初中数学4.3 一次函数的图象第2课时教案

4.3   第2课时　一次函数的图象和性质

一、教学目标

1．会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质；(重点)

2．理解y＝kx＋b与y＝kx直线之间位置关系．

二、教学重难点

重点：会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质.

难点：会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质.

三、教学过程

（一）情境导入

1．什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？

2．正比例函数的图象是什么形状？

3．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？

既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系？

（二）合作探究

探究点一：一次函数的图象

【类型一】 一次函数图象的画法

例1： 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象．

(1)y＝2x－1;  (2)y＝x＋3；

(3)y＝－2x;  (4)y＝5x.

解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．

解：(1)一次函数y＝2x－1图象过(1，1)，(0，－1)；

(2)一次函数y＝x＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；

(3)正比例函数y＝－2x的图象过(1，－

2)，(0，0)；

(4)正比例函数y＝5x的图象过(0，0)，(1，5)．

方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．

【类型二】 判定一次函数图象的位置

例2： 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x＋k的图象大致是(  )

解析：∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，∴k>0，∵一次函数y＝2x＋k的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数y＝2x＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.

方法总结：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0，图象必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象必经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．

探究点二：一次函数的性质

【类型一】 判断函数的增减性和图象所经过的象限

例3： 对于函数y＝－5x＋1，下列结论：

①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是(  )

A．0   B．1   C．2   D．3

解析：∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(－1，5)不在此函数的图象上，故①错误；∵k＝－5＜0，b＝1＞0，∴

此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4，又k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜－4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③，故选B.

方法总结：一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

【类型二】 一次函数的图象与系数的关系

例4： 已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1.

(1)m为何值时，图象过原点；

(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；

(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；

(4)图象过第一、二象限，求m的取值范围．

解析：(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；

(2)根据y随x增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；

(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；

(4)根据图象过第一、二象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．

解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1；

(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；

(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m＋1＞0，即m＞－1；

(4)∵图象过第一、二象限，∴m＋1>02m－2<0，解得－1＜m＜1.

方法总结：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二象限是解答此题的关键．

探究点三：一次函数图象的平移

例5： 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，

则下列平移作法正确的是(  )

A．将l1向右平移4个单位长度

B．将l1向左平移4个单位长度

C．将l1向下平移4个单位长度

D．将l1向上平移4个单位长度

解析：由直线y＝－2x与y轴的交点为(0，0)，再求直线y＝－2x＋4与y轴的交点为(0，4)，所以可得y＝－2x向上平移4个单位长度得到y＝－2x＋4；y＝－2x与x轴的交点为(0，0)，y＝－2x＋4与x轴的交点为(2，0)，所以可得y＝－2x向右平移2个单位长度的到y＝－2x＋4，故选D.

方法总结：求直线平移后的解析式时，可求出平移前后的直线与x轴、y轴的交点的坐标．再根据点的坐标的变化得出直线的平移．

探究点四：一次函数的图象与坐标轴形成的图形的面积

例6： 一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？

解析：(1)x轴上所有点的纵坐标均为0；y轴上所有点的横坐标均为0；

(2)利用(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度；然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．

解：(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2；∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点A的坐标为(2，0)；令x＝0，得y＝4.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点B的坐标为(0，4)；

(2)S△AOB＝21·OA·OB＝21×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.

方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图

象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可得出面积．

（三）板书设计

一次函数的图象与性质

1．一次函数的图象

2．一次函数的性质

3．一次函数图象的平移规律

四、教学反思

本节课，学生活动设计了三个方面．一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状；二是两点法画一次函数的图象；三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性，值得老师们探讨．为了达到上述目的，可结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生的目标明确了，操作性强，就能收到较好的效果.