋i ＝bi，得到 1＋i＝－ab＋bi，∴1＝－ab，且 1＝b，
1＋ai
解得 a＝－1．故选 C．
3. 答案 B 解析 约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，

令 z＝x－2y，则 y＝1x－z，由直线截距的几何意义知，当直线 y＝1x－z经过 A (3，2)时在 y 轴上的截
2 2 2 2
距最大，此时 z 最小，所以 z 的最小值为 zmin＝3－2×2＝－1，即 x－2y 的最小值是－1．

4. 答案 D 解析 函数 f(x)＝(1－x2)sin x的定义域为 R．∵f(－x)


[1－(－x)2]sin(－x)＝－(1－x2)sin x＝



ex＋e－x
＝
e－x＋ex
ex＋e－x

－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除 A，B；对于 C，D，∵x＝1 是 f(x)＝0 的一个解，且当 00，排除 C．

5．答案 B 解析 ∵(x＋1)6＝[(x－1)＋2]6，∴展开式通项 T ＝Ck(x－1)6－k·2k，即由题设 a
对应 6－k

k＋1 6 4
＝4，则 k＝2，∴T ＝C2(x－1)4·22＝4·C2(x－1)4，即 a ＝4C2＝60．
3 6 6 4 6
6. 答案 D 解析 由题意知正态分布 N(20，σ2)的对称轴为 x＝20，又因为 P(19 3

5
＝1．故在每条生产线上各取一个零件，恰好有 3 个尺寸在区间(20，21]的概率为 P＝C3
3 2＝ 40 ．

1
3
2
3
3 243
7. 答案 B 解析 令 bn＝nan，则 2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为 b1＝1，b2＝4，所

以公差 d＝3，则 bn＝3n－2，所以 b18＝52，则 18a18＝52，所以 a18＝26．
9

8. 答案 C 解析 由函数图象知，A＝2，T
2
＝5π－
12
－ π
12 ＝
π，所以 T＝π，ω＝2π
2 T

＝2，所以 f(x)＝2sin(2x

5π，－2
＋φ)，因为函数图象过点 12

，所以 2sin
5π
2× ＋φ
12

＝－2，则

5π＋φ＝2kπ＋ 6

3π，k∈Z，解得φ＝2kπ 2


＋2π
3
，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝2π
3

，所以 f(x)＝2sin
2x＋2π
3

，将函数 f(x)的图象上所有点的横坐标变为

原来的2
3

，得到 f(x)＝2sin
3x＋2π
3

，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移

π，π 9 3
π个单位长度，得到 g(x) 6

3x＋π 2π


π π，7π



＝2sin
6 ，g(x)的最小正周期 T＝
，故 A 错误；当 x∈
3
时，3x＋ ∈ 2
6
6 ，此时 g(x)单调

递减，故 B 错误；令 3x＋π＝kπ＋π，k∈Z，则 x＝kπ＋π，k∈Z，当 k＝1 时，x＝4π，故 C 正确；因为
6 2 3 9 9

π＋π 9 6
2sin 3× ＝2，故 D 错误．
9. 答案 A 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)是 R 上的增函数，由题得 f(log3|m－1|)＋f(－1)<0，所以 f(log3|m－1|)<－f(－1)＝f(1)，所以 log3|m－1|<1＝log33， 所以|m－1|＜3，所以－3＜m－1＜3，所以－2＜m＜4，因为|m－1|>0，所以 m≠1，故 m∈(－2，1)∪(1， 4)．故选 A．
10. 答案 D 解析 根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边 AE 绕斜边AB 旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体 E－BCD 的体积有最大值和最小值，故①正确；要想使 AE⊥BD，就要使 AE 落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得 AE⊥BD，且满足是等腰直角三角形，所以②正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角 D－AB－E 的平面角为θ，则θ≥∠DAE，所以③是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P，则点 P 的轨迹为椭圆，所
以④正确．故正确的命题的个数是 4，故选 D．
→ → → →
11. 答案 A 解析 如图所示，不妨设点 A 位于第一象限，因为OP·OQ＝0，所以OP⊥OQ，



