2023年浙江省宁波市鄞州区中考一模数学试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市鄞州区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在下列实数中，属于无理数的是（    ）

A．2023 B． C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．年，鄞州区GDP以亿元跃居浙江省各县（市）区第一，将该数用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

4．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　　）

A． B． C． D．

5．某志愿者小分队年龄情况如下，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（    ）

A．2名，20岁 B．5名，20岁 C．20岁，20岁 D．20岁，20.5岁

6．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（    ）

A． B． C． D．

7．某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，2个甲产品和1个乙产品组成一套销售，设销售x套能赚回这台机器的贷款，则x满足的关系是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，中，，，于，是的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

9．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图像上，连接交轴于点，作点关于轴的对称点，连接恰好经过坐标原点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形EFGH．若已知正方形的面积，则直接可求的量是（    ）

A．线段的长 B．的周长 C．线段的长 D．四边形的面积

二、填空题

11．实数8的立方根是_____．

12．在一个不透明的袋子里装着1个白球、3个黄球、4个红球，它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为__________．

13．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则该圆锥的侧面积为 ____．

14．如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．

15．如图，中，，边与以为直径的相切于点B，将绕点A顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为__________．

16．如图，中，，作正方形，其中顶点E在边上．

（1）若正方形的边长为，则线段的长是__________：

（2）若点D到的距离是，则正方形的边长是__________．

三、解答题

17．（1）计算：；    

（2）解方程组：．

18．如图，是由边长为的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．

(1)在图中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为；

(2)在图中画一个矩形，要求一条边长为且面积为．

19．观察两个连续偶数的平方差：

②；②，③，……

(1)写出第n个等式，并进行证明；

(2)问172是否可以写成两个连续偶数的平方差？如果能，请写出这两个偶数；如果不能，请说明理由．

20．某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息，解答下列各题：

(1)在本次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为__________度；

(2)请补全条形统计图；

(3)统计发现，该校“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差240人，请估计全校总人数．

21．如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为．

(1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）；

(2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？

（参考数据：，，）

22．如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．

(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；

(2)求直线，曲线的解析式；

(3)求矩形的最大面积．

23．【基础巩固】

(1)如图1，四边形中，平分，．求证：；

【迁移运用】

(2)如图2，在（1）的条件下，取的中点E，连接交于点F，若，，求的长；

【解决问题】

(3)如图3，四边形中，，，在上取点E，使得，恰有．若，，求四边形的面积．

24．如图1，的直径垂直弦于点E，点P为上的一点，连接并延长交于点Q，连接，过点P画交的延长线于点F．若的直径为10，．

(1)求的长；

(2)如图2，当时，求的正切值；

(3)如图1，设．

①求y关于x的函数解析式；

②若，求y的值．

参考答案：

1．C

【分析】根据无理数的定义判断即可．

【详解】解：2023，，为有理数，为无理数．

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数的概念即无限不循环小数为无理数，掌握其概念是解题的关键．

2．B

【分析】利用合并同类项对进行判断，根据同底数幂的乘法法则对进行判断，根据同底数幂的除法法则对进行判断，根据积的乘方对进行判断即可．

【详解】解：、，故本选项错误，不符合题意；

、，故本选项正确，符合题意；

、，故本选项错误，不符合题意；

、，故本选项错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法法则，积的乘法法则，熟练掌握各个计算法则是解答本题的关键．

3．B

【分析】首先表示出，再用科学记数法的表示形式表示出来，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数．

【详解】解：．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

4．B

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．

【详解】解：根据题意得：x+1≠0，

∴x≠-1．

故选：B．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．

5．C

【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．

【详解】解：在这12名队员的年龄数据里，20岁出现了5次，次数最多，故众数是20岁；

12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据都是20岁，故中位数是20岁．

故选：C．

【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

6．B

【分析】求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯子的高度与增加9个杯子的高度和即可．

【详解】解：增加一个杯子增加的高度为：，

故，10个纸杯叠放在一起的高度为：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确求出每增加一个杯子增加是解答本题的关键．

