宁夏2021年中考数学试卷【含答案】

2021年宁夏中考数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．下列各数中，比﹣3小的数是（　　）

A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣4

2．如图所示三棱柱的主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布数据显示，与2010年第六次全国人口普查相比，增加7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%，我国人口10年来继续保持低速增长态势．7206万用科学记数法表示为（　　）

A．7.206×106 B．7.206×107 C．0.7206×108 D．72.06×106

4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：

则本次调查中视力的众数和中位数分别是（　　）

A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9

5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2

6．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

7．如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

9．分解因式：m2n﹣n3＝　              　．

10．已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝　       　．

11．计算：|﹣3|﹣（）﹣1＝　              　．

12．某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作S甲2，S乙2，则S甲2　   　S乙2（填“＞”、“＝”、“＜”）．

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　   　．

14．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 　                　．

15．在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　   　m．（结果精确到1m）．

（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）

16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 　                  　．

三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

17．在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．

（1）画出线段AB和A1B1；

（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过路径长．

18．化简求值：（）÷，其中a＝+1．

19．解不等式组：．

20．学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．

（1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？

（2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？

21．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F．求证：AE∥CF．

22．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　     　人；

（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 　       　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）

23．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM．

（1）求证：直线BF与半圆O相切；

（2）若已知AB＝3，求BD•BC的值．

24．如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），过点C（0，2）的直线l∥x轴，分别交AO、AB于D、E两点．反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与线段AB相交于点M，将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）求点M的坐标．（结果保留根号）