设 F2 为双曲线 E 的左焦点，连接 AF2，因为 O，P，Q 分别为 AB，AF，BF 的中点，所以 OQ∥AF， OP∥AF2，所以∠FAF2＝90°，所以|OA|＝|OF2|＝|OF|，所以∠AOF＝2∠AF2F，又直线 AB 的方程为 y
＝4x，所以 tan∠AOF＝4，所以 tan∠AOF＝tan 2∠AF F＝ 2tan∠AF2F ＝4，得 tan∠AF F＝1，所以
2 2
3 3 1－tan2∠AF2F 3 2
cos∠AF2F＝2 5，sin∠AF2F＝ 5，所以|AF2|＝|FF2|×cos∠AF2F＝2c×2 5＝4 5c，|AF|＝|FF2|×sin∠AF2F
5 5 5 5
＝2c× 5＝2 5c，由双曲线的定义可知|AF2|－|AF|＝2 5c＝2a，所以双曲线 E 的离心率 e＝c＝ 5．
5 5 5 a
12. 答案 A 解析 由题意得函数的定义域为 R．f(－x)＝－x·(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以
函数 f(x)是偶函数．当 x>0 时，f′(x)＝ex－ 1 ＋xex＋xe－x＋2x，因为 x>0，所以 f′(x)>0，所以函数 f(x)在(0，
ex
＋∞)上单调递增，因为函数 f(x)是偶函数，所以函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．如果 x>0，y>0，则 x＋y>0，因为 f(x)y>x＋y，与已知相符；如果 x>0，y<0，因为 f(x)f(x＋y)，与已知矛盾；如果 x<0，y>0，因为 f(x)x＋y>0，所以 f(y)>f(x
＋y)，与已知矛盾；当 x，y 之中有一个为零时，不妨设 y＝0，f(x＋y)＝f(x)，f(x) 二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分．满分 20 分)
13．答案 －1 解析 2a＋b＝(4，2m＋1)，∵b·(2a＋b)＝7，∴2×4＋2m＋1＝7，解得 m＝－1．
14. 答案 1 007 解析 由题意可知，an－2 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数，所以是 15 的倍数，即 an－2
＝15(n－1)，n∈N*，所以 an＝15n－13，当 n＝135 时，a135＝15×135－13＝2 012<2 021，当 n＝136 时，a136＝15×136－13＝2 027>2 021，故 n＝1，2，3，…，135，数列{an}共有 135 项，因此数列中间项为第 68 项，且 a68＝15×68－13＝1 007．故中间项的值为 1 007．
15. 答案 4 3 解析 如图所示，





由抛物线 C：y2＝8x，得 F(2,0)，准线为 x＝－2，因为直线 MF 的斜率为 3
，则倾斜角为
π，所以∠NMF 3

π π π 4



＝ ，且|MN|＝|MF|，所以∠NFM＝ ，得∠OFN＝
3 3 3
，所以|NF|＝
cos
π＝8 ，由于△FNM 为等边三角形，


3

故点 M 到直线 NF 的距离为 d＝8×sin π＝4 3．
3
16. 答案 3π 解析 如图，正四面体 ABCD 的棱长为 4，则正方体的棱长为 2 2，正四面体 ABCD 的外接球即正方体的外接球，设球心为 O，球的半径为 R，则 2R＝ (2 2)2＋(2 2)2＋(2 2)2＝2 6，
∴R＝ 6，cos∠OAB＝ AB ＝ ＝ 6，∵OA＝R＝ 6，AE＝1AB＝1×4＝1，∴OE2＝( 6)2＋12－
4
2 6
AM 3 4 4
2× 6×1× 6＝3，则截面圆的半径 r＝ R2－OE2＝ 6－3＝ 3，∴截面面积的最小值为 S＝πr2＝3π.
3
y ＝
三、解答题(本题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)

17. 解析
5
－
(1) x ＝
1
×(1
5
＋2＋3＋4＋5)＝3，－
1×(1.9＋2.2＋2.5＋2.9＋3.5)＝2.6．
5
5

∑ xiyi＝1×1.9＋2×2.2＋3×2.5＋4×2.9＋5×3.5＝42.9， ∑ x2＝1＋4＋9＋16＋25＝55，

i＝1
i＝1 i


5 － －

^
∑ xiyi－5x y
i＝1


42.9－5×3×2.6 ^



所以b＝ 5
－ ＝ ＝0.39，a＝2.6－0.39×3＝1.43，
55－5×32

i
∑ x2－5x2
i＝1

y
所以 y 关于 x 的线性回归方程为^＝0.39x＋1.43． 6 分
(2) 设每年新增高铁运营里程为 X 万千米，则 X 的取值为 0.3，0.4，0.6，由条件知 X 的分布列为