7．A

【分析】根据题意，利用甲产品利润+乙产品利润不低于列不等式即可．

【详解】解：设销售x套能赚回这台机器的贷款，

根据题意，得，

故选：A．

【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解题意，找到不等量关系是解答的关键．

8．D

【分析】利用含有角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，求出和的每个角，可以判断出两个三角形三角不对应相等，对进行判断；是等边三角形，是直角三角形，三角不对应相等，对进行判断；利用证明，并且两个三角形的三角对应相等，对进行判断；在和中可求三角对应相等，但是，可对进行判断．

【详解】解：、，，

，

是的中线且，

，

在中，，

在中，，

两个三角形三角不对应相等，故本选项不符合题意；

、，

是等边三角形，

是直角三角形，

两个三角形三角不对应相等，也不全等，故本选项不符合题意；

、在和中，

，

又，且，

故本选项不符合题意；

、在和中，，，

两三角形三角对应相等，但，这两个三角形不全等

故本选项符合题意．

故选：．

【点睛】本题考查了真假命题的判断，及含有角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，三角形全等的判定，对命题的正确理解是解答本题的关键．

9．D

【分析】作轴于，作轴于，根据题意证明，得到，设，，表示出和的长从而得到，根据对称性表示出点坐标，设的解析式为，求出，即可得到最后结果．

【详解】解：如图，作轴于，作轴于，

，

，

，

，

设，，

，，

，

关于轴的对称点，

，

设的解析式为，

，则，

，则，

，则，

，

，，

，

，

故选：．

【点睛】本题考查了反比例函数图像及其性质，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线建立相似三角形是解答本题的关键．

10．C

【分析】连接、，过点C作，，根据正方形的性质可知，由平行线的性质，可得，，设，，根据，可得，再根据， ，可得，，证明四边形是矩形，可得，即可求出线段的长．

【详解】解：连接、，过点C作，，

∵四边形是正方形，

∴，

∵，，

∴，，

设，，

由题意可知，，

∴，

∴，

∵已知正方形的面积，

∴的值已知，

∵， ，

∴，，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴ ，即的值已知，

故选：C．

【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．

11．2

【分析】根据立方根的概念解答．

【详解】∵，

∴8的立方根是2．

故答案为：2

【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键．

12．/

【分析】用黄球的个数除以球的总数即可．

【详解】解：∵袋子里装着1个白球、3个黄球、4个红球，

∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为 ，

故答案为：．

【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．

【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式：进行计算即可．

【详解】解：；

故答案为：．

【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．

14．

【分析】由二次函数图象经过点，对称轴为直线，可以求得其关于对称轴对称点的坐标，即可解答．

【详解】解：∵二次函数图象经过点，对称轴为直线，

∴二次函数图象经过点，

∴，

故答案为：

【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．

15．，

【分析】分与相切、与相切两种情况求解即可．

【详解】解：当与相切时，如图1， 旋转角的值为，

当与相切时，如图2，

此时，旋转角的值为，

故答案为：，

【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键．

16．     /    

【分析】（1）作交于M,连,构造，利用勾股定理求出的长，问题即可解决．

（2）连，过点D作交于点K，过点E作交于点K,构造，求出,再利用勾股定理求出的长即可．

【详解】（1）作交于M，连

∵

∴

∴

∵正方形的边长为

∴

在中，由勾股定理得

∴

故答案为：

（2）连，过点D作交于点，过点E作交于点K

∵

∴

∴

∵四边形为正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

在中

∵

∴

∴

∴

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的性质等知识的应用，，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．

17．（1）1；（2）

【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂、绝对值的性质进行化简，计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；

（2）运用加减消元法或代入消元法求解．

【详解】（1）

；

（2），

②，得③，

①③，得，

，

把代入①，得，

所以原方程组的解为．

【点睛】本题考查实数的综合运算能力以及二元一次方程组的解法，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．

18．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形定义，画出面积为，即一组边长为，高为的平行四边形，利用勾股定理画出另一组边长为即可；

