湖北省黄冈市外国语学校2022-2023学年高一数学下学期期中联考模拟试题（Word版附答案）

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黄冈外国语学校（湖北省黄州中学）2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考难度适应性模拟

高一数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，，则(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或

2.  已知复数，则“”是“为纯虚数”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  若集合，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  若角为三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状为(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形

5.  鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重，口长，口宽，连耳高，厚，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身足的高度之比约为：：据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，，其中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的部分图象如图所示，的图象的对称轴方程可以是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  在中，角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下面关于的表述正确的是(    )

A. 点与点之间的距离 B. 点与点之间的距离
C. 点到原点的距离 D. 坐标为的向量的模

10.  函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 函数在区间上是单调递增的
C. 若，则
D. 是函数图象的一条对称轴

11.  给出下列命题，其中正确的是(    )

A. 幂函数图象一定不过第四象限
B. 函数的图象过定点
C. 是奇函数
D. 函数有两个零点

12.  已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则(    )

A. 是周期为的周期函数 B. 的值域为
C. 是图象的一条对称轴 D. 的图象关于点对称

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在区间上随机地选择一个数，则使函数有最小值的概率为             ．

14.  已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是            ．

15.  若，则______．

16.  在边长为的等边三角形中，，则等于______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
 已知函数 其中，为常数且，的图象经过点，．

求的解析式；

若不等式上恒成立，求实数的取值范围．

19.  本小题分
己知椭圆的上、下顶点分别为、，已知点在直线：一上，且椭圆的离心率．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点直线交直线，于点，为线段的中点，求的值．

20.  本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，
，，_____，求的值．

21.  本小题分
如图，是的直径，，为上的点，是的角平分线，过点作交的延长线于点，，垂足为点．
求证：是的切线；
求证：．

22.  本小题分
已知函数，且．
求的值；
试判断函数在上的单调性，并给予证明；
求函数在的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了交集的定义与运算问题，熟练掌握交集的定义是解题的关键．
由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【解答】
解：集合，，且，
或，
解得：或或，
由元素的互异性得不合题意，舍去，
则或．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：若，
则，
故是纯虚数，是充分条件，
反之，若是纯虚数，
则不一定是，比如也可，
不是必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查纯虚数的定义，是一道基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，可得，解得．
是“”的充分不必要条件，
故选：．
由，可得，解得，即可判断出结论．
本题考查了集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的形状的判断，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
直接利用两角和的正弦函数，化简等式的左侧，利用角的范围判断即可．
【解答】
解：角为三角形的一个内角，，
如果，；
，，．
，
是钝角，
三角形是钝角三角形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知鼎的器腹容积约为，
与选项C，最贴近，
故选：．
根据题中的条件，将鼎的长、宽、高表示出来，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
利用向量的模的运算法则，化简求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
根据图象求出，和，即可求函数的解析式，即可得的解析式，从而求解对称轴方程，可得答案．

【解答】

解：由函数的图象可得，，
设函数的最小正周期为，
则有，解得，
所以，
又因为函数的图象过点，
所以，
则有，，
即，，
又因为，所以，
所以，
又因为函数图象过点，
且，即，
所以有，
即，
则有或，，
即或，，
又因为，所以，
所以，
令，，
解得，，
所以函数的图象的对称轴方程为，，
综合四个选项可知，只有项符合题意。
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积．着重考查了正余弦定理、向量数量积公式和三角形面积公式等知识，属于中档题．
由余弦定理，算出，从而得到根据向量数量积的公式，结合算出再利用正弦定理的面积公式，即可算出的面积．
【解答】

解：中，，
，可得，
结合为三角形内角，可得
，
，得
因此，的面积
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：设，，则，在复平面表示的点分别为，，
所以是点与点之间的距离．
故选项A正确，选项B错误；
，故选项C正确；
设，则，故选项D正确．
故选：．
可先将和与复平面内的点一一对应，再利用复数的模长公式进行计算，再逐一判断四个选项即可．
本题考查了复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，，，即，，
又，．
由五点作图法可得，，故A错误；