X
0.3
0.4
0.6
P
1
1
1
2
4
4
若 2025 年中国高铁运营里程小于 5 万千米，则 2022～2025 年每年新增的高铁运营里程有三种情况：

0.3×4，0.3×3＋0.4，0.3×2＋0.4×2．



相应概率为
4
1
2
4
＋C1
3 2 2
1
2
1
2
1
4
4
×
9
1＋C2 ＝ ，

4 32
所以 2025 年中国高铁运营里程大于或等于 5 万千米的概率为 1－ 9 ＝23． 12 分
32 32
18. 解析 (1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD．
∵PD⊥底面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴PD⊥AC．
∵BD，PD⊂平面 PDB，且 BD∩PD＝D，∴AC⊥平面 PDB．

又∵AC⊂平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 PDB． 6 分
(2)以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O－


xyz．

2
2
1，1，

设 AB＝1，则 PD＝ 2，且 B(1，1，0)，P(0，0， 2)．∴BP 的中点 E 2 2 ．


2
2
→ －1，1， → →
∵A(1，0，0)，C(0，1，0)，∴AE＝ 2 2 ，PC＝(0，1，－ 2)，BC＝(－1，0，0)．
→

n·PC＝0，
y－ 2z＝0，

设平面 PBC 的法向量为 n＝(x，y，z)，∵ →
∴
－x＝0，

n·BC＝0，
令 z＝1，则 y＝ 2，x＝0，得 n＝(0， 2，1)．

设直线 AE 与平面 PBC 所成角为θ，sin θ＝


→
→，n>|＝
→
＝ 6．
|AE·n |

|cos |AE||n| 3

∴直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6． 12 分
3


19．解析 (1)因为 f(x)＝12×

1＋cos 2x 2

－2 3sin 2x－5＝6cos 2x－2 3sin 2x＋1＝4 3cos
2x＋π
6 ＋1，

所以 f(x)的最小正周期为 T＝2π＝π．
2
2x＋π


2x＋π

因为－1≤cos
6 ≤1，所以 1－4 3≤4 3cos
6 ＋1≤1＋4 3．

所以函数 f(x)的值域为[1－4 3，1＋4 3]． 6 分
(2)由 f(A)＝－5，得 12cos2A＝4 3sin Acos A．
因为 A 为锐角，所以 3cos A＝sin A，则 tan A＝ 3，所以 A π
＝ ．
3
因为 A＋B＋C＝π，所以 C＝2π－B．
3

由正弦定理，得 a
＝ b ＝ c

3
＝ ＝2，


sin A
sin B

sin C
sin π 3

B＋π
6
3sin B＋ 3cos B

2π－B
3
所以 a＋b＋c＝ 3＋2 sin B＋sin
＝2 2
2 ＋ 3＝2 3sin
＋ 3．

因为△ABC 为锐角三角形，所以 0

π，则π


＝ B<
2 3 2

B＋π
6
3
 6 2 3 6 3

∴ ≤1，则 3＋ 3

所以△ABC 周长的取值范围是(3＋ 3，3 3]． 12 分
20．解析 (1)抛物线 x2＝8y 的焦点 B 的坐标为(0，2)．
1 ＋2＝1，

x2 y2 m n


m＝2，

将点 A(－1， 2)，B(0，2)代入 ＋ ＝1，得
m n
0 ＋4＝1，解得 n＝4.

m n
y2 x2

所以该圆锥曲线的标准方程为
＋ ＝1． 4 分
4 2

(2)由(1)可知该圆锥曲线为椭圆，且 D( 2，0)，E(0，2)．


设 P(x0，y0)，x0≠ 2，y0≠2，则直线 PD：y＝

－ 2y
(x－ 2)，

y0
x0－ 2
0
2＋ 2y0

令 x＝0，得 M 点的纵坐标 yM＝ 0，所以|EM|＝|
x － 2|．

x0－ 2

y －2


－2x
2＋ 2x0


直线 PE：y＝ 0
x0
x＋2，令 y＝0，得 N 点的横坐标 xN＝
0，所以|DN|＝|
y0－2
y0－2|．

| 2＋ 2x0
| |2＋ 2y0 |
| 2y0－2 2＋2x0| |2x0－2 2＋ 2y0|

所以|DN|·|EM|＝
y0－2 ·
x0－ 2 ＝
y0－2
· x0－ 2

0
x0y0－2x0－ 2y0＋2 2 |
( 2y0＋2x0)－2 2 ( 2y0＋2x0)－2 2 2(y2＋2x2－4y0－4 2x0＋2 2x0y0＋4)

