湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

湖北省部分省级示范高中

2022-2023学年第二学期期中质量检测

高二年级  数学试题

考试时间：2023年4月

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知函数，则（    ）

A. B.0 C.1 D.3

2.命题“”是命题“直线与直线平行”的（    ）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

3.设数列是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则（    ）

A. B. C. D.

4.2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（    ）

A. B. C. D.

5.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

6.设计师需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果.设计者按每次点亮时，恰有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，不同点亮方式的种数是（    ）

A.28 B.84 C.180 D.360

7.椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

8.已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部答对得5分，部分答对得2分，答错不得分）

9.已知函数，则（    ）

A.函数在上单调递增 B.有三个零点

C.有两个极值点  D.直线是曲线的切线

10.直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A.抛物线的焦点坐标为 B.的最小值为4

C.对任意的直线， D.以为直径的圆与抛物线的准线相切

11.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（    ）

A.平面

B.四棱雉的外接球的表面积为

C.与平面所成角的正弦值为

D.点到平面的距离为

12.在数学课堂上，老师引导学生构造新数列.在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，，2，记，数列的前项和为，则（    ）

A. B. C. D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知实数，满足，则直线必过定点______.

14.甲袋中有3个白球、3个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为______.

15.已知为数列的前项和，，.则数列的通项公式为______.

16.若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为______.

四、解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）

17.（本小题10分）

（1）已知二项式展开后的第3项和第8项的二项式系数相等，求展开式的常数项；

（2）已知，求的值.

18.（本小题12分）

已知数列为递增的等差数列，其中且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数.

19.（本小题12分）

已知圆.

（1）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；

（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.

20.（本小题12分）

如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于60°.

（1）求证：平面；

（2）在棱上存在一点满足，使得二面角的余弦值为，求实数的值.

21.（本小题12分）

已知双曲线的焦距为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）点是双曲线右支上的动点，设直线是双曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值.

22.（本小题12分）

已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数有两个不同的零点，，且.若不等式恒成立，求正实数的取值范围.

2022-2023学年第二学期期中质量检测

高二年级数学参考答案

单项选择题  1.C   2.A   3.B   4.A   5.D   6.A   7.D   8.C

多项选择题  9.CD   10.BCD   11.ACD   12.ABD

填空题  13.   14.   15.   16.

17.解：（1）由题可知：即

该二项式展开的通项为

令得   ∴常数项为......................5

（2）令得：①

令得：②

①+②得：即

令得：

①-∴......................10

18.（1）......................4

（2）......................6

∴......................9

又∵，......................10

要使恒成立，只需要

∴......................11

∴的最小正整数为2......................12

19.解：（1）根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，

此时直线与圆的交点为，，，符合题意；.......................2

当直线的斜率存在时，设其方程为，即，

则圆心到直线的距离，解得，

所以直线的方程为，

综上，直线的方程为或；.......................6

（2）如图，为圆的切线，连接，，则，

所以为直角三角形，即...................8

设，由（1）知，，

因为，所以，

化简得点的轨迹方程为.......................12

20解：（1）取的中点，连，，易得且

∴异面直线和所成角即为

设则，，

∴为等边三角形，即   ∴.....................3

利用勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理得证.....................5

（2）在四棱锥中，已知底面，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，．

由（1）知：是平面的一个法向量，且.....................6

由，设，

则，解得，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，.....................9

∵二面角的余弦值为，

∴，

（2）解得或（不合题意）  ∴.....................12

21.解：（1）双曲线的焦点到渐近线渐近线的距离为

又，则，

解得，，

则双曲线的方程为：.....................5

（2）证明：当直线斜率不存在时，易知此时，

直线：，不妨设，，；.....................6

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，

故，

设直线与轴交于，则，

，........9

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，

同理可得，

则．

综上，即有面积为定值2．........12

22.解：（1）

当时，恒成立，此时函数在内单调递增....................2

当时，令得，

此时在区间上单调递增，在区间上单调递减....................5

（2）∵函数有两个不同的零点且，

∴，两式相除得，∵，∴

∴

若证不等式恒成立，即证，

即证在上恒成立.....................7

令，

，令，则，.....................8

①时，，∴在上单调递减，

∴，∴在为单调递增函数，

，∴满足条件．.....................10

②时，当时，，∴在上为单调递增函数，

∴，∴在上为单调递减函数．

∴，

∴不满足条件，舍去．

综上，正实数的取值范围．.....................12