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    广东省深圳市龙岗区四校2022-2023学年高二下学期期中测试数学试卷

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    这是一份广东省深圳市龙岗区四校2022-2023学年高二下学期期中测试数学试卷,共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年学期期中考试高数学测试卷

    满分:150   时间:120分钟

    考生注意:客观题2B铅笔涂在答题卡上,主观题用黑色的水笔书写在答题卡上。

    一、单选题(本题共8小题,共40分)

    1.六个人站成一排照相,其中甲乙要相邻的站法种数有(    

    A720 B120 C240 D360

    2.函数的单调递增区间为(    

    A B C D

    3.已知,则    

    A0.2 B0.3 C0.75 D0.25

    4.已知函数yf(x)的导函数的图象如图所示,则的图象可能是(    

    A B

    C D

    5.已知二项式展开式的二项式系数和为64,则展开式中常数项为(    

    A B C15 D20

    6.已知随机变量,且,则    

    A B12 C3 D24

    7.已知数列的前项和为,满足,则    

    A B C D

    8.对于三次函数,现给出定义:设是函数的导数,的导数,若方程有实数解,则称点为函数拐点.经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.设函数,则    

    A0 B1 C D

    二、多选题(本题共4小题,共20。有选错的得0分,部分选对的得2分。

    9.将甲,乙,丙,丁4个志愿者分别安排到学校图书馆,食堂,实验室帮忙,要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙,则下列选项正确的是(    

    A.总其有36种安排方法

    B.若甲安排在实验室帮忙,则有6种安排方法

    C.若图书馆需要安排两位志愿者帮忙,则有24种安排方法

    D.若甲、乙安排在同一个地方帮忙,则有6种安排方法

    10.已知正态分布的正态密度曲线如图所示,,则下列选项中,能表示图中阴影部分面积的是(    

    A B

    C D

    11.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(    

    A B

    C.随机变量服从超几何分布 D.随机变量服从二项分布

    12.定义: 在区间上,若数是减函数且是增函数,则称在区间上是弱减函数,根据定义可得(    

    A上是弱减函数

    B上是弱减函数

    C上是弱减函数

    D.若上是弱减函数,则

     

    三、填空题(本题共4小题,共20分)

    13.在等差数列中,,则数列的通项公式

    ___________.

    14.曲线在点处的切线方程为___________.

    15.已知函数的导函数为,且,则______.

    16.已知函数有两个不同的极值点,且,则实数的取值范围是___________.

     

    、解答题(本大题共6小题,共70分)

    1712分)已知函数.

    (1)求曲线在点处的切线方程;

    (2)求函数上的最大值和最小值.

     

     

    1810分)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,在全校随机抽取50名学生进行调查,其中男生有27人,坚持锻炼的男生有18人,经常锻炼的女生有8人.

    (1)请根据提议完成下面的2×2列联表

     

    经常锻炼

    不经常锻炼

    合计

    男生

     

     

     

    女生

     

     

     

    合计

     

     

     

     

    (2)根据(1)中的2×2列联表,依据小概率值=0.05的独立性检验,能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关?

    附:

    0.10

    0.05

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

     

    参考公式:

    1912分)保护生态环境,提倡环保出行,节约资源和保护环境,某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车,每年抽样1000汽车调查,得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表:

    年份

    2016

    2017

    2018

    2019

    2020

    年份代码第x

    1

    2

    3

    4

    5

    新能源汽车y

    30

    50

    70

    100

    110

     

    (1)建立y关于x的线性回归方程;

    (2)假设该地区2022年共有30万辆汽车,用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车.

    参考公式:回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

     

     

    2012分)已知公差不为零的等差数列的前项和为,且成等比数列.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前项和.

     

     

    2112分)某同学参加篮球投篮测试,罚球位上定位投篮投中的概率为,三分线外定位投篮投中的概率为,测试时三分线外定位投篮投中得2分,罚球位上篮投中得1分,不中得0分,每次投篮的结果相互独立,该同学罚球位上定位投篮1次,三分线外定位投篮2.

    (1)该同学罚球位定位投篮投中且三分线外定位投篮投中1的概率;

    (2)求该同学的总得分X的分布列和数学期望.

     

     

    2212分)已知函数.

    (1)求函数的单调区间;

    (2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围


    参考答案:

    13.     14     15    16

     

    1C

    【详解】将甲乙捆绑视为整体,共有

    故选:C

    2.  A

    【详解】因为,所以

    所以由可得

    所以函数的单调递增区间为

    故选:A

    3C

    【详解】

    所以.