时，，
所以函数在区间上是单调递增的，故B正确；
若，则，所以，
所以，故C正确；
时，，不是最值，
故不是函数图象的对称轴，故D错误．
故选：．
由函数的最值可求得，由可求得，再由五点作图法可求得，从而可求得的解析式，再由三角函数的性质逐一判定即可．
本题考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象及单调性、对称性等性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质．
根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可．

【解答】

解：根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A对；
函数，
令，可得，代入可得，图象过定点，故B对；
令，定义域为，
因为，且的定义域关于原点对称，
所以是奇函数，故C对；
函数的零点可以看成函数与的交点问题，
易知两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故D对；
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以，
所以，
故，
所以是周期为的周期函数，故选项A错误；
由题意可知，的图象如图所示，
由的图象可得的值域为，
其中是函数图象的一条对称轴，
的图象关于点对称，故选项B，，D正确．
故选：．
利用函数的奇偶性以及已知的恒等式，变形可得，从而得到的周期，即可判断选项A，然后作出函数的图象，由图象判断选项B，，即可．
本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性以及周期性、对称性的理解和应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，

即

根据几何概率公式：，

故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的定义与向量投影的应用问题，是基础题，根据平面向量数量积与向量投影的定义，计算即可．

【解答】

解：则向量在向量方向上的投影为： ，

，

故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：

故答案为：
首先进行化切为弦，通分整理，分子和分母用二倍角公式并且都进行因式分解，约分以后，分子分母再同除以角的余弦，完成把弦化切的过程，得到结果．
本题考查三角函数的化简求值，本题解题的关键是看出弦切互化，利用同角的三角函数的关系来完成简化的目的，本题是一个中档题目．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
，
故选C．
由题意可得，，，利用两个向量的数量积的定义求出的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得，，，是解题的关键，属于中档题．
 

17.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】本题考查了对数和指数的运算，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
根据对数的运算法则求解即可；
根据指数的运算法则求解即可．
 

18.【答案】解：根据题意可得 ，

，，
；
设 ，则在上为减函数．
当时 ，
 在上恒成立，
，
 ，

  
的取值范围为： ．

【解析】将点的坐标，代入函数解析式，即可求得的解析式；
求出在上的最小值，不等式在上恒成立，转化为，从而可求实数的取值范围．
 

19.【答案】解：Ⅰ且点在直线：一上，
，
又，
，
椭圆的标准方程为；
Ⅱ设，，则，且，
为线段的中点，，
，直线的方程为：，
令，得，
，为线段的中点，，
，，




 

【解析】Ⅰ通过点在直线：一上，得，再根据及、与之间的关系，易得，从而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ设，，则点满足椭圆方程，根据题意，易得、，计算即可
本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．
 

20.【答案】解：在中，因为，
所以根据正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
选择，由余弦定理，得，
解得舍去，
选择，，
所以
所以，即，
则，
解得，
选择，，因为，
所以由，得． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
根据正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得．
选择，由余弦定理得，即可解得的值．
选择，利用三角形的面积公式化简已知等式可得，可求的值，即可求的值．
选择，由已知利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据正弦定理可求的值．
 

21.【答案】证明：连接，
，
是的角平分线，
，
分
，
，即是的切线．分
连接，在中，，．
又是的切线，．
，，
≌，，
分 

【解析】证明是的切线，就是要证明，根据，我们只要证明；
首先，我们可以利用射影定理得到，再利用切割线定理得到，根据证明的结论，只要证明．
几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．
 

22.【答案】解：把代入得，解得，故的值为；
在上是减函数．
证明：设任意两数，，且，
则，
，，，
，，
函数在上是减函数；
由可知函数在上是减函数，
的最小值为，最大值为． 

【解析】把代入求得值即可；
根据单调性定义证明即可；
结合函数单调性可求得函数在的最大值和最小值．
本题考查函数解析式求法、函数单调性定义及函数值域，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．