浙江省91高中联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，则n的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答.

【详解】因为，而，即有，于是，

所以n的值为5.

故选：C

2. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列前项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值.

【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，，

所以，解得，

故选：D

3. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 3 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性，即得解

【详解】由题意，根据正态分布的对称性

故选：A

4. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（    ）

A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，求出，再检验可得答案.

详解】由，

得，

因为函数在处有极大值，

所以，解得或，

当时，，令，得或，

当或时，，当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意，

当时，，令，得或，

当或时，，当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意，

综上

故选：B.

5. 随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得.

【详解】因为，

所以，，，，

则，解得，

所以，，

所以.

故选：A

6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 71 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得，再根据对勾函数的性质求得的最小值.

【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，

则，

∴ ，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

又，，

∴当时取最小值为．

故选：C.

7. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，

不妨令，则，所以，

即，所以，

令，则，

即在上单调递减，

由，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即的最小值为.

故选：D

8. 某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（    ）

A. 2080 B. 2520 C. 3375 D. 3870

【答案】B

【解析】

【分析】分别计算两人全不相同，一人与另外两人全不相同，三人全不相同的种类数，可得所求结果.

【详解】设甲，乙两人全不相同为事件，甲，丙两人全不相同为事件，乙，丙两人全不相同为事件

则，，的种类数都为，

，，的种类数都为，

的种类数为，

所以至少有两人全不相同的方法数为，

故选：B.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据最高位不能为，利用间接法、分步、分类法计算可得.

【详解】用到这个数字组成没有重复数字的三位数，

若不考虑最高位是否为，则有个，又最高位不能为，故当最高位为时有个，

故可以组成没有重复数字的三位数的个，故C正确；

首先排最高位，有种，再排十位、个位，有种，故共有个没有重复数字的三位数，故B正确；

若选到的数字没有，则有个，若选到的数字有，先排，有种方法，

再从其余个数字选个排到其余位置，故有个，

综上可得共有个没有重复数字的三位数，故C正确；

故选：ABC

10. 已知数列的首项为，前n项和为，下列说法正确的有（    ）

A. 若数列为等差数列，公差，则数列单调递增

B. 若数列为等比数列，公比，则数列单调递增

C. 若，则数列为公比为2的等比数列

D. 若，则数列为等差数列

【答案】AD

【解析】

【分析】由已知确定单调性判断A；按与分析判断B；求出数列通项公式判断C；由递推公式结合等差中项的意义推理判断D作答.

【详解】对于A，依题意，等差数列中，，即，数列单调递增，A正确；

对于B，依题意，，，当时，，数列单调递增，

当时，，数列单调递减，B错误；

对于C，由，得，当时，，

显然不满足上式，即，因此数列不是等比数列，C错误；

对于D，数列的首项为，前n项和为，即，

当时，，两式相减得：，

于是，则有，

整理得：，而，因此，所以数列为等差数列，D正确.

故选：AD

11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（    ）

A. 三个不同零点 B. 在上单调递增

C. 有极大值，且极大值为 D. 一条切线为

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函数的零点判断A；求出函数的导数，判断单调性、求出极大值判断BC；求出图象在原点处的切线方程判断D作答.

【详解】对于A，由得：，即或，

而，有，解得或，A错误；

对于B，，

当时，，，于是，且当时，则在上递增，B正确；

对于C，由选项B知，当时，单调递增，

当时，单调递减，因此当时，取得极大值，C正确；

对于D，显然函数过原点，，而，因此图象在原点处的切线方程为，

因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，

令，，，即函数在上单调递增，

当时，，即，于是函数在上图象总在直线的下方，

所以直线不可能为图象的切线，D错误.

故选：BC

12. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第次取出的球是红球的概率为，数列前项和记为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 当无限增大，将趋近于 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而得到，从而求出，再一一分析即可；

【详解】解：依题意，

设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，

对于第次，取出红球有两种情况：①从红箱取出，②从白箱取出，

所以，所以，

令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，

故即对应，所以，故A正确；

因为，所以，，

所以

，故B正确；

因为，函数在定义域上单调递减，

当时，所以，

即当无限增大，将趋近于，故C错误；

因为，所以

，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 展开式中的系数为，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】写出展开式中的通项，令的指数为，结合已知条件可求得实数的值.

【详解】的展开式通项为，

令，可得，所以，，解得.

故答案为：.

14. 杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列，比如，，，则数列的前n项之和为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由图分析结合二项式系数的性质得到第行所有数之和为，再应用等比数列公式计算即可得结果.

【详解】由杨辉三角及二项式系数的性质知第行且所有数之和为

则第行所有数之和为，

等比数列求和得，

则数列的前n项之和为.

