浙江省宁波市奉化区2022-2023学年高二数学上学期期末联考试题（Word版附解析）

奉化区2022学年第一学期期末试卷

高二数学

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线的倾斜角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.

【详解】由可得，所以直线斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，

故选：D.

2. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.

【详解】由题得圆心到直线的距离，

所以圆的方程为.

故选：D.

3. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.

【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.

故选：A

4. 设等比数列满足，，则（    ）

A. 8 B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.

【详解】解：设等比数列的公比为，，，

，，

解得：，

则.

故选：.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5. 函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

6. 已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（    ）

A. l与圆C相交，且 B. l与圆C相切，且

C. l与圆C相离，且 D. l与圆C相离，且

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得，根据点到直线的距离公式可得，利用圆的性质可得过点A的圆的最短弦与垂直，进而即得.

【详解】因为点是圆内一点，

所以，

所以圆心到直线的距离为，

所以直线l与圆C相离，

由圆的性质可知当时，过点A的圆的弦最短，此时，

所以.

故选：D.

7. 设点是抛物线：上的动点，点是圆：上的动点，是点到直线的距离，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出抛物线焦点坐标，由抛物线定义得到，数形结合得到即为的最小值，得到答案.

【详解】由定义知：抛物线的焦点坐标为，连接，

则，所以，

圆：的圆心为，半径为，

则使得取的最小值，

其中，故的最小值为.

故选：B

8. 已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据，求得点的轨迹是圆，然后由两圆相切求解.

【详解】设，因为，

所以 ，

整理得 ，

所以满足点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，

由题意可得，当两圆相切即可，

当两圆相外切时， ，解得 ，

当两圆相内切时，，解得 ，

故选：A

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知平面的一个法向量为，以下四个命题正确的有（    ）

A. 若直线的一个方向向量为，则

B. 若直线的一个方向向量为，则

C. 若平面的一个法向量为，则

D. 若平面的一个法向量为，则

【答案】BD

【解析】

分析】由，可判断AB；由可判断CD

【详解】对于AB：平面的一个法向量为，

直线的一个方向向量为，

所以，

所以与不垂直，

又，

所以，

所以，故A错误，B正确；

对于CD：平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，，

所以，

所以，

所以，故C错误，D正确；

故选：BD

10. 已知双曲线的左､右焦点分别为､，左右顶点分别为，点是双曲线上的点（异于），则下列结论正确的是（    ）

A. 该双曲线的离心率为2

B. 该双曲线的渐近线方程为

C. 若，则的面积为16

D. 点到两点的连线斜率乘积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】由双曲线方程得，然后计算离心率，确定渐近线方程，即可判断AB；结合双曲线的定义和垂直求得，从而可得的面积，即可判断C；设，根据直线的斜率公式及点在双曲线上计算即可判断D．

【详解】由双曲线方程得，，，

焦点为，，，

离心率，A错；

渐近线方程是，B正确；

若，不妨设，

则，∴，，C正确；

设，则，，

，故D正确.

故选：BCD.

11. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】对AB，根据通项与的关系可得，即可判断；

对CD，根据等差数列前项和的公式，结合等差数列的性质判断即可

【详解】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．

故选：AD

12. （多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A. 在处取得极大值

B. 是的极小值点

C. 在上单调递减，在上单调递增

D. 是的极小值点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用图像判断的正负，得到函数的单调性进而逐项判断

【详解】当时，，∴不是 的极值点，∴A错误；

当时，，当时，，∴ 在上单调递减，在上单调递增，∴是 的极小值点，∴B正确；

当时，，∴在上单调递减，∴是的极大值点，∴C正确，D错误．

故选：BC．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知等差数列，，=___________

【答案】e

【解析】

【分析】由等差中项的性质计算即可.

【详解】由等差数列性质可知：，

又，故.

故答案为：e

14. 已知，，，，若四点共面，则＝_______．

【答案】8

【解析】

【分析】四点共面，则存在唯一的λ、μ使得，据此即可求出x.

【详解】∵，，，，

∴，，，

∵四点共面，则有，即

解得．

故答案为：8.

15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.

【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，

∴ ，且，∴

∵的顶点，

∴直线AC方程：，即，

与联立， ，解得：，

所以顶点C的坐标为，

故答案为：.

16. 设椭圆的左焦点为，下顶点为，若存在直线与椭圆交于两点，且的重心为，则直线斜率的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设的中点为，由的重心为，可得，从而可求得点的坐标，再利用点差法结合点在椭圆内，即可得出答案.

【详解】设的中点为，

，

因为的重心为，所以，

即，所以，即，

则，

又在椭圆上，

则有，

两式相减得，

所以，

即，

因为点在椭圆内，

所以，所以，即，

，

当时，，当时，，

所以，所以，

即直线斜率的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对三角形重心的理解，即中线的交点，由此求出中点坐标，再运用点差法结合中点在椭圆内计算即可.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.

（1）求直线的方程；

（2）求弦的长度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由点差法得出斜率，再写出方程；

（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式求出弦的长度.

【小问1详解】

设则，

由，可得

所以，得直线的方程为.

【小问2详解】

联立方程，得，

得，所以

18. 已知数列满足

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据求解即可；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【小问1详解】

因为，

故当时，，

上述两式相减，得，所以，

又可得，符合上式，

所以；

【小问2详解】

由（1）可得，

则.

19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角的余弦值.

【详解】（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，

所以AA1⊥平面ABC；

（2）由（1）知，，．

由题意知，，，

所以．

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，3，，，0，，，3，，，0，．

设平面的法向量为，，，

则，即．

令，则，，

所以．

同理可得，平面的法向量为．

所以．

由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

20. 已知.

（1）若在处有极大值，求的值；

（2）若，求在区间上的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)求出，令，解得，再分别讨论，利用函数在处有极大值，从而得出答案；

(2)确定函数单调性，即可求在区间上的最小值.

【小问1详解】

由题知，，

由题意，，得或，

当时，在上，在上，

此时，在处有极小值，不符题意；

当时，在上，在上，

此时，在处有极大值，符合题意.

综上，.

【小问2详解】

令，得或，

由，则在上，在上，

即在上单调递增，在上单调递减.

由题意，，

当时，在区间上单调递减，则，

当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则，

当时，在区间上单调递增，则，

综上，.

21. 我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．

（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；

（2）设，证明：.

【答案】（1），（）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据已知写出与的递推关系，再利用累加法求出数列的通项公式；

（2）先求出，再利用错位相减法求出，即得证.

【小问1详解】

解：由“杨辉三角”的定义可知：，

时， 所以有，

故,该式对a1=1也成立.

所以 （）

【小问2详解】

解：由题得，所以，

设，

所以，（1）

所以，（2）

（1）（2）得，

所以，

所以

所以

所以

故.

22. 已知离心率为的椭圆过点.

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交直线于点.当面积为8时,求的值.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据离心率和点,建立等式,结合,解出即可;

(2)设出点坐标,写出直线的方程,取,解得的纵坐标,将直线与椭圆联立,解得,代入中化简,根据,使其等于8,即可求得的值.

【小问1详解】

由题意:,又,

解得,所以椭圆的方程为:;

【小问2详解】

设,则,

令,得,同理,

联立,得,

则,

所以,

则,

求得.

【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线综合题,属于中难题,关于此类问题的思路有:

(1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程;

(2)分情况讨论直线斜率是否存在;

(3)设直线方程,联立方程组;

(4)判别式大于零,韦达定理;

(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.