25．阅读理解：

如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得到以下结论：＝．

拓展应用：

（1）如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？

（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．

①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：

若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；

②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？

26．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．

（1）求k的值；

（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒．

①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？

参考答案

1．D．

2．C．

3．B．

4．B．

5．D．

6．A．

7．B．

8．A．

9．n（m+n）（m﹣n）．

10．解：如图所示：

由题意得∠CAB＝30°，

∵a∥b，∠1＝43°，

∴∠DAB＝180°﹣∠1＝137°，

∵∠DAB＝∠2+∠CAB，

∴∠2＝∠DAB﹣∠CAB＝107°．

11．解：原式＝3﹣﹣3

＝﹣．

12．解：观察平均气温统计图可知：甲地的气温比较稳定，波动小；故甲地的气温的方差小．

所以S甲2＜S乙2．

13．解：连接OA，OC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ADC＝150°，

∴∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，

∴OA＝AC＝2，

即⊙O的半径为2．

14．解：如图，设大正方形的边长为2，则GE＝1，E到DC的距离d＝，

阴影区域的面积为：1×＝，

大正方形的面积是：22＝4，

所以小球最终停留在阴影区域上的概率是＝．

15．解：如图：

由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形，

∴AB＝EF＝0.45m，OC＝ED＝1.7m，

设OE＝xm，AE＝BF＝ym，

在Rt△AOE中，tan42°＝，

∴，

在Rt△BOF中，tan35°＝，

∴，

联立方程组，可得，

解得：，

∴AD＝AE+ED＝≈3（m），

16．解：∵点A的坐标是（1，1）若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，

∴旋转360°÷45°＝8次为一个变化周期，

2021÷8＝252......5，

∴A2021的坐标与第五次旋转后A5的坐标相同，

如图：

∵A点坐标为（1，1），

∴OA5＝OA＝

∴A5的坐标为（﹣，0），

即A2021的坐标为（﹣，0）

17．解：（1）如图，线段AB和A1B1为所作；

（2）如图，线段A1B2为所作，

A1B1＝＝，

所以点B1旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．

18．解：原式＝[﹣]•

＝•

＝，

当a＝+1时，

原式＝

＝

＝．

19．解：解不等式4（x﹣1）＞3x﹣2，得：x＞2，

解不等式+≥1，得：x≥1，则不等式组的解集为x＞2．

20．解：（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，

依题意得：，解得：．

答：甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元．

（2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，

依题意得：100﹣m≤3m，解得：m≥25．

设学校购买100副球拍所需费用为w元，则w＝50m+40（100﹣m）＝10m+4000．

∵10＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝25时，w取得最小值，

∴购买25副甲种品牌球拍最省钱．

21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．

∴∠ADB＝∠CBD．

∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，

∴∠EAD＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，

∴∠EAD＝∠FCB．

在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB（ASA），

∴∠AED＝∠CFB，

∴AE∥CF．

22．解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人）

（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°×＝108°

（3）C类别人数为40﹣（6+12+4）＝18（人）

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，

∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率＝．

23．（1）证明：如图，连接AO．

∵FE⊥BC，

∴∠CEM＝90°，

∴∠C+∠CME＝90°，

∵FA＝FM，

∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠OAC，

∴∠FAM+∠OAC＝90°，

∴∠OAF＝90°，

∴OA⊥AB，

∵OA是半径，

∴BF是⊙O的切线．

（2）解：连接AD．

∵CD是直径，

∴∠DAC＝90°，

∴∠C+∠ADC＝90°，

∵∠BAO＝90°，

∴∠BAD+∠OAD＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠BAD+∠ADC＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

∴＝，

∴BD•BC＝BA2＝9．

24．解：（1）∵将△ADE沿直线l对折后，点A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上，且过点C（0，2）的直线l∥x轴，

∴点A与点H关于直线y＝2对称，

又∵点A的坐标为（1，3），

∴H点坐标为（1，1），

将H（1，1）代入y＝中，

1＝，解得：k＝1，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵AO＝AB，点B在x轴上，且点A的坐标为（1，3），

∴B点坐标为（2，0），

设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，

把（1，3），（2，0）代入，可得：

，解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+6，

联立方程组，

解得：，，

∵点M在线段AB上，

∴M点的横坐标大于1，

∴M点坐标为（，3﹣）．

25．解：（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，

由阅读理解的结论可得：，

设正方形的边长为x，

∴，

∴x＝，

∴正方形的边长为；

（2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝80cm，

∴AD＝＝＝60（cm），

分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，

由阅读理解的结论可得：，，

解得：y1＝，y2＝，y3＝80，

故答案为：，，80；

∴，

∴y＝﹣n+160；

②当n＝1时，隔板长cm，

∴可以作正方体的个数＝÷10≈13（个），

当n＝2时，隔板长cm，

∴可以作正方体的个数＝÷10≈10（个），

当n＝3时，隔板长80cm，

∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个），

当n＝4时，隔板长cm，

∴可以作正方体的个数＝÷10≈5（个），

当n＝5时，隔板长cm，

∴可以作正方体的个数＝÷10≈2（个），

当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个，

∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒，∴13+10+8+5+2＝38（瓶），

综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒．

26．解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，

∴B（0，3），

∴OB＝3，

∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，

∴＝，

∵AB＝OB＝×3＝5，

∴OA＝＝4，

∴A（4，0），

把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，

解得k＝．

（2）①不存在，理由如下：

在OA上取一点F（，0），连接BF，

当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，

∵＝＝，＝＝，

∴＝，

∵∠DOE＝∠FOB，

∴△ODE∽△OFB，

∴∠ODE＝∠OFB，

∴DE∥BF，

当t＝时，DE与BF重合，

∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；

当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，

∵＝＝，＝，

∴＝，

同理可证DE∥BF，

∴此时不存在DE∥OB，

综上所述，不存在DE∥OB．

②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，

∴S＝t2，

∵a＝1＞0，

∴S随t的增大而增大，

∴当t＝时，S最大＝（）2＝；

当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，

∴△AGE∽△AOB，

∴＝，

∴GE＝•AE＝（8﹣2t），

∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，

∴S＝t2+t，

∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，

∴当t＝2时，S最大＝，

∵＞，

∴当t＝2时，S的最大值为，

综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．