＝| y0－2
·
x0－ 2
y2 x2


|＝|
0
．

因为点 P 在椭圆上，所以 0＋ 0＝1，即 y2＋2x2＝4，
0 0
4 2
＝4 2，
|2(4－4y0－4 2x0＋2 2x0y0＋4)| |2(－4y0－4 2x0＋2 2x0y0＋8)|

所以|DN|·|EM|＝
x0y0－2x0－ 2y0＋2 2
＝ x0y0－2x0－ 2y0＋2 2

故|DN|·|EM|为定值． 12 分
21．解析 (1)由已知得 f′(x)＝ex＋a(sin x＋xcos x)，而 f′(0)＝1，f(0)＝1，
故 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1＝x，即 x－y＋1＝0． 4 分
(2)当 a＝－2 时，由题意得 g(x) ex 2sin x，x∈(0，π)，则 g′(x)＝x－1ex－2cos x，
＝ －
x x2

令φ(x)＝g′(x)，则φ′(x)＝ x2－2x＋2
e22－1
ππ
1，π
2
x3

ex＋2sin x>0，∴g′(x)在(0，π)上单调递增，




π
2
∵g′(1)＝－2cos 1<0，g′ ＝
π2 >0，∴∃x0∈ 4
，使 g′(x0)＝0，

∴当 x∈(0，x0)时，g′(x)<0，即 g(x)在(0，x0)上单调递减， 当 x∈(x0，π)时，g′(x)>0，即 g(x)在(x0，π)上单调递增，

1，π
2
∴g(x)在(0，π)上有唯一极小值点 x0 且 x0∈ ，∴g(x0)

1，π
2
ex ex(x－1)


ex 1，π



设 h(x)＝
x
，x∈
时 h′(x)＝
>0，则 h(x)＝ 在
x2 x
2 上单调递增，


∴h(x0)＝
ex0
x0

>h(1)＝e，



ex0

又∵－2sin x0∈(－2，－2sin 1)，∴g(x0)＝
x0
－2sin x0>e－2，


综上，e－2 22．解析 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为ρ2cos2 θ＝aρsin θ，
由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝ay(a＞0)．
由直线 l 的参数方程得直线 l 的普通方程为 x＋y－1＝0． 5 分

x＝2－ 2t，
2
2
(2)把直线 l 的参数方程
y＝－1＋ t


代入曲线 C 的直角坐标方程，

2
得 t2－(4 2＋ 2a)t＋(8＋2a)＝0 ①，
Δ＝2a2＋8a＞0．
设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1，t2 恰为方程①的两根，

∴t1＋t2＝4 2＋ 2a＞0，t1t2＝8＋2a＞0，∴t1＞0，t2＞0． 易知|MN|＝|t1－t2|，|PM|＝t1，|PN|＝t2．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴(t1－t2)2＝t1t2，则(t1＋t2)2＝5t1t2．
∴(4 2＋ 2a)2＝5(8＋2a)，解得 a＝1 或 a＝－4(舍去)，∴a＝1． 10 分
23．解析 (1)3＋1＋1＝(3＋1＋1)3x＋y＋4z≥1( 3×3x＋ 1×y＋ 1×4z)2＝4．
x y z x y z 9 9 x y z
当且仅当 3x＝y＝2z 时等号成立．所以 m＝4． 5 分
(2)当 a＞1 时，|x－1|＋a|x－8|＝|x－1|＋|x－8|＋(a－1) |x－8|≥|x－1|＋|x－8|≥7， 而 7≥4 成立，故 a＞1．
当 0＜a≤1 时，|x－1|＋a|x－8|＝a|x－1|＋a|x－8|＋(a－1) |x－1|≥a|x－1|＋a|x－8|≥7a，
≥
所以 7a≥4 成立，故 a 4．
7
综上，正实数 a 的取值范围为[4，＋∞)． 10 分
7