2022年高考数学临考押题卷（三）（新高考卷）含答案

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2022年高考临考押题卷（三）
数学（新高考卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足．则（       ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（       ）

A．3 B．4 C． D．6
4．设函数，，，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分面积是（       ）
A．6 B．8 C．7 D．9
5．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（       ）
A． B． C． D．
6．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（       ）．

A．190 B．199 C．69 D．60
8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针转角得到向量，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
10．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（       ）

A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
11．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是（       ）.
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则
D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为
12．如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（       ）

A．MN和BC不可能平行
B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是，则
D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π

第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.
14．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于___________.
15．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm．
16．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．




四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． （本小题10分）
已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.







18． （本小题12分）
羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.






19． （本小题12分）
在中，角的对边分别，.
(1)求；
(2)若的周长为4，面积为，求.






20． （本小题12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱








21． （本小题12分）
已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.
























22． （本小题12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)若，是两个正数，且，证明：.

2022年高考临考押题卷（三）
数学（新高考卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
二、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为集合，
所以，
故选：B.
2．已知复数z满足．则（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
，所以.
故选：D
3．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（       ）

A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【详解】
在图1中，
在图2中，，
.
故选：A.
4．设函数，，，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分面积是（       ）
A．6 B．8 C．7 D．9
【答案】C
【详解】
图象，如图1，把的图象向下平移一个单位长度，再把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图2，再把的图象向下平移2个单位长度，在把把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图3，则与轴所围成图形中的封闭部分面积为


故选：C
5．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】

，
由，可得，当时，，
故函数的图象关于点对称，
由等差中项的性质可得，
所以，数列的前项和为.
故选：D.
6．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N,则 ,

故，故 ,
而x轴，故,
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
7．如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（       ）．

A．190 B．199 C．69 D．60
【答案】C
【详解】
在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，
当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，
所以最多可以钻的孔数为个．
故选：C
8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，
所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．
故选：B

三、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针转角得到向量，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
以,为邻边作平行四边形，则，即，
故，即不正确，正确；

∵,
∴可设，
又∵，
∴由余弦定理得,
即正确；
∵, ∴四边形为菱形，
又∵，，
故，即正确.
故选：.
10．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（       ）

A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
【答案】BC
【详解】
根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.
根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.
学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项正确.
从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.
故选：BC
11．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是（       ）.
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则
D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为
【答案】ABD
【详解】
由，得，则圆心，半径为1，
对于A，圆关于x轴的对称圆的方程为，所以A正确，
对于B，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点，因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即，所以B正确，
对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，
因为，所以，所以C错误，
对于D，设，，则圆心到直线的距离为
，，
所以，
所以当，即时，面积取得最大值，所以D正确，
故选：ABD

12．如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（       ）

A．MN和BC不可能平行
B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是，则
D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π
【答案】AD
【详解】
对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；
对于B，当不在平面中时，
若，因为，，
故平面，而平面，故平面平面，
过作，垂足为，因为平面平面，
平面，故平面，而平面，
故，故，矛盾，
当当在平面中时，也不成立，故B错误.

对于C，因为在未旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是，即CD与旋转后的所成角为，如下图.当△ACD旋转到，即在平面ABCD内，此时因为，则，所以， AB和CD所成角是，即和CD所成角是.此时旋转到，取AC的中点，连接，则，所以，则在三角形中，
，所以C错误 ；

对于D，因为，所以的外接圆的圆心在的中点上，在中，因为，所以为钝角三角形，则外接圆的圆心在外，则的中垂线和的中垂线的交点即为，过做平面的垂线，过做平面的垂线，两垂线的交于点，与重合，即即为外接球的球心，则，
则，，所以，则三棱锥的外接球的表面积是，所以D正确.
故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.
【答案】或
【详解】
因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为或
故答案为：或．
14．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于___________.
【答案】##
【点睛】
双曲线的渐近线方程为，即，
圆的圆心为，半径为2，
因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
所以，即，
所以，，
所以，则，
所以离心率，
故答案为：
15．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm．
【答案】
【详解】
设弯成圆的一段铁丝长为，则另一段长为100－x．
设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长，圆的半径．
故．
所以，
令S′＝0，则x＝．
由于在内，函数只有一个导数为的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝cm时，面积之和最小．
故答案为：.
16．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．

【答案】         
【详解】
解：第一个三角形的周长为，观察发现：
第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的，第三个在第二个的基础上多了其周长的，
所以第二个图形的周长为，
第三个图形的周长为，
第四个图形的周长为，
……，
所以第个图形的周长是第一个周长的倍，所以第个图形的周长为，
由题意可知，第个图形的边长都相等，且长度变为原来的，则边长的递推公式为
，，所以，
边数的递推公式为，，则，
第一个图形的面积为,
当时，
，
则

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【解析】
(1)解：选条件①：，，得，
所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
18．羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)

2
3
4





期望
【解析】
(1)恰好打了6局小胡获胜的概率是，
恰好打了6局小李获胜的概率为，
所以结束时恰好打了6局的概率为.
(2)的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：

2
3
4





所以.
19．在中，角的对边分别，.
(1)求；
(2)若的周长为4，面积为，求.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以,
所以
又，故，
所以，即；
(2)解：由余弦定理，得，
即，又，
所以，
即
整理得，
由面积为，即，
所以，.
20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且二面角的大小为，求．
【答案】(1)证明见解析 (2) 2
【解析】
(1)证明：因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
(2)取的中点，
因为为等边三角形，所以，
过作∥，与交于，则，
由（1）可知平面，
因为平面，所以，
所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为是边长为1的等边三角形，为的中点，
所以，
因为三棱锥的体积为，
所以，所以，
所以，
设（），则，则
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，

21．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见详解．
【解析】
(1)离心率为，则∴
又∵点是椭圆上一点，∴，又
解得
因此，椭圆的方程为
(2)证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点
联立，得，
则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线AB的距离为，
因为
且
所以（定值），
综上述四边形ABCD的面积为定值．
22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)若，是两个正数，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
(1)解：，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，
解得
所以
(2)解：由（1）知，
令，
所以，
所以函数在上单调递增，
因为，是两个正数，且
所以，
不妨设，
当时，命题显然成立，得证.
当时，令
所以
所以当时，，故
所以函数在上单调递增，
所以即
所以，
因为，所以
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即.
综上，，证毕.