（2）矩形面积为，小正方形边长为，利用勾股定理画出一组边长为，另一组边长为，在图中画出即可．

【详解】（1）解：画出边长为，高为的平行四边形，另一组边为，

下图即为所求：

（2）画出一组边长为，另一组边长为的矩形，

下图即为所求：

【点睛】本题考查了在网格中用无刻度的直尺画图，涉及平行四边形判定与性质，平行四边形的面积，矩形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．

19．(1)，证明见解析

(2)42，44

【分析】（1）根据题目中的等式，寻找规律，写出第n个等式即可；利用整式混合运算法则和完全平方公式进行计算证明即可；

（2）根据（1）中的结论，列出方程，解方程即可．

【详解】（1）解：第n个等式是：．证明如下：

∵，

∴．

（2）解：当时，

解得，

∴两个偶数分别为42，44．

【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中给出的信息，寻找规律，熟练掌握完全平方公式．

20．(1)40，72

(2)见解析

(3)1200人

【分析】（1）用随机抽取了一些学生中“最喜欢篮球”的人数除以所占百分比即可得到抽取的总人数，用羽毛球的百分比乘以即可得到羽毛球对应的圆心角度数；

（2）先计算出随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数，再补全条形统计图即可；

（3）用“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差的人数除以两者百分比的差即可得到全校总人数．

【详解】（1）解：，

即在本次调查中，一共抽取了名学生；

在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为；

故答案为：

（2）随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数为（人），

如图，

（3）最喜欢篮球的占，最喜欢足球的占，

所以全校总人数为（人）．

【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，读懂题意和准确计算是解题的关键．

21．(1)

(2)至少调整到

【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果．

（2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可．

【详解】（1）如图，连接，延长交于点，延长交于点．

由菱形的轴对称性可知，，，

为与之间的距离，即两滑槽间的距离，

，，

，

．

同理，

，

两滑槽间的距离为．

（2）如图，由（1）可知，

，

由题意可得，，

即，

，

，

，

至少调整到．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，利用三角函数求边长，正确作出辅助线，结合图形判断出是解答本题的关键．

22．(1)见解析

(2)；

(3)当时，矩形的面积的最大值为

【分析】（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；

（2）设直线的解析式为，的解析式为，将点，两点代入即可求出直线的解析式，将点代入反比例函数图像，即可求出的解析式；

（3）设点的横坐标为，则点坐标为，表示出，点坐标为，的面积为，将坐标代入，利用二次函数最大值问题求出最后结果．

【详解】（1）解：如图

（2）设直线的解析式为，将点，代入得直线的解析式为：，

由点得曲线的解析式为：．

（3）如图，设点的横坐标为，则点坐标为，

，

四边形是矩形，

，

点坐标为，

设矩形的面积为，

，

当时，矩形的面积的最大值为．

【点睛】本题考查了坐标系中描点的问题，涉及到一次函数和反比例函数解析式的求解，二次函数的实际应用，注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，研究其最值是解答本题的关键．

23．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）证明，得出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出，，根据平行线的判定得出，证明，得出，求出，根据等腰三角形的判定得出；

（3）连接，，证明，得出，证明，设，根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，再根据四边形面积等于两个三角形面积和求出结果即可．

【详解】（1）证明：∵平分，

∴，

∵，，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵E是的中点，

∴，

∵，

∴．

（3）解：如图，连接，，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

设，

根据勾股定理得：，

∴，

解得（负值舍去），

∴．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，四边形内角和，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．

24．(1)8

(2)

(3)①；②

【分析】（1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解；

（2）连接．得到是的直径，．在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解；

（3）①证明，利用相似三角形的性质即可求解；②证明和，推出，，求得，得到；过点P作于点H，在中，利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：如图，连接．

∵直径，

∴，．

∴，即，

∴．

∴；

（2）解：如图，连接．

∵，

∴是的直径，

∴．

在中，，

∴；

（3）解：①如图，连接．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴，

∴．

∴．

∴；

②如图，连接．

∵，

∴．①

∵．

∴，

∴，②

①②得，．

∵，

∴，

∴．

在中，，

∴，

∴．

∴．

连接，

∵是直径，

∴．

∴．

过点P作于点H，

，

∴，

∴．

在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．