    故选:C

    4D

    【详解】由图可知,当x0,即(∞,0)上单调递增;

    0x2,即(0,2)上单调递减;

    x2,即(2,∞)上单调递增.

    结合各选项,只有D符合要求.

    故选:D

    5B

    【详解】根据题意可得,解得

    展开式的通项为

    ,得

    所以常数项为.

    故选:B.

    6C

    【详解】由题意,随机变量,可得

    又由,解得

    即随机变量,可得

    故选:C

    7A

    【详解】a1 = 1 = 1

    是以1为首项,以1为公差的等差数列,

    ,即

    .

    时,也适合上式,.

    故选:A.

    8A

    【分析】对函数求导,再求导,然后令,求得对称点即可.

    【详解】依题意得,

    ,解得x1

    函数的对称中心为

    故选:A.

    9AD

    【详解】解:对于A,先将4人分成3组,再将3组安排到3个场馆,

    种安排方法,故A正确;

    对于B,若实验室只安排甲1人,则有种安排方法,

    若实验室安排2人,则有种安排方法,

    所以若甲安排在实验室帮忙,则有12种安排方法,故B错误;

    对于C,先安排2人去图书馆,再将其他2人安排到其他两个场馆,

    则有种安排方法,故C错误;

    对于D,若甲、乙安排在同一个地方帮忙,则有种安排方法,故D正确.

    故选:AD.

    10ABD

    【详解】解:由正态分布的正态密度曲线关于直线对称,

    A:由对称性可得图中阴影部分可表示为,故选项A符合题意;

    B:由对称性可得,所以图中阴影部分可表示为,故选项B符合题意;

    C:由对称性可得,选项C符合题意;

    D:由对称性可得,所以图中阴影部分可表示为,故选项D符合题意.

    故选:ABD.

    11BC

    【详解】解:由题意知随机变量服从超几何分布

    的取值分别为01234,则

    故选:BC

     

    12BCD

    【详解】对于A选项,因为函数上不是增函数,A不满足条件;

    对于B选项,当时,,函数上为减函数,

    ,则,函数上为增函数,B满足条件;

    对于C选项,当时,

    ,其中,则

    所以,函数上为减函数,

    故当时,,则

    则函数上为减函数,

    又因为函数上为增函数,C满足条件;

    对于D选项,因为上是弱减函数且该函数的定义域为

    ,解得,所以,

    又因为函数上为增函数,D满足条件.

    故选:BCD.

    13.

    【详解】设等差数列的公差为

    得:,又

    .

     

    14

    【详解】由于,所以有,因此切点为

    由于,所以曲线在点处的切线的斜率,

    故所求切线方程为:,

    故答案为:

    15

    【详解】因为,则,故

     

    16

    【详解】函数的定义域为,且

    可得

    ,其中,则函数上有两个不等的零点,

    所以,,解得.

    故答案为:.

    17.(1)解:

    所以曲线在点处的切线方程为

    2)解:

    时,,当时,

    所以函数上递增,在上递减,

    所以函数上的最大值为,最小值0.

    18(1)由题意进行数据分析可得:

     

    经常锻炼

    不经常锻炼

    合计

    男生

    18

    9

    27

    女生

    8

    15

    23

    合计

    26

    24

    50

     

    (2)由题意可知:.

    所以我们认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关.

     

    19.(1,因为,所以,所以

    2)预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数,当时,,该地2022年共有30万辆汽车,所以新能源汽车.

    20.(1)解:设等差数列的公差为,则,由题意可得,即,因为,解得,因此,.

    2)解:由(1)可得,所以,.

    21 1)设该同学"罚球位上定位投中"为事件,三步篮投中"为事件,该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1"为事件C

     

    所以 ;

    (2) X的可能取值为01234

    所以 ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    所以X的分布列为:

    0

    1

    2

    3

    4

    5

     

    ,则该同学得分的数学期望是.

    22.【详解】(1)解:函数的定义域为

    时,对任意的,此时函数的单调递增区间为

    时,由可得,由可得

    此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

    综上所述,当时,函数的单调递增区间为

    时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

    2)解:由(1)可知,当时,函数上单调递增,此时函数至多一个零点,不合乎题意;

    时,函数上单调递增,在上单调递减,

    ,其中,则

    所以,函数上单调递减,且

    所以,,故.

    ,其中,则.

    时,,此时函数单调递减,

    时,,此时函数单调递增,

    所以,,即

    所以,

    所以,

    又因为,由零点存在定理可知,函数上各有一个零点,合乎题意.

    综上所述,实数的取值范围是.

    【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:

    1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;

    2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;

    3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

     

     

     

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