故答案为: .

15. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第______个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.

（参考数据：，，，）

【答案】13

【解析】

【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，依据题意得，由其单调性结合，得出答案.

【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，

则由题意知，，

其中，2，…，24.

则从今年1月起，各月不合格产品数量是.

又由

，

可知当时，是递增数列，当时，是递减数列.

因为，，

所以第13个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.

故答案为：13

16. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.

【详解】，

令，则，，设，则，

当时,，且等号不同时成立，则恒成立，

当时，，则恒成立，则在上单调递增，

又因为，因此存在，使得，

当时，，当时,，

所以函数在上单调递减，在,上单调递增,

又，作出函数的图像如下：

函数定义域为，求导得，

①当时，，函数的单调递减区间为，

当时，的取值集合为，而取值集合为，

因此函数在上的值域包含，

当时，的取值集合为，而取值集合为，

因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，

②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，

，当时，的取值集合为，

而取值集合为，因此函数在上的值域包含，

此时函数的值域为，即，

当时，即当时，恒成立，符合题意，

当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记前项和为，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用、的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；

（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得，即可证明.

【小问1详解】

因为，

当时，，又，则；

当时，，，两式相减，

整理可得，又为正项数列，即，

所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以.

【小问2详解】

由（1）可得，

所以，

所以，

所以，

所以.

18. 设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）结论见解析.   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，按与两种情况探讨大于0、小于0的解集作答.

（2）利用（1）的信息，求出函数的最小值，再由已知列出不等式求解作答.

【小问1详解】

函数的定义域为，求导得，

当时，，递减，，递增，

当时, ，递减，，递增，

所以当时，的减区间为，增区间为，

当时，的减区间为，增区间为.

【小问2详解】

由（1）知，当时,，因为的图象与轴没有公共点，

所以，解得，

当时，，同理，解得

所以a的取值范围是或.

19. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.

（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；

（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为，求n的值使得最大.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；

（2）由超几何分布可得，构造数列，易知该数列为递增数列，所以，解得，所以当或时，有最大值为.

小问1详解】

设“第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，

根据题意得，，，

由全概率公式，得：

，

所以，王同学第2天去餐厅用餐的概率为.

【小问2详解】

由题意，的可能取值有：，

由超几何分布可知，

令，

又，所以，可得，

解得，

易知当和时，的值相等，

所以当或时，有最大值为，

即当的值为或时，使得最大.

20. 函数，数则满足.

（1）求证：为定值，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式；

（2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围.

【小问1详解】

证明：

，

则，

，

两式相加，得，即.

【小问2详解】

由（1），，

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，，

，

，

由题，，所以，

因为，

设，，

由对勾函数的性质，当时，最小，即，

所以当时，最大，即，

所以.

21. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.

（1）若，求数学期望；

（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；

（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.

【答案】（1）   

（2）（ⅰ）

（ⅱ）答案见解析，

【解析】

【分析】（1）易知随机变量服从二项分布，由，

得，数学期望即可求解；

（2）设，依题意得

化简即可；记，

求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案．

【小问1详解】

由题知，随机变量服从二项分布，，

由，即，

得，所以．

【小问2详解】

（ⅰ），

，

．

（ⅱ）记，

则，

当时，，单增；

当时，，单减；

当时，取得最大值，即取得最大值．

在团体提出的函数模型中，

记函数，，

当时，，单增；

当时，，单减．

当时，取得最大值，则不可以估计．

在团体提出的函数模型中，

记函数，单调递增，

令，解得，

则是的最大似然估计．

【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望

（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，

可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．

22. 已知函数，.

（1）若不是函数的极值点，求a的值；

（2）当，若有三个极值点，，，且，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，若不是函数的极值点，则0不是变号零点，根据导数特征，即可求解；

（2）首先利用函数的导数，构造函数，并利用导数判断函数的单调性，以及函数零点的范围，并设，并根据构造函数，利用导数求的取值范围.

小问1详解】

，则一个根，

即，

验证当时，，设，

，得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

且，，，

所以存在使，即，不是变号零点，所以不是函数的极值点，则；

【小问2详解】

当时，令，

则，当和，，函数单调递减，，，函数单调递增，且当时，，当时，取得最小值，，

则有2个非零交点，可知，且，，

同时满足，，即，

令，即

从而，，

由，可知，，

令，可知，，

设，，

所以在单调递增，，所以，

即在上单调递增，且，，

即，所以的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用问题，本题的关键是第二问，根据函数的导数构造函数，并确定极值点的范围，以及，并且本题多次用到构造函数，并将转化为关于的函数，这是本题的关键.